Algebra esercizi
1) Per ogni $n$ $in$ $N$ si determini l' ultima cifra di $ 4^n+9^n$
2) Sia $\zeta$
$((1,2,3,4,5,6,7),(4,7,3,5,1,6,2))$
a)Determinare la decomposizione in cicli disgiunti di $\zeta$
b)Determinare gli $n$ $in$ $N$ per cui $(\zeta)^n$ è un cilco
3)Sia $G$ un gruppo abeliano e sia $e$ l' elemento neutro gi $G$.
Provare che:
$T(G):={g|g in G, EE n in N, g^n=e}
è un sottogruppo
Per il primo ho distinto due casi: n pari e n dispari e ho fatto la congruenza modulo 10
Per il 2 mi è uscito che se $n$ congruo 2 3 4 (mod6) $\zeta$ è un ciclo , mentre per $1, 5, 6$ non è un ciclo.
vorrei sapere se i procedimenti e risultati sono esatti e se gentilmente potete postare tutti i passaggi. grazie
2) Sia $\zeta$
$((1,2,3,4,5,6,7),(4,7,3,5,1,6,2))$
a)Determinare la decomposizione in cicli disgiunti di $\zeta$
b)Determinare gli $n$ $in$ $N$ per cui $(\zeta)^n$ è un cilco
3)Sia $G$ un gruppo abeliano e sia $e$ l' elemento neutro gi $G$.
Provare che:
$T(G):={g|g in G, EE n in N, g^n=e}
è un sottogruppo
Per il primo ho distinto due casi: n pari e n dispari e ho fatto la congruenza modulo 10
Per il 2 mi è uscito che se $n$ congruo 2 3 4 (mod6) $\zeta$ è un ciclo , mentre per $1, 5, 6$ non è un ciclo.
vorrei sapere se i procedimenti e risultati sono esatti e se gentilmente potete postare tutti i passaggi. grazie
Risposte
"francescodd":
1) Per ogni $n$ $in$ $N$ si determini l' ultima cifra di $ 4^n+9^n$
Guarda cosa accade per $n=1,2,3,4,...$
noterai una regolarità.
forse dici che se n è dispari l' ultima cifra è 3 mentre se è pari l' ultima cifra è 7...
come ho detto ho distinto due casi
n pari $4^n=6 (mod10)$ e $9^n=1(mod10)$ quindi $4^n+9^n=6+1$ (mod10)
analogo ma con diversi risultati per n dispari
è giusto il procedimento?
grazie
n pari $4^n=6 (mod10)$ e $9^n=1(mod10)$ quindi $4^n+9^n=6+1$ (mod10)
analogo ma con diversi risultati per n dispari
è giusto il procedimento?
grazie
up
Si e' giusto. Probabilmente per rendere il metodo applicabile in generale e' meglio fare le congruenze modulo 2 e modulo 5, discutendo la parita' di $n$ solo alla fine.
per l' esercizio 3 tu come l' avresti risolto?
Avuto proprio ieri il secondo esonero di algebra 
Devi dimostrare che questo sottoinsieme con l'operazione data nel gruppo è a sua volta un gruppo.
1) E' associativo, perchè è associativa l'operazione nel gruppo.
2) Esiste l'elemento neutro in quanto $e^1 = e \rarr e \in T(G)$
3) Esistono gli inversi di ogni elemento, $\forall g \in T(G), g\cdotg^(n-1) = g^n = e$ per ipotesi.
Quindi concludi che $T(G)$ è un sottogruppo.
Devi dimostrare che questo sottoinsieme con l'operazione data nel gruppo è a sua volta un gruppo.
1) E' associativo, perchè è associativa l'operazione nel gruppo.
2) Esiste l'elemento neutro in quanto $e^1 = e \rarr e \in T(G)$
3) Esistono gli inversi di ogni elemento, $\forall g \in T(G), g\cdotg^(n-1) = g^n = e$ per ipotesi.
Quindi concludi che $T(G)$ è un sottogruppo.
Piccola aggiunta: ovviamente $g^(n-1) \in T(G)$ in quanto $(g^(n-1))^n = (g^n)^(n-1) = e^(n-1) = e$
ma non bisogna dimostrare anche la chiusura? oppure non è necessario in questo caso?
Per il secondo:
La decomposizione è ovviamente $(145)(27)$.
Adesso tu vuoi che sia un ciclo, ovvero che ci sia una sola orbita: quindi una delle due tue orbite deve venirti un'identità, ed essendo 2-cicli e 3-cicli questo succede rispettivamente con le potenze di 2 e le potenze di 3.
Quindi i tuoi n sono i multipli di 2 e/o i multipli di 3.
P.S. Non so se l'identità viene considerata ciclo, in caso negativo devi prendere i multipli di 2 e i multipli di 3 ma non i multipli comuni ad entrambi (ovvero i multipli di 6).
La decomposizione è ovviamente $(145)(27)$.
Adesso tu vuoi che sia un ciclo, ovvero che ci sia una sola orbita: quindi una delle due tue orbite deve venirti un'identità, ed essendo 2-cicli e 3-cicli questo succede rispettivamente con le potenze di 2 e le potenze di 3.
Quindi i tuoi n sono i multipli di 2 e/o i multipli di 3.
P.S. Non so se l'identità viene considerata ciclo, in caso negativo devi prendere i multipli di 2 e i multipli di 3 ma non i multipli comuni ad entrambi (ovvero i multipli di 6).
"francescodd":
ma non bisogna dimostrare anche la chiusura? oppure non è necessario in questo caso?
Si direi di si (alla prima domanda)
Per ipotesi, esistono $i, j$ t.c. $a^i = e$ e $b^j = e$
$ab \in T(G)$ in quanto $(ab)^(ij) = ((ab)^i)^j = (a^ib^i)^j = (b^i)^j = (b^j)^i = e^i = e$
(Qui abbiamo sfruttato decisamente che il gruppo era abeliano
)
penso che sia uguale poi dimmi se è giusto
sia $a,b$ $in$ $T(G)$ allora $a^n=e$ ed $b^z=e$
poniamo $d=nz$
$(ab)^d=a^db^d=(a^n)^z(b^z)^n=e^ze^n=e
quindi $ab in T(G)$
poi esiste $a^(-1)$ infatti sia $a in T(G)$
$a^n=e$ quindi $a^(-n)=(a^n)^(-1)=e^(-1)=e$
sia $a,b$ $in$ $T(G)$ allora $a^n=e$ ed $b^z=e$
poniamo $d=nz$
$(ab)^d=a^db^d=(a^n)^z(b^z)^n=e^ze^n=e
quindi $ab in T(G)$
poi esiste $a^(-1)$ infatti sia $a in T(G)$
$a^n=e$ quindi $a^(-n)=(a^n)^(-1)=e^(-1)=e$
"Gatto89":
P.S. Non so se l'identità viene considerata ciclo, in caso negativo devi prendere i multipli di 2 e i multipli di 3 ma non i multipli comuni ad entrambi (ovvero i multipli di 6).
no l' identità non è un ciclo
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