Aiuto Esercizi Verifica f(x)-Biettiva,Surriettiva,Iniettiva
Ciao ragazzi, mi potete aiutare a verificare se i miei ragionamenti sono corretti .
Esercizio :
Verifica se l'applicazione $f : RR => RR$ tale che, per ogni $x in RR$, si ha $f(x)=(4x +3)/5$ è biettiva.
Possiamo scriverla come $y=(4x + 3)/5$ che è uguale a $y = (1/5 )*(4x + 3)=$ e se ora faccio variare la $x in RR$ ottengo dei valori distinti di $y in RR$ e con questo posso concludere che la funzione è Iniettiva esempio : presi due valori distinti $x_1=1$ e $x_2=-1$ ottengo $f(1)= 7/5$ e $f(-1)=-1/5$ e via dicendo mi accorgo che è Surriettiva perché a ogni elemento $B$ corrisponde un elemento di $A$.
Quindi concludo dicendo che la funzione è Bittiva.
Voi come avreste ragionato?!
Esercizio :
Verifica se l'applicazione $f : RR => RR$ tale che, per ogni $x in RR$, si ha $f(x)=(4x +3)/5$ è biettiva.
Possiamo scriverla come $y=(4x + 3)/5$ che è uguale a $y = (1/5 )*(4x + 3)=$ e se ora faccio variare la $x in RR$ ottengo dei valori distinti di $y in RR$ e con questo posso concludere che la funzione è Iniettiva esempio : presi due valori distinti $x_1=1$ e $x_2=-1$ ottengo $f(1)= 7/5$ e $f(-1)=-1/5$ e via dicendo mi accorgo che è Surriettiva perché a ogni elemento $B$ corrisponde un elemento di $A$.
Quindi concludo dicendo che la funzione è Bittiva.
Voi come avreste ragionato?!
Risposte
"Davide1986":ok va bene ma è incompleto da $x^-1=y^-1$ devi arrivare a dire che $x=y$ come ci arrivi? manca un passaggio.
Sia $g:RR -> RR$ una funzione definita ponendo $AA x in RR : f(X) = x^-1$
a) f è iniettiva?
b) f è ben definita?
c) f è suriettiva?
d) procedendo per restrizione e corestrizione , fare in modo che g diventi bigettiva.
a) f è iniettiva?
Si prendono due valori generici $x, y in RR$ si ha che $f(x) = f(y) => x^-1 = y^-1 $ .
Esempio : $x= root(3)(-1) $ e $y = -1$ si ottiene che $( root(3)(-1) )^-1 = (-1)^-1 => -1 = -1 $ quindi non è Iniettiva.
e invece sbagli. $( root(3)(-1) )^-1 = (-1)$ quindi $x=y$. Quella funzione è iniettiva.
se la scrivo come $f(x)=1/x$ la riconosci?
b) f è ben definita?
Ci dobbiamo ricordare che $x^-1 <=> 1/x$ e quindi la $x!=0$ detto questo $AA x in RR - {0}$ , quindi è una funzione ben definita.
esatto se pongo $Domf = RR\\{0}$ f mi diventa ben definita . ma senza questa condizione non lo è.
c) f è suriettiva?
$AA y in RR$ esiste $x=y^-1$ tale che $f(x) = y$ è surriettiva.
Esempio : $y=0.2$ prendiamo $x= y^-1= (0.2)^-1 = 5$ facciamo una verifica $f(5) = (5)^-1 = 1/5 = 0.2$
esatto. quella $f$ è invertibile e ha come inversa se stessa.
ti propongo questi altri due.
es 1
Sia $h : ZZ -> ZZ$ definita ponendo $AA z in ZZ : h(z)=2z$
1)dire chi è $Imf$
2) Dire se $h$ è iniettiva e suriettiva.
--extra -- da quello che ho letto nel tuo programma affronti anche gli omomorfismi , giusto? se è così considera $ZZ$ come anello e rispondi :
3) $h$ conserva la somma? e il prodotto?
es2
Sia $h : ZZ -> ZZ$ definita ponendo $AA z in ZZ : h(z)=z/2$
1)dire chi è $Imf$
2) Dire se $h$ è iniettiva e suriettiva.
es 1
Sia $h : ZZ -> ZZ$ definita ponendo $AA z in ZZ : h(z)=2z$
1)dire chi è $Imf$
2) Dire se $h$ è iniettiva e suriettiva.
--extra -- da quello che ho letto nel tuo programma affronti anche gli omomorfismi , giusto? se è così considera $ZZ$ come anello e rispondi :
3) $h$ conserva la somma? e il prodotto?
es2
Sia $h : ZZ -> ZZ$ definita ponendo $AA z in ZZ : h(z)=z/2$
1)dire chi è $Imf$
2) Dire se $h$ è iniettiva e suriettiva.
Si prendono due valori generici $ x,y in RR $ si ha che $f(x) = f(y)=>x^(−1) = y^(−1) => 1/(x^-1) = 1/(y^-1) => x = y$ quindi è iniettiva.
Questo volevi?!
Questo volevi?!
"Davide1986":
Si prendono due valori generici $ x,y in RR $ si ha che $f(x) = f(y)=>x^(−1) = y^(−1) => 1/(x^-1) = 1/(y^-1) => x = y$ quindi è iniettiva.
Questo volevi?!
arrivato qui, $x^-1=y^-1$ moltiplichi ambo i membri per $xy$ e ottieni che
$xy*x^-1=xyy^-1 => (x*x^-1)y=x(yy^-1) => y=x <=> x=y$ mancava il pezzo di mezzo.
Sia $h:Z->Z$ definita ponendo $AA z in ZZ: h(z) = 2z$
1)dire chi è Imf
2) Dire se h è iniettiva e suriettiva.
--extra -- da quello che ho letto nel tuo programma affronti anche gli omomorfismi , giusto? se è così considera Z come anello e rispondi :
3) h conserva la somma? e il prodotto?
1) Si dice Immagine di $f$ , $f(a) = { AA b in B | b = f(a) $ per un qualche $a in A} = { f(a) in B | a in A} sub B$ e quindi $h(z) = {AA z in ZZ | y = 2z$ per un qualche $z in ZZ } $ , $Imf=2z$.
2) Dire se $h$ è iniettiva e surrietiva.
Se presi due valori generici $x,y in ZZ $ tale che $f(x) = f(y) => 2x = 2y => x = y$ è iniettiva .
$AA y in ZZ$ esiste $x=y/2$ tale che $f(x)=y$ è surriettiva.
Ora mi vado a ripassare un po di teoria e torno per risponderti all'extra e alla 3.
"Davide1986":Sia $h:Z->Z$ definita ponendo $AA z in ZZ: h(z) = 2z$
1)dire chi è Imf
2) Dire se h è iniettiva e suriettiva.
--extra -- da quello che ho letto nel tuo programma affronti anche gli omomorfismi , giusto? se è così considera Z come anello e rispondi :
3) h conserva la somma? e il prodotto?
1) Si dice Immagine di $f$ , $f(a) = { AA b in B | b = f(a) $ per un qualche $a in A} = { f(a) in B | a in A} sub B$ e quindi $h(z) = {AA z in ZZ | y = 2z$ per un qualche $z in ZZ } $ , $Imf=2z$.
2) Dire se $h$ è iniettiva e surrietiva.
Se presi due valori generici $x,y in ZZ $ tale che $f(x) = f(y) => 2x = 2y => x = y$ è iniettiva .
$AA y in ZZ$ esiste $x=y/2$ tale che $f(x)=y$ è surriettiva.
Ora mi vado a ripassare un po di teoria e torno per risponderti all'extra e alla 3.
sicuro che $x=y/2$ appartiene sempre a $ZZ$? . $Imf = 2ZZ$ cioè l'insieme dei pari. era questo che intendevi?
$x = y/2$ ,$AA y*2 in ZZ $ ma prendiamo solo i numeri pari perché se prendiamo i dispari otteniamo che $x notin ZZ$ .
Meglio che faccio una pausa e che mi rilasso e ripasso un po di teoria, sto facendo dei errori senza senzo.
Meglio che faccio una pausa e che mi rilasso e ripasso un po di teoria, sto facendo dei errori senza senzo.
Sia $h:Z->Z$ definita ponendo $AA z in ZZ: h(z) = 2z$
1)dire chi è Imf
2) Dire se h è iniettiva e suriettiva.
--extra -- da quello che ho letto nel tuo programma affronti anche gli omomorfismi , giusto? se è così considera Z come anello e rispondi :
3) h conserva la somma? e il prodotto?
1) Se prendiamo $S$ un sottoinsieme di $A$ esempio : $S= {2,3,4,5,7}$ otteniamo come immagini $h(S)= {4,6,8,10,14}$ dove si può vedere che l'Imf= è l'insieme dei numeri in $ZZ$ pari .
2) Dire se $h$ è iniettiva e surrietiva.
Se presi due valori generici $x,y in ZZ $ tale che $f(x) = f(y) => 2x = 2y => x = y$ è iniettiva .
La condizione necessaria che la funzione sia Surriettiva è che si prende come insieme $ZZ$ solo gli elementi pari $AA z in ZZ : z = 2z$, perché se si prende un elemento disparo si ottiene una $x notin ZZ$ e quindi è falsa.
$AA y in ZZ$ esiste $x in ZZ$ tale che $f(x)=y$ falso perché basta prendere come immagine $y=-3$ la sua controimmagine $x=-3/2 notin ZZ$ e quindi è falsa. O più semplicemente $2x = -3$ non esiste nessuna $x in ZZ$ che riesca a verificare tale uguaglianza, e quindi concludiamo che non è Surriettiva.
Quindi possiamo concludere che non è Biettiva.
P.S. Non trovo sul mio libro la spegazione di Omomorfismo.
Da quanto ho capito in rete :
Definizione :
Siano $(A , + , * )$ e $(B , + , * )$ due anelli.
Si dice omomorfismo da $A$ in $B$ un'applicazione $f : A -> B$ tale che per ogni $x, y in A$
i) f(x + y) = f(x) + f(y)
ii) f(x * y) = f(x) * f(y)
iii) f(1_A) = 1_B
Giusto?!
la condizione $f(1_A) = 1_B$ non è necessaria. esistono omomorfismi non unitari ( cioè che non mandano $1_A->1_B$) (occhio, non tutti gli anelli sono unitari!!!)
comunque , se non è nel tuo programma lascia perdere, non ti serve.
Il fatto che $f$ non è suriettiva lo vedi quando ti sei calcolato l'immagine. (non servere prendere sottoinsiemi di $ZZ$)
tu hai per definizione di immagine che $Imf = { f(a)|a in ZZ} = {2a|a in ZZ}$ che è proprio l'insieme dei pari.
puoi concludere la non suriettività constatando che $imf!=ZZ$. (anche se quello che hai fatto tu è corretto)
delle volte per dimostrare la non suriettività ti basta un controesempio.
ad esempio prendi $f : ZZ -> ZZ$ , $f(z)=3z$
possiamo dire che $f$ non è suriettiva , perché ad esempio $2 in ZZ$ (codominio) non ha controimmagine
infatti l'equazione $f(z)=3 => 3z=2 $ non è risolubile in $ZZ$
comunque , se non è nel tuo programma lascia perdere, non ti serve.
Il fatto che $f$ non è suriettiva lo vedi quando ti sei calcolato l'immagine. (non servere prendere sottoinsiemi di $ZZ$)
tu hai per definizione di immagine che $Imf = { f(a)|a in ZZ} = {2a|a in ZZ}$ che è proprio l'insieme dei pari.
puoi concludere la non suriettività constatando che $imf!=ZZ$. (anche se quello che hai fatto tu è corretto)
delle volte per dimostrare la non suriettività ti basta un controesempio.
ad esempio prendi $f : ZZ -> ZZ$ , $f(z)=3z$
possiamo dire che $f$ non è suriettiva , perché ad esempio $2 in ZZ$ (codominio) non ha controimmagine
infatti l'equazione $f(z)=3 => 3z=2 $ non è risolubile in $ZZ$
Esercizio :
Determinare, se è possibile, l'inversa dell'applicazione $f: RR -> RR $ tale che, per ogni $x in RR$, si ha $f(x) = (x^3 -2)/3$
Per determinare se un'applicazione è invertibile, verifichiamo se è Iniettiva.
Presi due valori generici $x,y in RR$ si ha che $f(x) = f(y) => x=y$ e quindi è Iniettiva e surriettiva.
$f(x) = f(y)$
$1/3*(x^3 -2) = 1/3*(y^3 -2) $
$x^3 - 2 = y^3 -2$
$x^3 = y^3$
$root(3)(x^3) = root(3)(y^3)$
$x=y$
Possiamo dire che è Iniettiva e quindi Invertibile :
La funzione inversa è definita per tutto $f^(-1)(y) : RR -> RR$
$f^(-1)(y) = root(3)(3y +2)$
Determinare, se è possibile, l'inversa dell'applicazione $f: RR -> RR $ tale che, per ogni $x in RR$, si ha $f(x) = (x^3 -2)/3$
Per determinare se un'applicazione è invertibile, verifichiamo se è Iniettiva.
Presi due valori generici $x,y in RR$ si ha che $f(x) = f(y) => x=y$ e quindi è Iniettiva e surriettiva.
$f(x) = f(y)$
$1/3*(x^3 -2) = 1/3*(y^3 -2) $
$x^3 - 2 = y^3 -2$
$x^3 = y^3$
$root(3)(x^3) = root(3)(y^3)$
$x=y$
Possiamo dire che è Iniettiva e quindi Invertibile :
La funzione inversa è definita per tutto $f^(-1)(y) : RR -> RR$
$f^(-1)(y) = root(3)(3y +2)$
Davide quando devi dimostrare che una funzione è invertibile devi verificare che questa sia iniettiva e suriettiva. Il fatto di essere iniettiva non è una condizione sufficiente per dire che è anche invertibile.
In generale, condizione necessaria e sufficiente affinchè una funzione [tex]f: A \to B[/tex] sia iniettiva è che ammetta inversa sinistra: [tex]g \circ f = 1_A[/tex], e condizione necessaria e sufficiente affinchè sia suriettiva è che ammetta inversa destra: [tex]f \circ g = 1_B[/tex]. In questo caso allora puoi denotare la funzione [tex]g : B \to A[/tex] come [tex]f^{-1} : B \to A[/tex] e chiamarla funzione inversa di [tex]f[/tex].
In generale, condizione necessaria e sufficiente affinchè una funzione [tex]f: A \to B[/tex] sia iniettiva è che ammetta inversa sinistra: [tex]g \circ f = 1_A[/tex], e condizione necessaria e sufficiente affinchè sia suriettiva è che ammetta inversa destra: [tex]f \circ g = 1_B[/tex]. In questo caso allora puoi denotare la funzione [tex]g : B \to A[/tex] come [tex]f^{-1} : B \to A[/tex] e chiamarla funzione inversa di [tex]f[/tex].
Quindi basta che ora provo a dimostrare che la funzione è Surriettiva ?
Quando $f$ è Suriettiva :
Quando $AA y in RR EE x in RR : y = f(x)$, quindi $f(x)=y$ segue che $1/3(x^3 -2) <=> root(3)(3y+2)=x$ dove $x,y in RR$
Otteniamo che $AA y in RR$ abbiamo una controimmagine, $x= root(3)(3y+2)$
Come mi sono calcolato $x =root(3)(3y-2)$
Passaggi :
$ 1/3(x^3 -2 ) = y$
$(x^3 -2) = 3y$
$x^3 = 3y +2$
$root(3)(x^3) = root(3)(3y+2)$
$x= root(3)(3y+2)$
Quando $f$ è Suriettiva :
Quando $AA y in RR EE x in RR : y = f(x)$, quindi $f(x)=y$ segue che $1/3(x^3 -2) <=> root(3)(3y+2)=x$ dove $x,y in RR$
Otteniamo che $AA y in RR$ abbiamo una controimmagine, $x= root(3)(3y+2)$
Come mi sono calcolato $x =root(3)(3y-2)$
Passaggi :
$ 1/3(x^3 -2 ) = y$
$(x^3 -2) = 3y$
$x^3 = 3y +2$
$root(3)(x^3) = root(3)(3y+2)$
$x= root(3)(3y+2)$
Diciamo che va bene, però quando dimostri che una funzione è iniettiva e/suriettiva non è necessario indicare ogni volta la teoria (il docente la conosce e si suppone che anche tu la conosca, dato che stai risolvendo l'esercizio). Inoltre non usare simbologie che non conosci appieno, piuttosto descrivi quello che stai facendo/ottenendo.
Ad esempio: sia [tex]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] una funzione tale che [tex]\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x+1[/tex]; verificare se è iniettiva e/o suriettiva.
Verifica iniettività: [tex]\forall x_1,x_2 \in \mathbb{R}: x_1 + 1 = x_2 +1 \Rightarrow x_1 = x_2[/tex] (per la legge di cancellazione a destra), quindi è iniettiva.
Verifica suriettività: [tex]\forall x \in \mathbb{R}, f^{-1}(x)=x-1 \in \mathbb{R}[/tex] quindi [tex]Im(f) = \mathbb{R}[/tex].
Ad esempio: sia [tex]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] una funzione tale che [tex]\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=x+1[/tex]; verificare se è iniettiva e/o suriettiva.
Verifica iniettività: [tex]\forall x_1,x_2 \in \mathbb{R}: x_1 + 1 = x_2 +1 \Rightarrow x_1 = x_2[/tex] (per la legge di cancellazione a destra), quindi è iniettiva.
Verifica suriettività: [tex]\forall x \in \mathbb{R}, f^{-1}(x)=x-1 \in \mathbb{R}[/tex] quindi [tex]Im(f) = \mathbb{R}[/tex].
Grazie mille 
Ora ci voglio provare :
Determinare, se è possibile, l'inversa dell'applicazione $f:QQ->QQ$ tale che, per ogni $x inQQ$, si ha $f(x)=(4x+5)/7$
Devo verificare che è Iniettiva e Surriettiva:
Iniettiva : $AA x_1,x_2 in QQ : 1/7(4x_1+5) = 1/7(4x_2 +5) => x_1 = x_2$
$ 1/7(4x_1+5) = 1/7(4x_2 +)$ ( moltiplico entrambi i membri per 7)
$4x_1 +5 = 4x_2 +5$ (per la legge di cancellazione a destra)
$4x_1 = 4x_2 $ (moltiplico entrambi membri per 1/4)
$ x_1 = x_2 $ quindi è iniettiva.
Surriettiva : $AA x in QQ, f^(-1)(x) = 1/4(7x -5) \in QQ$ quindi $Im(f)=QQ$
Determinare, se è possibile, l'inversa dell'applicazione $f:QQ->QQ$ tale che, per ogni $x inQQ$, si ha $f(x)=(4x+5)/7$
Devo verificare che è Iniettiva e Surriettiva:
Iniettiva : $AA x_1,x_2 in QQ : 1/7(4x_1+5) = 1/7(4x_2 +5) => x_1 = x_2$
$ 1/7(4x_1+5) = 1/7(4x_2 +)$ ( moltiplico entrambi i membri per 7)
$4x_1 +5 = 4x_2 +5$ (per la legge di cancellazione a destra)
$4x_1 = 4x_2 $ (moltiplico entrambi membri per 1/4)
$ x_1 = x_2 $ quindi è iniettiva.
Surriettiva : $AA x in QQ, f^(-1)(x) = 1/4(7x -5) \in QQ$ quindi $Im(f)=QQ$
Ora mi sembra vada bene. Se conferma anche Kashaman siamo a posto 
secondo me va bene.
anche se l'inversa di dovrebbe denotare con $f^(-1)(y)$ e non $f^(-1)(x)$. tuttavia però secondo me dovrebbe far vedere come ottiene l'inversa.
tipo parte da qui :
sia $ y in Q$
$f(x)=y => 1/7(4x+5)=y <=> 4x+5=7y <=> 4x=7y-5 <=> x=1/4(7y-5)$
ciò mostra che $AA y in Q EE| x in Q$ della forma $x=1/4(7y-5)$ tale che $f(x) = y$ quindi $f$ è suriettiva . visto l'iniettività ne esiste uno ed un solo di $x$ pertanto $f$ è biettiva e quindi è invertibile ed ha come inversa $f^(-1)(y)=1/4(7y-5)$
anche se l'inversa di dovrebbe denotare con $f^(-1)(y)$ e non $f^(-1)(x)$. tuttavia però secondo me dovrebbe far vedere come ottiene l'inversa.
tipo parte da qui :
sia $ y in Q$
$f(x)=y => 1/7(4x+5)=y <=> 4x+5=7y <=> 4x=7y-5 <=> x=1/4(7y-5)$
ciò mostra che $AA y in Q EE| x in Q$ della forma $x=1/4(7y-5)$ tale che $f(x) = y$ quindi $f$ è suriettiva . visto l'iniettività ne esiste uno ed un solo di $x$ pertanto $f$ è biettiva e quindi è invertibile ed ha come inversa $f^(-1)(y)=1/4(7y-5)$
esercizio proposto per davide :
Sia $f : RR^(+)-> RR^(+)$ definita ponendo $AAx in RR : f(x) = \sqrtx$ e $g : RR^(+)->RR^(+)$ definita ponendo $AA y in RR : g(y)= y^2$.
a) quali tra queste è biunivoca?
b) cosa si può dire circa $fg$ e circa $gf$? è vero che $fg=gf$ ? ( si intende la composizione tra applicazioni)
Sia $f : RR^(+)-> RR^(+)$ definita ponendo $AAx in RR : f(x) = \sqrtx$ e $g : RR^(+)->RR^(+)$ definita ponendo $AA y in RR : g(y)= y^2$.
a) quali tra queste è biunivoca?
b) cosa si può dire circa $fg$ e circa $gf$? è vero che $fg=gf$ ? ( si intende la composizione tra applicazioni)
Scusami :
Sia $f:RR^(+) -> RR^(+)$ definita ponendo $AA x inRR:f(x) = sqrt(x)$
Per verificare che $f$ è biettiva devo verificare che è Iniettiva e Suriettiva :
Iniettiva : Presi due valori generici $x$ e $y in RR^(+) : sqrt(x) = sqrt(y) => (sqrt(x))^2 = (sqrt(y))^2 => x=y$ quindi possiamo concludere che è Iniettiva
Suriettiva : $AA y in RR \ \ EE \ \ x in RR^(+) : f(x) = y => f(sqrt(x) ) = y => sqrt(x) = y <=> (sqrt(x))^2 = (y)^(2) <=> x = y^2 $
Possiamo dire che $f$ è Biettiva solo per $AA x in RR^(+)$ e quindi ammette l'inversa $f^-1(y) = y^(2)$
Sia $f:RR^(+) -> RR^(+)$ definita ponendo $AA x inRR:f(x) = sqrt(x)$
Per verificare che $f$ è biettiva devo verificare che è Iniettiva e Suriettiva :
Iniettiva : Presi due valori generici $x$ e $y in RR^(+) : sqrt(x) = sqrt(y) => (sqrt(x))^2 = (sqrt(y))^2 => x=y$ quindi possiamo concludere che è Iniettiva
Suriettiva : $AA y in RR \ \ EE \ \ x in RR^(+) : f(x) = y => f(sqrt(x) ) = y => sqrt(x) = y <=> (sqrt(x))^2 = (y)^(2) <=> x = y^2 $
Possiamo dire che $f$ è Biettiva solo per $AA x in RR^(+)$ e quindi ammette l'inversa $f^-1(y) = y^(2)$
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