Algebre di Heyting

[perplesso1]

Un'algebra di Heyting è una struttura algebrica $(H, ^^, vv, -> , 0,1)$ tale che valgono i seguenti essiomi

H1: $(H, ^^, vv)$ è un reticolo distributivo
H2: $x ^^ 0 = 0; x vv 1 = 1$
H3: $x->x = 1$
H4: $(x -> y) ^^ y = y$
H5: $x ^^ (x->y)=x ^^ y$
H6: $x->(y ^^ z)=(x->y)^^(x->z)$
H7: $(x vv y) -> z = (x -> z) ^^ ( y-> z)$

1) Sia $(B, ^^, vv, ',0,1)$ un'algebra booleana. definiamo $a->b = a' vv b$. Mostrare che $(B, ^^, vv, -> ,0,1)$ è un'algebra di Heyting.

2) Sia $(H, ^^, vv, -> , 0,1)$ un'algebra di Heyting. Mostrare che $a->b$ è il più grande elemento $z \in H$ tale che $a ^^ z <= b$


Svolgimento

1) Dobbiamo verificare gli assiomi.

H1: $(B,^^,vv)$ è un reticolo distributivo per la definizione di algebra di Boole

H2: Per ogni $x \in B$ risulta $x^^0=0$ e $x vv 1 = 1$ sempre usando la def. di alg. Bool.

H3: $x -> x = x' vv x = 1$ per la def. di complemento in un alg. Booleana.

H4: Metto i vari passaggi in colonna
$(x -> y) ^^ y$
$(x' vv y) ^^y$
$(x' ^^ y) vv (y ^^ y)$ (distributività)
$(x' ^^ y) vv y$ (idempotenza)
$y$ (legge di assorbimento)


H5:
$x ^^ (x->y)$
$x ^^ (x' vv y)$
$(x ^^ x') vv (x ^^ y)$ (distributività)
$0 vv (x ^^ y)$ (proprietà del complemento)
$(x ^^ y)$


H6:
$x->(y ^^ z)$
$x' vv (y ^^ z)$
$(x' vv y) ^^ (x' vv z)$ (distributività)
$(x -> y) ^^ (x -> z)$


H7:
$(x vv y) -> z$
$(x vv y)' vv z$
$(x' ^^ y') vv z$ (De Morgan)
$(x' vv z) ^^ (y' vv z)$ (distributività)
$(x->z) ^^ (y->z)$


2) Ho fatto un sacco di calcoli ma non ci riesco mi fermo all'osservazione banale che $a ^^ (a->b)= a^^b <= b$ per l'assioma H5. Non è che avreste qualche suggerimento da darmi ?

Grazie.

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