Aiuto Esercizi Verifica f(x)-Biettiva,Surriettiva,Iniettiva
Ciao ragazzi, mi potete aiutare a verificare se i miei ragionamenti sono corretti .
Esercizio :
Verifica se l'applicazione $f : RR => RR$ tale che, per ogni $x in RR$, si ha $f(x)=(4x +3)/5$ è biettiva.
Possiamo scriverla come $y=(4x + 3)/5$ che è uguale a $y = (1/5 )*(4x + 3)=$ e se ora faccio variare la $x in RR$ ottengo dei valori distinti di $y in RR$ e con questo posso concludere che la funzione è Iniettiva esempio : presi due valori distinti $x_1=1$ e $x_2=-1$ ottengo $f(1)= 7/5$ e $f(-1)=-1/5$ e via dicendo mi accorgo che è Surriettiva perché a ogni elemento $B$ corrisponde un elemento di $A$.
Quindi concludo dicendo che la funzione è Bittiva.
Voi come avreste ragionato?!
Esercizio :
Verifica se l'applicazione $f : RR => RR$ tale che, per ogni $x in RR$, si ha $f(x)=(4x +3)/5$ è biettiva.
Possiamo scriverla come $y=(4x + 3)/5$ che è uguale a $y = (1/5 )*(4x + 3)=$ e se ora faccio variare la $x in RR$ ottengo dei valori distinti di $y in RR$ e con questo posso concludere che la funzione è Iniettiva esempio : presi due valori distinti $x_1=1$ e $x_2=-1$ ottengo $f(1)= 7/5$ e $f(-1)=-1/5$ e via dicendo mi accorgo che è Surriettiva perché a ogni elemento $B$ corrisponde un elemento di $A$.
Quindi concludo dicendo che la funzione è Bittiva.
Voi come avreste ragionato?!
Risposte
No non ci siamo.
Quello che devi provare è questo.
$AA x in RR : f(X)=f(y)=> x=y$
e per la surgettività che $AA y in RR EE x in RR : y=f(X)$
riprovaci.
Quello che devi provare è questo.
$AA x in RR : f(X)=f(y)=> x=y$
e per la surgettività che $AA y in RR EE x in RR : y=f(X)$
riprovaci.
Ricominciamo :
Verifica se l'applicazione $f : RR => RR$ tale che, per ogni $x in RR$, si ha $f(x)=(4x +3)/5$ è biettiva.
Scrivo le formule :
Iniettiva : $AA x_1,x_2 in RR , x_1!=x_2 => f(x_1) != f(x_2)$
Surriettiva : $AAyinRR EE x inRR:f(x)=y$
Dimostrazione se la funzione è Iniettiva :
Presi due valori $x_1,x_2 in RR $ tali che $x_1 != x_2$ segue che $f(x_1)=(4x_1 +3)/5$ e $f(x_2)=(4x_2 +3)/5$
Il mio obbiettivo è dimostrare che $f(x_1) != f(x_2)$
$(4x_1 + 3)/5 != (4x_2 + 3)/5$
moltiplico ad entrambi i lati per $5$ e ottengo :
$(4x_1 + 3 ) = (4x_2 + 3)$
$4x_1 + 3 -4x_2 -3 = 0$
$4( x_1 - x_2) = 0$
divido tutto per $4$ e ottengo
$x_1 != x_2$
Se facciamo un esempio : presi $x_1 = 1$ e $x_2=-1$ ottengo che $f(1)=7/5$ e $f(-1)=-1/5$ , quindi $f(1) != f(-1)$ .
Posso confermare che la funzione è Iniettiva e quindi $AA x_1,x_2 in RR , x_1!=x_2 => f(x_1) != f(x_2)$
Dimostrazione se la funzione è Surriettiva:
Devo dimostrare che $AAyinRR EE x inRR:y=f(x)$ , significa che tutti gli elementi di $y$ sono immagini di $x$ .
Esempio : $y = -1/5$ devo avere come risultato $x = -1$
$ - 1/5 = (4x +3)/5$ moltiplico tutto per $5$ entrambi i membri
$ - 1 = (4x + 3)$ segue che $ -1 -3 = 4x $ divido tutto per $4$ e ottengo $x = -1$ che è quello che ci dovevamo aspettare.
Questo vuole dimostrare che è anche Surriettiva.
Quindi quando la funzione è sia Iniettiva che Surriettiva si dice Biettiva .
Un aiuto di come svolgereste questo esercizio. Grazie anticipatamente..
Verifica se l'applicazione $f : RR => RR$ tale che, per ogni $x in RR$, si ha $f(x)=(4x +3)/5$ è biettiva.
Scrivo le formule :
Iniettiva : $AA x_1,x_2 in RR , x_1!=x_2 => f(x_1) != f(x_2)$
Surriettiva : $AAyinRR EE x inRR:f(x)=y$
Dimostrazione se la funzione è Iniettiva :
Presi due valori $x_1,x_2 in RR $ tali che $x_1 != x_2$ segue che $f(x_1)=(4x_1 +3)/5$ e $f(x_2)=(4x_2 +3)/5$
Il mio obbiettivo è dimostrare che $f(x_1) != f(x_2)$
$(4x_1 + 3)/5 != (4x_2 + 3)/5$
moltiplico ad entrambi i lati per $5$ e ottengo :
$(4x_1 + 3 ) = (4x_2 + 3)$
$4x_1 + 3 -4x_2 -3 = 0$
$4( x_1 - x_2) = 0$
divido tutto per $4$ e ottengo
$x_1 != x_2$
Se facciamo un esempio : presi $x_1 = 1$ e $x_2=-1$ ottengo che $f(1)=7/5$ e $f(-1)=-1/5$ , quindi $f(1) != f(-1)$ .
Posso confermare che la funzione è Iniettiva e quindi $AA x_1,x_2 in RR , x_1!=x_2 => f(x_1) != f(x_2)$
Dimostrazione se la funzione è Surriettiva:
Devo dimostrare che $AAyinRR EE x inRR:y=f(x)$ , significa che tutti gli elementi di $y$ sono immagini di $x$ .
Esempio : $y = -1/5$ devo avere come risultato $x = -1$
$ - 1/5 = (4x +3)/5$ moltiplico tutto per $5$ entrambi i membri
$ - 1 = (4x + 3)$ segue che $ -1 -3 = 4x $ divido tutto per $4$ e ottengo $x = -1$ che è quello che ci dovevamo aspettare.
Questo vuole dimostrare che è anche Surriettiva.
Quindi quando la funzione è sia Iniettiva che Surriettiva si dice Biettiva .
Un aiuto di come svolgereste questo esercizio. Grazie anticipatamente..
Nuovo Esercizio :
Verifica se l'applicazione $f : QQ => QQ$ tale che, per ogni $x in QQ$, si ha $f(x)=(2x -3)/7$ è biettiva.
Scrivo le formule :
Iniettiva : $AA x_1,x_2 in QQ , x_1!=x_2 => f(x_1) != f(x_2)$
Surriettiva : $AAyinQQ EE x inQQ:f(x)=y$
Dimostrazione se la funzione è Iniettiva :
Presi due valori $x_1,x_2 in QQ$ tali che $x_1!=x_2$ segue che $f(x_1) = (2x_1 -3)/7$ e $f(x_2) = (2x_2 -3)/7$ il mio obbiettivo è di dimostrare che $f(x_1) != f(x_2)$ , quindi :
$(2x_1 -3)/7 != (2x_2 -3)/7$ moltiplico entrambi membri per $7$
$(2x_1 -3) = (2x_2 -3)$
$2x_1 -3 -2x_2 + 3 = 0$
$2(x_1 - x_2) = 0$ divido entrambi i membri per $2$
$x_1 != x_2 $
Facciamo una verifica mettendo come valore $x_1=13/2$ e $x_2=-13/2$
$(2*(13/2) -3)/7 = (2*(-13/2) -3)/7$
$ 10/7 != -16/7$
Quindi è verificata la condizione di Iniettiva, quindi $f(13/2) = 10/7 $ e $f(-13/2)=-16/7$ quindi $f(13/2) != f(-13/2)$ , $x_1 != x_2 => 10/7 != 16/7$
Devo dimostrare che $AAyinQQ EE x inQQ:f(x)=y$ , significa che tutti gli elementi di y sono immagini di x .
Esempio : $y=10/7$ devo avere come risultato $x=13/2$
$10/7=(2x -3)/7$ moltiplico tutto per 7 entrambi i membri
$10=(2x-3)$ segue che $10+3=2x => 13 = 2x => x= 13/2$ quello che noi ci aspettavamo.
Questo vuole dimostrare che è anche Surriettiva.
Quindi quando la funzione è sia Iniettiva che Surriettiva si dice Biettiva .
Un aiuto di come svolgereste questo esercizio. Grazie anticipatamente..
Verifica se l'applicazione $f : QQ => QQ$ tale che, per ogni $x in QQ$, si ha $f(x)=(2x -3)/7$ è biettiva.
Scrivo le formule :
Iniettiva : $AA x_1,x_2 in QQ , x_1!=x_2 => f(x_1) != f(x_2)$
Surriettiva : $AAyinQQ EE x inQQ:f(x)=y$
Dimostrazione se la funzione è Iniettiva :
Presi due valori $x_1,x_2 in QQ$ tali che $x_1!=x_2$ segue che $f(x_1) = (2x_1 -3)/7$ e $f(x_2) = (2x_2 -3)/7$ il mio obbiettivo è di dimostrare che $f(x_1) != f(x_2)$ , quindi :
$(2x_1 -3)/7 != (2x_2 -3)/7$ moltiplico entrambi membri per $7$
$(2x_1 -3) = (2x_2 -3)$
$2x_1 -3 -2x_2 + 3 = 0$
$2(x_1 - x_2) = 0$ divido entrambi i membri per $2$
$x_1 != x_2 $
Facciamo una verifica mettendo come valore $x_1=13/2$ e $x_2=-13/2$
$(2*(13/2) -3)/7 = (2*(-13/2) -3)/7$
$ 10/7 != -16/7$
Quindi è verificata la condizione di Iniettiva, quindi $f(13/2) = 10/7 $ e $f(-13/2)=-16/7$ quindi $f(13/2) != f(-13/2)$ , $x_1 != x_2 => 10/7 != 16/7$
Devo dimostrare che $AAyinQQ EE x inQQ:f(x)=y$ , significa che tutti gli elementi di y sono immagini di x .
Esempio : $y=10/7$ devo avere come risultato $x=13/2$
$10/7=(2x -3)/7$ moltiplico tutto per 7 entrambi i membri
$10=(2x-3)$ segue che $10+3=2x => 13 = 2x => x= 13/2$ quello che noi ci aspettavamo.
Questo vuole dimostrare che è anche Surriettiva.
Quindi quando la funzione è sia Iniettiva che Surriettiva si dice Biettiva .
Un aiuto di come svolgereste questo esercizio. Grazie anticipatamente..
"Davide1986":per la cronaca, non sono formule ma definizioni
Nuovo Esercizio :
Verifica se l'applicazione $f : QQ => QQ$ tale che, per ogni $x in QQ$, si ha $f(x)=(2x -3)/7$ è biettiva.
Scrivo le formule :
Iniettiva : $AA x_1,x_2 in QQ , x_1!=x_2 => f(x_1) != f(x_2)$
Surriettiva : $AAyinQQ EE x inQQ:f(x)=y$
Dimostrazione se la funzione è Iniettiva :
Presi due valori $x_1,x_2 in QQ$ tali che $x_1!=x_2$ segue che $f(x_1) = (2x_1 -3)/7$ e $f(x_2) = (2x_2 -3)/7$ il mio obbiettivo è di dimostrare che $f(x_1) != f(x_2)$ , quindi :
$(2x_1 -3)/7 != (2x_2 -3)/7$ moltiplico entrambi membri per $7$
$(2x_1 -3) = (2x_2 -3)$
$2x_1 -3 -2x_2 + 3 = 0$
$2(x_1 - x_2) = 0$ divido entrambi i membri per $2$
$x_1 != x_2 $
non va bene. Tu devi dimostrare che da $x_1!=x_2 => f(x_1)!=f(x_2)$
Tu invece parti dalla tesi per arrivare a dimostrare la tesi, il che è concettualmente sbagliato.
se proprio volevi usare questa formulazione avresti dovuto fare così
inoltre, quello che hai provato è una banalità. Non hai provato altro che quella è una funzione.
infatti si può dire che s$f$ è una funzione se $x_1=x_2 => f(x_1)=f(x_2)$ oppure in altri termini, equivalentemente
$f(x_1)!=f(x_2)=>x_1!=x_2$
Io ti ho proposto un'altra via. L'enunciato equivalente della def di funzione.
def $f$ si dice iniettiva se $AA x,y in A : x_1!=x_2 => f(x_1)!=f(x_2)$ O EQUIVALENTEMENTE f(x_1)=f(x_2)=> x_1=x_2
se usiamo questa allora ciò che scrivi può avere un senso.
si dimostra così
Devo dimostrare che $AAyinQQ EE x inQQ:f(x)=y$ , significa che tutti gli elementi di y sono immagini di x .
Esempio : $y=10/7$ devo avere come risultato $x=13/2$
$10/7=(2x -3)/7$ moltiplico tutto per 7 entrambi i membri
$10=(2x-3)$ segue che $10+3=2x => 13 = 2x => x= 13/2$ quello che noi ci aspettavamo.
Questo vuole dimostrare che è anche Surriettiva.
Quindi quando la funzione è sia Iniettiva che Surriettiva si dice Biettiva .
no amico, non ci siamo proprio, hai forviato la definizione!!!
ripeto non puoi portare degli esempi, devi dimostrare in generale!
Quello che devi dimostrare è che $AA y in QQ EE x in QQ : y=f(x)$ cioè detto in parole povere, che ogni elemento del codominio ha una controimmagine!!!
O in altri termini che ogni elemento del codominio è immagine di almeno uno del dominio.
Si può fare così
ora tu sai che $f$ è sia iniettiva che suriettiva ne segue che $f$ è biettiva.
E se proprio vogliamo trovarne un'inversa abbiamo che $f^(-1)(y)=(7y+3)/2$
se ancora non t'è chiaro qualcosa, chiedi.
Una funzione [tex]f : A \rightarrow B[/tex] è suriettiva anche quando [tex]Im(f) = B[/tex], cioè l'insieme delle immagini è uguale al codominio, quindi da questo puoi provare a chiederti se ci sono dei casi in cui l'immagine non è contenuta nel codominio, perchè in tal caso non sarebbe suriettiva.
Vediamo se ho capito, riprovo a fare tutti i passaggi per trovare uno schema di svolgimento che cosi all'esame non sbaglio .
Esercizio :
Verifica se l'applicazione $f : QQ => QQ : AA x in QQ => f(x)=(2x-3)/7 \$ è biettiva.
Quindi devo dimostrare che $AA x in QQ : f(X) = f(y) => x = y$ e per fare questo mi devo scrivere la $f(y)$
Quindi procedo come segue $AA x in QQ , AA y in QQ$:
$f(X) = f(y) \ => x = y$
$(1/7)*(2x -3)=f(y)=> (1/7)*(2x -3) = y$
$2x -3 = 7y$
$2x = 7y + 3$
$x = (7y + 3)/2$
Cosi ottengo che : $x = (7y + 3 )/2 \$ che sono tutte le controimmagini e che $y = (2x -3)/7 \$ sono tutte le immagini.
Ora devo dimostrare che la funzione è Suriettiva e Iniettiva :
Si dice Iniettiva quando presi due elementi distinti, esempio $x_1 in QQ$ e $x_2 in QQ$ tali che $x_1 != x_2$ ottengo che $f(x_1) != f(x_2)$ in maniera EQUIVALENTEMENTE si scrive $f(x_1)=f(x_2)=> x_1=x_2$ .
Posso dimostrare se $f$ è Iniettiva :
$f(x_1) = f(x_2)$
$(1/7)*(2x_1 -3) = (1/7)*(2x_2 -3)$ moltiplico tutto per $7$
$2x_1 -3 = 2x_2 -3$
$2x-1 = 2x_2$ si divide tutto per $2$
$x_1 = x_2$ concludo dicendo che la funzione $f$ è Iniettiva
Ora passo alla dimostrazione che $f$ è anche Suriettiva :
$AA y in QQ EE x in QQ : y=f(x)$
Questo vuole significare che per ogni $y$ ci deve essere una $x$ o meglio per ogni immagine deve esserci una sua controimmagine .
Quindi $f(x)=y => (1/7)*(2x-3)=y => (1/2)*(7y+3) = x$ , $AA x,y in QQ$
Facciamo ora un esempio per verificare se è Suriettiva:
$y = 1 , y in QQ$ e ci aspettiamo come risultato $x=10/2=5$
Ora prendiamo la controimmagine $x=(1/2)*(7y+3)$ sostituiamo $y=1$ e ottengo $x = (1/2)*(7*(1) + 3) = 10/2 = 5$ .
Ora verifico partendo da $x=5 , x in QQ$ e devo ottenere l'immagine $y=1, y in QQ$
Ora prendiamo l'immagine $y=(1/7)*(2x-3)$ sostituisco $x=5$ e ottengo $y = (1/7)*(2*(5)-3) = 7/7 = 1$ , che è proprio quello che ci aspettavamo.
Con questo posso concludere che la funzione $f$ è anche Suriettiva .
Se la funzione è Iniettiva e Suriettiva possiamo concludere che è anche Biettiva.
Esercizio :
Verifica se l'applicazione $f : QQ => QQ : AA x in QQ => f(x)=(2x-3)/7 \$ è biettiva.
Quindi devo dimostrare che $AA x in QQ : f(X) = f(y) => x = y$ e per fare questo mi devo scrivere la $f(y)$
Quindi procedo come segue $AA x in QQ , AA y in QQ$:
$f(X) = f(y) \ => x = y$
$(1/7)*(2x -3)=f(y)=> (1/7)*(2x -3) = y$
$2x -3 = 7y$
$2x = 7y + 3$
$x = (7y + 3)/2$
Cosi ottengo che : $x = (7y + 3 )/2 \$ che sono tutte le controimmagini e che $y = (2x -3)/7 \$ sono tutte le immagini.
Ora devo dimostrare che la funzione è Suriettiva e Iniettiva :
Si dice Iniettiva quando presi due elementi distinti, esempio $x_1 in QQ$ e $x_2 in QQ$ tali che $x_1 != x_2$ ottengo che $f(x_1) != f(x_2)$ in maniera EQUIVALENTEMENTE si scrive $f(x_1)=f(x_2)=> x_1=x_2$ .
Posso dimostrare se $f$ è Iniettiva :
$f(x_1) = f(x_2)$
$(1/7)*(2x_1 -3) = (1/7)*(2x_2 -3)$ moltiplico tutto per $7$
$2x_1 -3 = 2x_2 -3$
$2x-1 = 2x_2$ si divide tutto per $2$
$x_1 = x_2$ concludo dicendo che la funzione $f$ è Iniettiva
Ora passo alla dimostrazione che $f$ è anche Suriettiva :
$AA y in QQ EE x in QQ : y=f(x)$
Questo vuole significare che per ogni $y$ ci deve essere una $x$ o meglio per ogni immagine deve esserci una sua controimmagine .
Quindi $f(x)=y => (1/7)*(2x-3)=y => (1/2)*(7y+3) = x$ , $AA x,y in QQ$
Facciamo ora un esempio per verificare se è Suriettiva:
$y = 1 , y in QQ$ e ci aspettiamo come risultato $x=10/2=5$
Ora prendiamo la controimmagine $x=(1/2)*(7y+3)$ sostituiamo $y=1$ e ottengo $x = (1/2)*(7*(1) + 3) = 10/2 = 5$ .
Ora verifico partendo da $x=5 , x in QQ$ e devo ottenere l'immagine $y=1, y in QQ$
Ora prendiamo l'immagine $y=(1/7)*(2x-3)$ sostituisco $x=5$ e ottengo $y = (1/7)*(2*(5)-3) = 7/7 = 1$ , che è proprio quello che ci aspettavamo.
Con questo posso concludere che la funzione $f$ è anche Suriettiva .
Se la funzione è Iniettiva e Suriettiva possiamo concludere che è anche Biettiva.
"Davide1986":la condizione è $AA x,y in Q : f(x)=f(y)=> x=y$
Vediamo se ho capito, riprovo a fare tutti i passaggi per trovare uno schema di svolgimento che cosi all'esame non sbaglio .
Esercizio :
Verifica se l'applicazione $f : QQ => QQ : AA x in QQ => f(x)=(2x-3)/7 \$ è biettiva.
Quindi devo dimostrare che $AA x in QQ : f(X) = f(y) => x = y$ e per fare questo mi devo scrivere la $f(y)$
cosa stai facendo qui? non capisco.
Quindi procedo come segue $AA x in QQ , AA y in QQ$:
$f(X) = f(y) \ => x = y$
$(1/7)*(2x -3)=f(y)=> (1/7)*(2x -3) = y$
$2x -3 = 7y$
$2x = 7y + 3$
$x = (7y + 3)/2$
Cosi ottengo che : $x = (7y + 3 )/2 \$ che sono tutte le controimmagini e che $y = (2x -3)/7 \$ sono tutte le immagini.
$(1/7)*(2x -3)=f(y)=> (1/7)*(2x -3) = y$non ha senso!!! x,y sono punti. $f(y)= (2y-3)/2$ e non $y$!
ok.
Ora devo dimostrare che la funzione è Suriettiva e Iniettiva :
Si dice Iniettiva quando presi due elementi distinti, esempio $x_1 in QQ$ e $x_2 in QQ$ tali che $x_1 != x_2$ ottengo che $f(x_1) != f(x_2)$ in maniera EQUIVALENTEMENTE si scrive $f(x_1)=f(x_2)=> x_1=x_2$ .
Posso dimostrare se $f$ è Iniettiva :
$f(x_1) = f(x_2)$
$(1/7)*(2x_1 -3) = (1/7)*(2x_2 -3)$ moltiplico tutto per $7$
$2x_1 -3 = 2x_2 -3$
$2x-1 = 2x_2$ si divide tutto per $2$
$x_1 = x_2$ concludo dicendo che la funzione $f$ è Iniettiva
ok ma non sono sicuro se hai capito (è normale, la suriettività è la cosa più difficile da dimostrare) io ci ho messo un po a capirla
Ora passo alla dimostrazione che $f$ è anche Suriettiva :
$AA y in QQ EE x in QQ : y=f(x)$
Questo vuole significare che per ogni $y$ ci deve essere una $x$ o meglio per ogni immagine deve esserci una sua controimmagine .
Quindi $f(x)=y => (1/7)*(2x-3)=y => (1/2)*(7y+3) = x$ , $AA x,y in QQ$
.comunque
potevi anche sfruttare il suggerimento del caro buon vecchio Gundam.
però prima dimostra questo
teorema
Sia $f : A->B$ una funzione. $f$ è surgettiva se e solo se $Imf=B$ . prove it!
ok.
Facciamo ora un esempio per verificare se è Suriettiva:
$y = 1 , y in QQ$ e ci aspettiamo come risultato $x=10/2=5$
Ora prendiamo la controimmagine $x=(1/2)*(7y+3)$ sostituiamo $y=1$ e ottengo $x = (1/2)*(7*(1) + 3) = 10/2 = 5$ .
Ora verifico partendo da $x=5 , x in QQ$ e devo ottenere l'immagine $y=1, y in QQ$
Ora prendiamo l'immagine $y=(1/7)*(2x-3)$ sostituisco $x=5$ e ottengo $y = (1/7)*(2*(5)-3) = 7/7 = 1$ , che è proprio quello che ci aspettavamo.
Con questo posso concludere che la funzione $f$ è anche Suriettiva .
Se la funzione è Iniettiva e Suriettiva possiamo concludere che è anche Biettiva.
Domande :
che differenza c'è tra la suriettività e l'ingettività?
se una funzione è suriettiva, allora ogni elemento del co-dominio ha almeno una controimmagine, perché non si può dire sempre che $f$ è invertibile se ogni elemento del codominio ha almeno una controimmagine?
ciao davide
Grazie della pazienza che hai con me, ora provo a rispondere alle domande :
Provo a spiegare il teorema:
Sia $f:A->B$ una funzione. $f$ è surgettiva se e solo se $Imf=B$ .
Partiamo dal fatto che :
$A:$Dominio di$f$
$f(A)\subsetB:$Codominio di $f$
L'immagine di $f$ e il sottoinsieme di $B$ costituito da tutti gli elementi di $B$ che sono immagine di almeno un elemento di $A$:
$Imf = {b in B : B = f(a)$ per qualche $a in A}$
Domande :
che differenza c'è tra la suriettività e l'ingettività?
La funzione $f$ si dice suriettiva se $Imf = B$, se cioe ogni elemento di $B$ è l'immagine di
qualche elemento di $A$.
La funzione $f$ si dice iniettiva se trasforma elementi distinti di $A$ in elementi distinti di
$B$, quindi se: $a != a' => f(a)!= f(a')$, un modo equivalente di esprimere l'iniettivita di $f$ e il seguente:
$f(a) = f(a') => a = a'$
La funzione $f$ si dice biiettva se è sia iniettiva che suriettiva.
Se $f$ è biunivoca si ha $f(A)=B$, ossia il codominio di $f$ coincide con l'insieme $B$.
Quindi, se la funzione $f$ è biunivoca, non solo a ogni $x in A$ si può associare uno e un solo $y in B$ , ma anche a ogni $y in B$si può associare uno e un solo $x in A$ ; si dice allora che gli insiemi $A$ e $B$ sono in corrispondenza biunivoca: vi è quindi una corrispondenza biunivoca tra il dominio e il codominio di $f$.
Quindi per rispondere alle domande :
Qual'è la differenza tra Iniettiva e Surriettiva che :
Basta che presa una immagine di $f$, $f(x_1)$ ottengo due controimmagini $x_1 , x_2$ distinte che non è più verificata la condizione di Iniettiva, che afferma che presi due valori distinti $x_1$ e $x_2$ ottengo due immagini distinte $f(x_1)$ e $f(x_2)$. Mentre per essere Suriettiva basta che tutti gli elementi di $B$ anno almeno una controimmagine di $A$.
Quindi Iniettiva la scriverei cosi : $AA x in A $ $\ \$ $EE $ un unica $\ \$ $y in B$ e nello stesso tempo si verifiche che $AA y in B $ $\ \$ $EE $ un unica $\ \$ $x in A$ .
Mentre per la surriettiva : $AA y in B$ $\ \$ $EE $ $\ \$ $x in A : f(x) = y $
Fino a qui è corretta la teoria?! Ci sono delle imprecisioni?!
Provo a spiegare il teorema:
Sia $f:A->B$ una funzione. $f$ è surgettiva se e solo se $Imf=B$ .
Partiamo dal fatto che :
$A:$Dominio di$f$
$f(A)\subsetB:$Codominio di $f$
L'immagine di $f$ e il sottoinsieme di $B$ costituito da tutti gli elementi di $B$ che sono immagine di almeno un elemento di $A$:
$Imf = {b in B : B = f(a)$ per qualche $a in A}$
Domande :
che differenza c'è tra la suriettività e l'ingettività?
La funzione $f$ si dice suriettiva se $Imf = B$, se cioe ogni elemento di $B$ è l'immagine di
qualche elemento di $A$.
La funzione $f$ si dice iniettiva se trasforma elementi distinti di $A$ in elementi distinti di
$B$, quindi se: $a != a' => f(a)!= f(a')$, un modo equivalente di esprimere l'iniettivita di $f$ e il seguente:
$f(a) = f(a') => a = a'$
La funzione $f$ si dice biiettva se è sia iniettiva che suriettiva.
Se $f$ è biunivoca si ha $f(A)=B$, ossia il codominio di $f$ coincide con l'insieme $B$.
Quindi, se la funzione $f$ è biunivoca, non solo a ogni $x in A$ si può associare uno e un solo $y in B$ , ma anche a ogni $y in B$si può associare uno e un solo $x in A$ ; si dice allora che gli insiemi $A$ e $B$ sono in corrispondenza biunivoca: vi è quindi una corrispondenza biunivoca tra il dominio e il codominio di $f$.
Quindi per rispondere alle domande :
Qual'è la differenza tra Iniettiva e Surriettiva che :
Basta che presa una immagine di $f$, $f(x_1)$ ottengo due controimmagini $x_1 , x_2$ distinte che non è più verificata la condizione di Iniettiva, che afferma che presi due valori distinti $x_1$ e $x_2$ ottengo due immagini distinte $f(x_1)$ e $f(x_2)$. Mentre per essere Suriettiva basta che tutti gli elementi di $B$ anno almeno una controimmagine di $A$.
Quindi Iniettiva la scriverei cosi : $AA x in A $ $\ \$ $EE $ un unica $\ \$ $y in B$ e nello stesso tempo si verifiche che $AA y in B $ $\ \$ $EE $ un unica $\ \$ $x in A$ .
Mentre per la surriettiva : $AA y in B$ $\ \$ $EE $ $\ \$ $x in A : f(x) = y $
Fino a qui è corretta la teoria?! Ci sono delle imprecisioni?!
Non credo che Kashaman intendesse una dimostrazione come quella... provo a metterla io in spoiler (con la speranza che sia giusta ).
).
quello che dici è tutto corretto, mi sembra, tuttavia
Non hai dimostrato che
$f : A->B$ suriettiva $<=> Imf=B$
lo faccio io, sperando sia corretto quello che dico
come giustamente dici una $f$ con la sola condizione che sia suriettiva non si può dire con certezza se sia invertibile, perché non è detto che un elemento abbia una sola controimmagine. ( questo ce lo garantisce l'iniettività)
tutta via c'è un caso particolare, dove puoi considerare equivalenti le nozioni di iniettività e suriettività, sai quale?
PS : tranquillo ,mi fa piacere aiutarti,per quel poco che posso
Non hai dimostrato che
$f : A->B$ suriettiva $<=> Imf=B$
lo faccio io, sperando sia corretto quello che dico
come giustamente dici una $f$ con la sola condizione che sia suriettiva non si può dire con certezza se sia invertibile, perché non è detto che un elemento abbia una sola controimmagine. ( questo ce lo garantisce l'iniettività)
tutta via c'è un caso particolare, dove puoi considerare equivalenti le nozioni di iniettività e suriettività, sai quale?
PS : tranquillo ,mi fa piacere aiutarti,per quel poco che posso
"GundamRX91":
Non credo che Kashaman intendesse una dimostrazione come quella... provo a metterla io in spoiler (con la speranza che sia giusta
no non intendevo quella, ma fa niente. Alla fine quello che gli chiedo è un "di più". Però aiuta a capire un sacco di cose. Delle volte sono i "di più" che ti schiariscono enormemente le idee.
io ho puntato su una più intuitiva, però mi sembra giusta anche la tua. Domanda, nella definizione 1 non dovrebbero esserci dei per ogni e qualche simbolo di appartenza
, o sbaglio?
"Kashaman":
tutta via c'è un caso particolare, dove puoi considerare equivalenti le nozioni di iniettività e suriettività, sai quale?
Non saprei, quando è iniettiva, ed è anche surriettiva quindi è biettiva ?!
Sto leggendo in rete e ho trovato " Il Teorema di Omomorfismo per Insiemi " ti riferisci a questo?!
"Kashaman":
[quote="GundamRX91"]Non credo che Kashaman intendesse una dimostrazione come quella... provo a metterla io in spoiler (con la speranza che sia giusta
no non intendevo quella, ma fa niente. Alla fine quello che gli chiedo è un "di più". Però aiuta a capire un sacco di cose. Delle volte sono i "di più" che ti schiariscono enormemente le idee.
io ho puntato su una più intuitiva, però mi sembra giusta anche la tua. Domanda, nella definizione 1 non dovrebbero esserci dei per ogni e qualche simbolo di appartenza
, o sbaglio?[/quote]In effetti manca [tex]a \vdash f(a)=b, \forall a \in A[/tex]. Il mio intento era quello di "ben definire" la funzione....
Ora riprovo a risponde alla domanda dell'esame :
Esercizio :
Verifica se l'applicazione $f : RR => RR$ tale che, per ogni $x in RR$, si ha $f(x)=(4x +3)/5 \$ è biettiva.
Quindi partiamo dal fatto che $f$ è biettiva che quindi $f$ è Suriettiva e Iniettiva.
Quando $f$ è Suriettiva :
Quando $AA y in RR EE x in RR : y = f(x)$ , quindi $f(x) = y$ segue che $(1/5)*(4x +3) <=>(1/4)*(5y-3) = x $ dove $x,y in RR$
Otteniamo che $AA y in RR$ abbiamo una controimmagine, $x=(1/4)*(5y-3)$
Esempio : $y=0$ la sua controimmagine $x=-3/4$ infatti se facciamo una verifica, $f(-3/4)=(1/5)*(4*(-3/4) +3)=0$ che è la nostra immagine ottenuta da $f$.
Verifichiamo se è anche Iniettiva :
La funzione $f$ è Iniettiva quando : $AA x_1,x_2 in A : x_1 != x_2 => f(x_1) != f(x_2)$ o modo EQUIVALENTE $f(x_1) = f(x_2) => x_1 = x_2$ .
Basta che dimostriamo che $x_1 = x_2$ sono uguali, che concludiamo che non è Iniettiva , perché la tesi afferma che $x_1 != x_2$.
Quindi procediamo alla verifica : presi due valori $x_1,x_2 in RR : x_1 != x_2 => (1/5)*(4x_1+3) = (1/5)*(4x_2 + 3) => x_1 = x_2$ quindi possiamo dire che è Iniettiva perché presi due valori distinti $x_1, x_2 in RR$ otteniamo la seguenti condizione $x_1 != x_2$ .
Se vogliamo fare un esempio :
$x_1 = 1$ e $x_2 = -1$ dove $x_1, x_2 in RR$
Otteniamo che :
$ (1/5)*(4x_1+3) != (1/5)*(4x_2 + 3) $
$(1/5)*(4*(1)+3) != (1/5)*(4(-1) + 3) $
$7/5 != -1/4$
Quindi si conclude che la funzione è Iniettiva, perché rispetta la tesi che $f(x_1)!=f(x_2)$ e che $x_1 != x_2$ .
Cosi potrebbe andare a un compito d'esame?! come fareste voi?!
Esercizio :
Verifica se l'applicazione $f : RR => RR$ tale che, per ogni $x in RR$, si ha $f(x)=(4x +3)/5 \$ è biettiva.
Quindi partiamo dal fatto che $f$ è biettiva che quindi $f$ è Suriettiva e Iniettiva.
Quando $f$ è Suriettiva :
Quando $AA y in RR EE x in RR : y = f(x)$ , quindi $f(x) = y$ segue che $(1/5)*(4x +3) <=>(1/4)*(5y-3) = x $ dove $x,y in RR$
Otteniamo che $AA y in RR$ abbiamo una controimmagine, $x=(1/4)*(5y-3)$
Esempio : $y=0$ la sua controimmagine $x=-3/4$ infatti se facciamo una verifica, $f(-3/4)=(1/5)*(4*(-3/4) +3)=0$ che è la nostra immagine ottenuta da $f$.
Verifichiamo se è anche Iniettiva :
La funzione $f$ è Iniettiva quando : $AA x_1,x_2 in A : x_1 != x_2 => f(x_1) != f(x_2)$ o modo EQUIVALENTE $f(x_1) = f(x_2) => x_1 = x_2$ .
Basta che dimostriamo che $x_1 = x_2$ sono uguali, che concludiamo che non è Iniettiva , perché la tesi afferma che $x_1 != x_2$.
Quindi procediamo alla verifica : presi due valori $x_1,x_2 in RR : x_1 != x_2 => (1/5)*(4x_1+3) = (1/5)*(4x_2 + 3) => x_1 = x_2$ quindi possiamo dire che è Iniettiva perché presi due valori distinti $x_1, x_2 in RR$ otteniamo la seguenti condizione $x_1 != x_2$ .
Se vogliamo fare un esempio :
$x_1 = 1$ e $x_2 = -1$ dove $x_1, x_2 in RR$
Otteniamo che :
$ (1/5)*(4x_1+3) != (1/5)*(4x_2 + 3) $
$(1/5)*(4*(1)+3) != (1/5)*(4(-1) + 3) $
$7/5 != -1/4$
Quindi si conclude che la funzione è Iniettiva, perché rispetta la tesi che $f(x_1)!=f(x_2)$ e che $x_1 != x_2$ .
Cosi potrebbe andare a un compito d'esame?! come fareste voi?!
"Davide1986":cosa vuoi dire?
La funzione $f$ è Iniettiva quando : $AA x_1,x_2 in A : x_1 != x_2 => f(x_1) != f(x_2)$ o modo EQUIVALENTE $f(x_1) = f(x_2) => x_1 = x_2$ .
Basta che dimostriamo che $x_1 = x_2$ sono uguali, che concludiamo che non è Iniettiva , perché la tesi afferma che $x_1 != x_2$.
qui cadi in un'assurda contraddizione, perché?
Quindi procediamo alla verifica : presi due valori $x_1,x_2 in RR : x_1 != x_2 => (1/5)*(4x_1+3) = (1/5)*(4x_2 + 3) => x_1 = x_2$
[/quote]
quindi possiamo dire che è Iniettiva perché presi due valori distinti $x_1, x_2 in RR$ otteniamo la seguenti condizione $x_1 != x_2$ .
non ha senso.
Se vogliamo fare un esempio :
$x_1 = 1$ e $x_2 = -1$ dove $x_1, x_2 in RR$
Otteniamo che :
$ (1/5)*(4x_1+3) != (1/5)*(4x_2 + 3) $
$(1/5)*(4*(1)+3) != (1/5)*(4(-1) + 3) $
$7/5 != -1/4$
Quindi si conclude che la funzione è Iniettiva, perché rispetta la tesi che $f(x_1)!=f(x_2)$ e che $x_1 != x_2$ .
Cosi potrebbe andare a un compito d'esame?! come fareste voi?!
no non può andare, ci sono molti punti dove ti contraddici e te li ho segnalati, cerca di capire perché.
Che ne dici se ci approcciamo in qualcosa di più semplice?
Allora, senza riportare definizioni e quant'altro, cerca di dimostrare che
$f : RR -> RR$ definita ponendo $AA x in RR : f(x) = 2x$ è una biezione e calcola un'inversa.
Provo di primo impatto :
Se $x,z in RR$ e $x != z$ ovviamente $2x != 2z$ e quindi è Iniettiva ,inoltre $AA y in RR$ esiste $x=y/2$ tale che $f(x)=y$ .
Una funzione inversa $f^-1$ è cosi definita $f^-1(x)=x/2 , AA x in RR$
Nel frattempo penso a come scriverla meglio.
1) Iniettiva : $x,z in RR$ e $x != z => 2x != 2z $ quindi si conclude che è Iniettiva. Se faccio un esempio : $x=1 , z=-1 , x,z in RR => 2*(1) != 2*(-1) => 2 != -2 $ quindi è Iniettiva.
2) Suriettiva : $AA y in RR EE x=y/2 : f(x)=y $ con $ x,y in R$ . Se faccio un esempio $y=4$ otteniamo $x=2$
3) Inversa : $f(4)^(-1) = 4/2 = 2 $ cosi possiamo verificare l'inversa, se mettiamo come $x=2$ dobbiamo ottenere come immagine $y=4$ dimostrazione $f(2) = 2*(2) = 4$
Se $x,z in RR$ e $x != z$ ovviamente $2x != 2z$ e quindi è Iniettiva ,inoltre $AA y in RR$ esiste $x=y/2$ tale che $f(x)=y$ .
Una funzione inversa $f^-1$ è cosi definita $f^-1(x)=x/2 , AA x in RR$
Nel frattempo penso a come scriverla meglio.
1) Iniettiva : $x,z in RR$ e $x != z => 2x != 2z $ quindi si conclude che è Iniettiva. Se faccio un esempio : $x=1 , z=-1 , x,z in RR => 2*(1) != 2*(-1) => 2 != -2 $ quindi è Iniettiva.
2) Suriettiva : $AA y in RR EE x=y/2 : f(x)=y $ con $ x,y in R$ . Se faccio un esempio $y=4$ otteniamo $x=2$
3) Inversa : $f(4)^(-1) = 4/2 = 2 $ cosi possiamo verificare l'inversa, se mettiamo come $x=2$ dobbiamo ottenere come immagine $y=4$ dimostrazione $f(2) = 2*(2) = 4$
"Davide1986":
Provo di primo impatto :
Se $x,z in RR$ e $x != z$ ovviamente $2x != 2z$ e quindi è Iniettiva ,inoltre $AA y in RR$ esiste $x=y/2$ tale che $f(x)=y$ .
Una funzione inversa $f^-1$ è cosi definita $f^-1(x)=x/2 , AA x in RR$
Nel frattempo penso a come scriverla meglio.
va bene. Piccola retta. Per la inversa si scrive $f^(-1)(y)=y/2$.
per la suriettività ci siamo!
per la iniettività anche, ma ti ho detto che ragionare sotto quest'altra forma :
Prendiamo $x,y in RR$ generici.
si ha che
$f(x)=f(y)=> 2x=2y=> x=y$ e cioè è iniettiva. 1)
è più conveniente.
Come giustifichi che se due numeri sono diversi allora è diverso anche il loro doppio? ragiona come ho fatto nel punto 1) è più conveniente.
Fai questi altri, sempre d'impatto , ragionando e non facendo papiri che è meglio così
Sia $g : RR -> RR$ una funzione definita ponendo $AA x in RR : f(X) = x^(-1)$
a) f è iniettiva?
b) f è ben definita?
c) f è suriettiva?
d) procedendo per restrizione e corestrizione , fare in modo che $g$ diventi bigettiva.
Come giustifichi che se due numeri sono diversi allora è diverso anche il loro doppio? ragiona come ho fatto nel punto 1) è più conveniente.
Risponderei :
Ipotizziamo per assurdo che prendiamo due valori distinti $x, y in RR $ tale che $ x != y $ e vogliamo dimostrare che il loro doppio sono uguali quindi $2x = 2y => x=y$ otteniamo come risultato che abbiamo due valori diversi $x != y$ e quindi abbiamo come risultato la negazione di quanto avevamo affermato all'inizio e quindi abbiamo dimostrato che se presi due valori distinti anche il loro doppio è diverso.
"Davide1986":Come giustifichi che se due numeri sono diversi allora è diverso anche il loro doppio? ragiona come ho fatto nel punto 1) è più conveniente.
Risponderei :
Ipotizziamo per assurdo che prendiamo due valori distinti $x, y in RR $ tale che $ x != y $ e vogliamo dimostrare che il loro doppio sono uguali quindi $2x = 2y => x=y$ otteniamo come risultato che abbiamo due valori diversi $x != y$ e quindi abbiamo come risultato la negazione di quanto avevamo affermato all'inizio e quindi abbiamo dimostrato che se presi due valori distinti anche il loro doppio è diverso.
No, quello che devi dimostrare è questo
$x_1!=x_2 => 2x_1!=2x_2$ se proprio vuoi procedere per assurdo devi negare la tesi e mantenere le ipotesi.
Supponiamo per assurdo che $2x_1=2x_2$ e che $x_1!=x_2$ allora...
Sia $g:RR -> RR$ una funzione definita ponendo $AA x in RR : f(X) = x^-1$
a) f è iniettiva?
b) f è ben definita?
c) f è suriettiva?
d) procedendo per restrizione e corestrizione , fare in modo che g diventi bigettiva.
a) f è iniettiva?
Si prendono due valori generici $x, y in RR$ si ha che $f(x) = f(y) => x^-1 = y^-1 $ .
Esempio : $x= root(3)(-1) $ e $y = -1$ si ottiene che $( root(3)(-1) )^-1 = (-1)^-1 => -1 = -1 $ quindi non è Iniettiva.
b) f è ben definita?
Ci dobbiamo ricordare che $x^-1 <=> 1/x$ e quindi la $x!=0$ detto questo $AA x in RR - {0}$ , quindi è una funzione ben definita.
c) f è suriettiva?
$AA y in RR$ esiste $x=y^-1$ tale che $f(x) = y$ è surriettiva.
Esempio : $y=0.2$ prendiamo $x= y^-1= (0.2)^-1 = 5$ facciamo una verifica $f(5) = (5)^-1 = 1/5 = 0.2$
a) f è iniettiva?
b) f è ben definita?
c) f è suriettiva?
d) procedendo per restrizione e corestrizione , fare in modo che g diventi bigettiva.
a) f è iniettiva?
Si prendono due valori generici $x, y in RR$ si ha che $f(x) = f(y) => x^-1 = y^-1 $ .
Esempio : $x= root(3)(-1) $ e $y = -1$ si ottiene che $( root(3)(-1) )^-1 = (-1)^-1 => -1 = -1 $ quindi non è Iniettiva.
b) f è ben definita?
Ci dobbiamo ricordare che $x^-1 <=> 1/x$ e quindi la $x!=0$ detto questo $AA x in RR - {0}$ , quindi è una funzione ben definita.
c) f è suriettiva?
$AA y in RR$ esiste $x=y^-1$ tale che $f(x) = y$ è surriettiva.
Esempio : $y=0.2$ prendiamo $x= y^-1= (0.2)^-1 = 5$ facciamo una verifica $f(5) = (5)^-1 = 1/5 = 0.2$
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