Aiuto!!! Relazioni d'equivalenza
Salve a tutti sono nuovo di qui, e volevo proporvi questo esercizio:
Nell'insieme 4N ( dove N è l'insieme dei numeri naturali) si consideri la relazione ~ definita ponendo
x~y <=> l'ultima cifra di x è uguale all'ultima cifra di y.
Quanti e quali sono gli elementi dell'insieme quoziente 4N/~?
Si dimostri che l'assegnazione
w: [a]~ ∈4N/~ ---> [2a]~ ∈4N/~
è un'applicazione e che w sia invertibile. In tal caso se ne determini l'inversa.
Aiutatemi per piacere... è questione di vita o di morte. Domani ho l'esame di matematica discreta
Nell'insieme 4N ( dove N è l'insieme dei numeri naturali) si consideri la relazione ~ definita ponendo
x~y <=> l'ultima cifra di x è uguale all'ultima cifra di y.
Quanti e quali sono gli elementi dell'insieme quoziente 4N/~?
Si dimostri che l'assegnazione
w: [a]~ ∈4N/~ ---> [2a]~ ∈4N/~
è un'applicazione e che w sia invertibile. In tal caso se ne determini l'inversa.
Aiutatemi per piacere... è questione di vita o di morte. Domani ho l'esame di matematica discreta
Risposte
$4 \mathbb{N} = \{0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, \ldots\}$, quindi puoi vedere che l'insieme quoziente è dato da $4 \mathbb{N} "/" \sim = \{0, 4, 8, 12, 16\}$ (ogni elemento si intende in luogo della rispettiva classe di equivalenza).
Dato che $2a \in 4 \mathbb{N}$ per ogni $a \in 4 \mathbb{N}$, allora $[2a]_{\sim} \in 4 \mathbb{N} "/" \sim$ per ogni $a \in 4 \mathbb{N} "/" \sim$, questo basta per dire che $w$ è un'applicazione.
L'invertibilità si può mostrare a mano. Ci sono cinque casi possibili
se $[a]_{\sim} = 0$ allora $w(a) = 0$
se $[a]_{\sim} = 12$ allora $w(a) = 4$
se $[a]_{\sim} = 4$ allora $w(a) = 8$
se $[a]_{\sim} = 16$ allora $w(a) = 12$
se $[a]_{\sim} = 8$ allora $w(a) = 16$
E ora è immediato vedere che $w$ è sia iniettiva che suriettiva.
Dato che $2a \in 4 \mathbb{N}$ per ogni $a \in 4 \mathbb{N}$, allora $[2a]_{\sim} \in 4 \mathbb{N} "/" \sim$ per ogni $a \in 4 \mathbb{N} "/" \sim$, questo basta per dire che $w$ è un'applicazione.
L'invertibilità si può mostrare a mano. Ci sono cinque casi possibili
se $[a]_{\sim} = 0$ allora $w(a) = 0$
se $[a]_{\sim} = 12$ allora $w(a) = 4$
se $[a]_{\sim} = 4$ allora $w(a) = 8$
se $[a]_{\sim} = 16$ allora $w(a) = 12$
se $[a]_{\sim} = 8$ allora $w(a) = 16$
E ora è immediato vedere che $w$ è sia iniettiva che suriettiva.
"Tipper":
$4 \mathbb{N} = \{0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, \ldots\}$, quindi puoi vedere che l'insieme quoziente è dato da $4 \mathbb{N} "/" \sim = \{0, 2, 4, 6, 8\}$, ovvero è l'insieme delle cifre pari (ogni elemento si intende in luogo della rispettiva classe di equivalenza).
Dato che $2a$ è un numero pari per ogni $a \in \mathbb{N}$, allora $[2a]_{\sim} \in 4 \mathbb{N} "/" \sim$ per ogni $a \in \mathbb{N}$, questo basta (e avanza) per dire che $w$ è un'applicazione.
L'invertibilità si può mostrare a mano. Ci sono cinque casi possibili
se $[a]_{\sim} = 0$ allora $w(a) = 0$
se $[a]_{\sim} = 2$ allora $w(a) = 4$
se $[a]_{\sim} = 4$ allora $w(a) = 8$
se $[a]_{\sim} = 6$ allora $w(a) = 2$
se $[a]_{\sim} = 8$ allora $w(a) = 6$
E ora è immediato vedere che $w$ è sia iniettiva che suriettiva.
Grazie per la risposta Tipper
C'è solo una cosa che non ho capito. Se ci troviamo in 4ℕ/∼ (cioè l'insieme quoziente in cui ogni numero 4x ha l'ultima cifra uguale all'ultima cifra di un secondo numero 4y) perchè sono contenuti pure 2 e 6 che non fanno parte dell'insieme 4ℕ?
Io avevo pensato all'insieme 4ℕ/∼ = {0, 4, 8, 12, 16}
Avevo messo $2$ perché $2 \sim 12$, ma in effetti $2$ non fa parte di $4 \mathbb{N}$... Sai che faccio? Edito. 
"Tipper":
Avevo messo $2$ perché $2 \sim 12$, ma in effetti $2$ non fa parte di $4 \mathbb{N}$... Sai che faccio? Edito.
ah ok
Grazie mille per la risposta. Mi hai salvato la vita
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