Aiuto equazione diofantea

[dodora]

sapreste aiutarmi a risolvere correttamente questo esercizio tratto da un esame di matematica discreta:

Determinare il piu piccolo valore positivo di a, per cui l'equazione diofantea -27x + ay = 48 è compatibile e risolverla.

sappiamo che è compatibile se mcd(-27, a) divide 48; posso assegnare qualunque valore ad a ma come faccio a determinare il piu piccolo valore???

aiutooo

[Kashaman]

Tu hai questa equazione diofantea $-27x+ay=48$(1)
poniamo $(-27,a)=d$ per essere compatibile $d|48$
se si può prendere in considerazione $d=1$ (confido che in tal caso la soluzione sarebbe banale!!!)
ovviamente si può scegliere $a=1 $ infatti $(-27,1)=(27,1)=1$ e $1|48$ quindi $a=1$ è il più piccolo valore per il quale 1) ha soluzione. Infatti una soluzione è data da $x=1$ e $y=75$ sei d'accordo?
se non si può prendere in considerazione $d=1$ allora $d!=1$
si nota che se $a=1,a=2$ allora $d=1$
scelto $a=3$ si ha che $(-27,3)=(27,3)=3$
e pertanto $3|48 => 48=2*16$.In tal caso la più piccola $a$ sarebbe $a=3$
ciao!

ps ti do il benvenuto. per il futuro ricorda che è necessario esporre almeno un tentativo di soluzione al problema...

[dodora]

ma allora in definitiva non esiste un unico minimo valore di a....in questo caso il piu piccolo valore richiesto dal compito sarebbe a=1???o a=3????

[Kashaman]

esiste. Il più piccolo valore di $a$ è uno.
Rileggi con attenzione quello che ho scritto.