Algebra gruppale
Gentili amici, ho un dubbio atroce che mi affligge. Esso riguarda la costruzione dell'algebra gruppale, soprattutto mi confonde quanto dice Isaacs nel suo libro '' Character theory of finite groups''. Riporto le parole dell'autore (pag.2):
'' Let $G$ a finite group. then $F[G]$ is the set of formal sums $\{\sum_{g\inG} a_{g}g | a_{g}\in F}$. The structure of an $F$-vector space is given to $F[G]$ in the obviuos way and the element of $F[G]$ for which $a_{g}=1$ and $a_h=0$ if $h\ne g$ is identified with $g$. This identification embeds $G$ into $F[G]$ and in fact $G$ is a basis for $F[G]$. One result of this identification is to give a new meaning for $\sum a_{g}g$. We may now view this expression not only as a formal sum, but also as an actual sum, a linear combination of the basis vectors...''
Ora le mie perplessita' sono le seguenti:
Abbiamo questo spazio vettoriale di somme formali $F[G]$ di cui la base dovrebbe essere l'insieme delle somme che hanno tutti i coefficienti nulli tranne uno che e' uguale ad $1_F$. Che intende l'autore per immersione di $G$ in $F[G]$? semplicemente una funzione iniettiva ma non suriettiva, oppure immersione di gruppi? Inoltre non capisco perche' tramite tale immersione allora le somme diventano ''actual sums'' e quindi alle espressioni puramente formali viene dato un nuovo significato...
Mi scuso se sono stato troppo lungo ma il dubbio mi logora.
Grazie in anticipo per la risposta.
'' Let $G$ a finite group. then $F[G]$ is the set of formal sums $\{\sum_{g\inG} a_{g}g | a_{g}\in F}$. The structure of an $F$-vector space is given to $F[G]$ in the obviuos way and the element of $F[G]$ for which $a_{g}=1$ and $a_h=0$ if $h\ne g$ is identified with $g$. This identification embeds $G$ into $F[G]$ and in fact $G$ is a basis for $F[G]$. One result of this identification is to give a new meaning for $\sum a_{g}g$. We may now view this expression not only as a formal sum, but also as an actual sum, a linear combination of the basis vectors...''
Ora le mie perplessita' sono le seguenti:
Abbiamo questo spazio vettoriale di somme formali $F[G]$ di cui la base dovrebbe essere l'insieme delle somme che hanno tutti i coefficienti nulli tranne uno che e' uguale ad $1_F$. Che intende l'autore per immersione di $G$ in $F[G]$? semplicemente una funzione iniettiva ma non suriettiva, oppure immersione di gruppi? Inoltre non capisco perche' tramite tale immersione allora le somme diventano ''actual sums'' e quindi alle espressioni puramente formali viene dato un nuovo significato...
Mi scuso se sono stato troppo lungo ma il dubbio mi logora.
Grazie in anticipo per la risposta.
Risposte
Mi sembra che tu ti sia solo lasciato un po' spaventare dalla definizione 
Fatti un esempio. Prendi [tex]G=C_2 = \langle \varepsilon \rangle[/tex]. Allora [tex]F[G][/tex] è l'insieme delle somme [tex]a+b \varepsilon[/tex]. Il prodotto è quello conseguente dalla distributività: [tex](a+b \varepsilon) (c+d \varepsilon) = ac+ad \varepsilon + bc \varepsilon +bd[/tex] (ricorda che [tex]\varepsilon^2 = 1[/tex]). Se vuoi [tex]F[C_2] \cong F[X]/(x^2-1)[/tex] [tex]\cong F \oplus F[/tex]. In generale [tex]F[C_n] \cong F[X]/(x^n-1)[/tex]. Prova a scrivere un isomorfismo simile per [tex]F[S_3][/tex] (questa è un po' una provocazione).
La funzione [tex]G \to F[G][/tex] che manda [tex]g[/tex] in [tex]g[/tex] (questo ha senso perché in [tex]F[G][/tex] si ha [tex]g = \sum_{x \in G} \delta_{x,g} x[/tex], dove [tex]\delta_{x,g}[/tex] vale 1 se [tex]x=g[/tex] e [tex]0[/tex] altrimenti) è ovviamente iniettiva e determina un'immersione (omomorfismo iniettivo) di [tex]G[/tex] nel gruppo delle unità dell'anello [tex]F[G][/tex], cioè [tex]U(F[G])[/tex]. In altre parole puoi pensare che [tex]G \leq U(F[G])[/tex].
[size=75]In realtà [tex]F[G][/tex] è universale rispetto a questa proprietà, nel senso che se [tex]A[/tex] è una [tex]F[/tex]-algebra e [tex]G \to A[/tex] è un omomorfismo di monoidi la cui immagine è contenuta in [tex]U(A)[/tex] allora esiste un'unico omomorfismo di [tex]F[/tex]-algebre [tex]F[G] \to A[/tex] tale che [tex]G \to A[/tex] è la composizione [tex]G \to F[G] \to A[/tex] (dove [tex]G \to F[G][/tex] è la funzione strutturale canonica di cui sopra).[/size]
Fatti un esempio. Prendi [tex]G=C_2 = \langle \varepsilon \rangle[/tex]. Allora [tex]F[G][/tex] è l'insieme delle somme [tex]a+b \varepsilon[/tex]. Il prodotto è quello conseguente dalla distributività: [tex](a+b \varepsilon) (c+d \varepsilon) = ac+ad \varepsilon + bc \varepsilon +bd[/tex] (ricorda che [tex]\varepsilon^2 = 1[/tex]). Se vuoi [tex]F[C_2] \cong F[X]/(x^2-1)[/tex] [tex]\cong F \oplus F[/tex]. In generale [tex]F[C_n] \cong F[X]/(x^n-1)[/tex]. Prova a scrivere un isomorfismo simile per [tex]F[S_3][/tex] (questa è un po' una provocazione).
La funzione [tex]G \to F[G][/tex] che manda [tex]g[/tex] in [tex]g[/tex] (questo ha senso perché in [tex]F[G][/tex] si ha [tex]g = \sum_{x \in G} \delta_{x,g} x[/tex], dove [tex]\delta_{x,g}[/tex] vale 1 se [tex]x=g[/tex] e [tex]0[/tex] altrimenti) è ovviamente iniettiva e determina un'immersione (omomorfismo iniettivo) di [tex]G[/tex] nel gruppo delle unità dell'anello [tex]F[G][/tex], cioè [tex]U(F[G])[/tex]. In altre parole puoi pensare che [tex]G \leq U(F[G])[/tex].
[size=75]In realtà [tex]F[G][/tex] è universale rispetto a questa proprietà, nel senso che se [tex]A[/tex] è una [tex]F[/tex]-algebra e [tex]G \to A[/tex] è un omomorfismo di monoidi la cui immagine è contenuta in [tex]U(A)[/tex] allora esiste un'unico omomorfismo di [tex]F[/tex]-algebre [tex]F[G] \to A[/tex] tale che [tex]G \to A[/tex] è la composizione [tex]G \to F[G] \to A[/tex] (dove [tex]G \to F[G][/tex] è la funzione strutturale canonica di cui sopra).[/size]
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