Algebra 2: esercizio sulle azioni
Ciao a tutti,
ho un esercizio con il quale sto litigando da un pò..
Non riesco a scriverlo perchè ce l'ho in formato pdf, ho provato a inserirlo con un link..
http://yfrog.com/1nistantanea2010011510483p
http://img59.imageshack.us/img59/2073/i ... 510483.png
(non so quale dei due è collegamento diretto, perdonatemi sono un pò imbranata con queste cose=()
Comunque..
il primo punto è ok, sono riuscita a dimostrare che è un'azione seguendo le condizioni che devono essere soddisfatte.
per quanto riguarda il secondo punto,
ho applicato la definizione però non sono sicura di averla applicata giusta..
se l'azione è fedele il nucleo deve essere banale no? beh, a me viene infatti che il nucleo è costituito dall'identità.
quindi è fedele.
ma per essere transitiva devo dimostrare che esiste un'unica orbita..e come faccio?
E poi qui vado in crisi nera per lo stabilizzatore e l'orbita dell'elemento (3,1,1,3)..
e crisi ancora piu nera per trovare il numero delle orbite, che so che si deve applicare Burnside, ma proprio non riesco a farlo!!!
Grazie mille a chi riuscirà a aiutarmi
ho un esercizio con il quale sto litigando da un pò..
Non riesco a scriverlo perchè ce l'ho in formato pdf, ho provato a inserirlo con un link..
http://yfrog.com/1nistantanea2010011510483p
http://img59.imageshack.us/img59/2073/i ... 510483.png
(non so quale dei due è collegamento diretto, perdonatemi sono un pò imbranata con queste cose=()
Comunque..
il primo punto è ok, sono riuscita a dimostrare che è un'azione seguendo le condizioni che devono essere soddisfatte.
per quanto riguarda il secondo punto,
ho applicato la definizione però non sono sicura di averla applicata giusta..
se l'azione è fedele il nucleo deve essere banale no? beh, a me viene infatti che il nucleo è costituito dall'identità.
quindi è fedele.
ma per essere transitiva devo dimostrare che esiste un'unica orbita..e come faccio?
E poi qui vado in crisi nera per lo stabilizzatore e l'orbita dell'elemento (3,1,1,3)..
e crisi ancora piu nera per trovare il numero delle orbite, che so che si deve applicare Burnside, ma proprio non riesco a farlo!!!
Grazie mille a chi riuscirà a aiutarmi
Risposte
Comincio a risponderti al quesito 2.
Poi ti lascio pensare un po' e poi rispondo al resto.
L'azione non è transitiva.
Infatti l'azione è transitiva se esiste una sola orbita, cioè se $ AA x,y \in X^4, \exists \pi \in S_4 \ : \ y=\pi(x)$ .
Ora nel tuo caso l'azione porta un elemento $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ in un qualsiasi altro elemento che si può ottenere permutando le componenti dell'elemento di partenza (ad esempio posso ottenere $(x_3,x_2,x_1,x_4)$, oppure $(x_4,x_2,x_3,x_1)$, ....)
Perciò se parto con l'elemento (1,1,1,1) non potrò ottenere nessun altro elemento se non (1,1,1,1) stesso; e quindi se scelgo ad esempio (1,2,2,3) (ne ho scelto uno proprio a caso!) non esiste $\pi \in S_4$ tale che $\pi(1,1,1,1)=(1,2,2,3)$ e quindi l'azione non è transitiva.
Ora per rispondere al quesito 3, conosci la definizione di orbita e stabilizzatore di un elemento?
Poi ti lascio pensare un po' e poi rispondo al resto.
L'azione non è transitiva.
Infatti l'azione è transitiva se esiste una sola orbita, cioè se $ AA x,y \in X^4, \exists \pi \in S_4 \ : \ y=\pi(x)$ .
Ora nel tuo caso l'azione porta un elemento $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ in un qualsiasi altro elemento che si può ottenere permutando le componenti dell'elemento di partenza (ad esempio posso ottenere $(x_3,x_2,x_1,x_4)$, oppure $(x_4,x_2,x_3,x_1)$, ....)
Perciò se parto con l'elemento (1,1,1,1) non potrò ottenere nessun altro elemento se non (1,1,1,1) stesso; e quindi se scelgo ad esempio (1,2,2,3) (ne ho scelto uno proprio a caso!) non esiste $\pi \in S_4$ tale che $\pi(1,1,1,1)=(1,2,2,3)$ e quindi l'azione non è transitiva.
Ora per rispondere al quesito 3, conosci la definizione di orbita e stabilizzatore di un elemento?
perfetto, il questito 2 ora mi è molto piu chiaro...
Si, in poche parole lo stabilizzatore di x è quell'elemento che lo fissa, quindi sarebbero tutte le permutazioni che appplicate su quell'elemento, mi danno come risultato l'elemento stesso....no?
Si, in poche parole lo stabilizzatore di x è quell'elemento che lo fissa, quindi sarebbero tutte le permutazioni che appplicate su quell'elemento, mi danno come risultato l'elemento stesso....no?
La definizione di stabilizzatore è giusta.
Attenta però in questo caso anche a come è definita l'azione.
Prova a scrivere i passaggi che fai per arrivare a determinare lo stabilizztore di (3,1,1,3), così controllo se sono giusti
Attenta però in questo caso anche a come è definita l'azione.
Prova a scrivere i passaggi che fai per arrivare a determinare lo stabilizztore di (3,1,1,3), così controllo se sono giusti
eh..il problema è proprio quello.. non riesco proprio ad applicarla.. io direi che le uniche permutazioni che tengono fisso l'elemento (3,1,1,3), sono tutte quelle che non presentano solo 1 nè 3.. quindi: (2,4), (1,2,3,4), (1,2,2,4) (1,2,2,3) (1 2) ecc...... ma non mi convince..
"simonina_2":
Si, in poche parole lo stabilizzatore di x è quell'elemento che lo fissa, quindi sarebbero tutte le permutazioni che appplicate su quell'elemento, mi danno come risultato l'elemento stesso....no?
La definizione di stabilizzatore è giusta, ma la tua conclusione è assolutamente sbagliata!!
Qui c'è un'azione e devi tenere conto dell'azione che hai.
Leggi bene cosa fa l'azione...
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