Aiuto dimostrazione in Q
$F : = {a + b sqrt(2) : a , b in QQ } $
Come si dimostra la relazione $ a + b sqrt(2) <= c + d sqrt(2) iff c - a + ( b - d ) sqrt(2) >= 0 $ ?
Non so proprio come cominciare HELP.
P.S il primo è un minore piu o meno uguale .
Come si dimostra la relazione $ a + b sqrt(2) <= c + d sqrt(2) iff c - a + ( b - d ) sqrt(2) >= 0 $ ?
Non so proprio come cominciare HELP.
P.S il primo è un minore piu o meno uguale .
Risposte
Mi sa che la relazione è sbagliata! Credo ci sia $d-b$ nella relazione di destra...
Fai una freccia(condizione necessaria )e poi quella opposta (condizione sufficiente) la verifica è semplice sono solo calcoli algebrici,e comunque edita il testo, è (d-b) non (b-d)
Grazie delle risposte, confermo che è $ ( b - d ) $ , infatti, insieme alla dimostrazione , nel mio testo, c'è una nota che mette in evidenza il fatto che se fosse $( d - b ) $ il risultato sarebbe ovvio.
Qualcuno può farmi almeno il primo passaggio ?
Non so proprio come impostare la dimostrazione HELP!
Qualcuno può farmi almeno il primo passaggio ?
Non so proprio come impostare la dimostrazione HELP!
Aiutoo, nel dimostrare che, in un insieme $F$ definito nel primo messaggio, vale $ a + b sqrt(2) <= c + d sqrt(2) iff c - a + ( b - d ) sqrt(2) >= 0 $; se inizio da qui $ a + b sqrt(2) <= c + d sqrt(2) rArr c - a + ( b - d ) sqrt(2) >= 0 $ , devo dimostrare che $ a + b sqrt(2) <= c + d sqrt(2) $ è vera. Come faccio ? 
Qualcuno che mi spiega come impostare la dimostrazione ?
Partendo da qui $ a + b sqrt(2) <= c + d sqrt(2) $ mi viene $ c - a + ( d - b ) sqrt(2) >= 0 $ e non $ c - a + ( b - d ) sqrt(2) >= 0 $
Partendo da qui $ a + b sqrt(2) <= c + d sqrt(2) $ mi viene $ c - a + ( d - b ) sqrt(2) >= 0 $ e non $ c - a + ( b - d ) sqrt(2) >= 0 $
Sono arrivato ad una dimostrazione informale analizzando i segni dei rispettivi elementi $ a, b, c ,d $ in questo modo:
$ c > 0 $,$ +c $ rimane $+ c$
$ c < 0 $,$ -c $ rimane $ -c$
$ b > 0 $,$ +b $ rimane $+ b$
$ b < 0 $,$ -b $ rimane $ -b$
quindi non cambiano di segno
$ $
$ a > 0 $,$ a $ diventa $ -a$
$ a < 0 $,$ -a $ diventa $ +a$
$ d > 0 $,$ d $ diventa $ -d$
$ d < 0 $,$ -d $ diventa $ +d$
quindi cambiano di segno
Per questi motivi se analizzando le coppie $(a,c),(b,d)$ si ottiene(indipendentemente dal loro segno):
$c < a $ $R <0$
$b > d $ $R <0$
$ $
$c > a $ $R >0$
$b < d $ $R >0$
come si può notare gli unici casi in cui (il risultato) $R > 0 $ sono (gli ultimi due) proprio quelli in cui $a + b < c + d $.
Ora la mia domanda è questa:
come faccio a formalizzare il tutto per dimostrare $ iff $ (la doppia implicazione ) ?
$ c > 0 $,$ +c $ rimane $+ c$
$ c < 0 $,$ -c $ rimane $ -c$
$ b > 0 $,$ +b $ rimane $+ b$
$ b < 0 $,$ -b $ rimane $ -b$
quindi non cambiano di segno
$ $
$ a > 0 $,$ a $ diventa $ -a$
$ a < 0 $,$ -a $ diventa $ +a$
$ d > 0 $,$ d $ diventa $ -d$
$ d < 0 $,$ -d $ diventa $ +d$
quindi cambiano di segno
Per questi motivi se analizzando le coppie $(a,c),(b,d)$ si ottiene(indipendentemente dal loro segno):
$c < a $ $R <0$
$b > d $ $R <0$
$ $
$c > a $ $R >0$
$b < d $ $R >0$
come si può notare gli unici casi in cui (il risultato) $R > 0 $ sono (gli ultimi due) proprio quelli in cui $a + b < c + d $.
Ora la mia domanda è questa:
come faccio a formalizzare il tutto per dimostrare $ iff $ (la doppia implicazione ) ?
Ribadisco è $d-b$ e non $b-d$.
condizione necessaria:
$a+b \sqrt{2} <= c+d\sqrt{2} \Rightarrow c-a+(d-b) \sqrt{2} =>0 $
portiamo a e b a destra del maggiore uguale e viene:
$c+d \sqrt{2} -a-b \sqrt{2} => 0$ se e solo se $(c-a) +(d-b) \sqrt{2} $
riusciresti a fare la condizione sufficiente??
condizione necessaria:
$a+b \sqrt{2} <= c+d\sqrt{2} \Rightarrow c-a+(d-b) \sqrt{2} =>0 $
portiamo a e b a destra del maggiore uguale e viene:
$c+d \sqrt{2} -a-b \sqrt{2} => 0$ se e solo se $(c-a) +(d-b) \sqrt{2} $
riusciresti a fare la condizione sufficiente??
Intendi:
$( a+b \sqrt{2} <= c+d\sqrt{2} \Leftarrow c-a+(d-b) \sqrt{2} \ )$ ?
Grazie della risposta, a prescindere dal fatto che sia $ b - d $ $ vv $ $ b - d $ (ho il testo davanti in questo momento e riporta "$ b - d $ "), volevo soltanto sapere come impostare la dimostrazione a questa doppia implicazione.
Per dimostrarla dovrei dimostrare che sono entrambe vere ( $ rArr ^^ lArr $ ) giusto ?
Per fare questo devo dimostrare che , per esempio, partendo da destra ( $ rArr $ ) , $ a+b \sqrt{2} <= c+d\sqrt{2} Rightarrow c-a+(d-b) \sqrt{2} \ >= 0 ) $ , che $ a+b \sqrt{2} <= c+d\sqrt{2} $ è vera , per poi dimostrare che è vera $ c-a+(d-b) \sqrt{2} \ >= 0 $ come si fà ?
$( a+b \sqrt{2} <= c+d\sqrt{2} \Leftarrow c-a+(d-b) \sqrt{2} \ )$ ?
Grazie della risposta, a prescindere dal fatto che sia $ b - d $ $ vv $ $ b - d $ (ho il testo davanti in questo momento e riporta "$ b - d $ "), volevo soltanto sapere come impostare la dimostrazione a questa doppia implicazione.
Per dimostrarla dovrei dimostrare che sono entrambe vere ( $ rArr ^^ lArr $ ) giusto ?
Per fare questo devo dimostrare che , per esempio, partendo da destra ( $ rArr $ ) , $ a+b \sqrt{2} <= c+d\sqrt{2} Rightarrow c-a+(d-b) \sqrt{2} \ >= 0 ) $ , che $ a+b \sqrt{2} <= c+d\sqrt{2} $ è vera , per poi dimostrare che è vera $ c-a+(d-b) \sqrt{2} \ >= 0 $ come si fà ?
"DR1":
, che $ a+b \sqrt{2} <= c+d\sqrt{2} $ è vera , per poi dimostrare che è vera $ c-a+(d-b) \sqrt{2} \ >= 0 $ come si fà ?
Non sai portare a e b all'altro membro della disugualianza???
,ti consiglio ti ripassare le disequazioni!!!Ti consiglio di ripassare ( o studiare?? ) un po di logica, detto questo una freccia è la condizione necessaria e l' altra è la sufficiente,io ti ho fatto la condizione necessaria, riusciresti a fare la sufficiente?? Cioè che $ c-a+(d-b) \sqrt{2} \>= 0 \Rightarrow c+d \sqrt{2} >= a+b \sqrt{2}$, ce la fai??? Ti do un hint:svolgi le operazioni dei prodotti tra radice e d-b
(Portare membri dalla parte delle incognite o da quella dei termini noti è banale, basta cambiare di segno.)
Soffermiamoci prima sulla condizione necessaria
\( c+d \sqrt{2} -a-b \sqrt{2}\) $>=0$ $iff$ \( (c-a) +(d-b) \sqrt{2} \) $>=0$
qui bisogna dimostrare nuovamente un $iff$, quindi;
condizione necessaria:
\( c+d \sqrt{2} -a-b \sqrt{2}\) $>=0$ $rArr$ \( (c-a) +(d-b) \sqrt{2} \) $>=0$
come la dimostri ? Con un'altro $iff$ ? loop ?
Soffermiamoci prima sulla condizione necessaria
\( c+d \sqrt{2} -a-b \sqrt{2}\) $>=0$ $iff$ \( (c-a) +(d-b) \sqrt{2} \) $>=0$
qui bisogna dimostrare nuovamente un $iff$, quindi;
condizione necessaria:
\( c+d \sqrt{2} -a-b \sqrt{2}\) $>=0$ $rArr$ \( (c-a) +(d-b) \sqrt{2} \) $>=0$
come la dimostri ? Con un'altro $iff$ ? loop ?
"DR1":
(Portare membri dalla parte delle incognite o da quella dei termini noti è banale, basta cambiare di segno.)
Soffermiamoci prima sulla condizione necessaria
\( c+d \sqrt{2} -a-b \sqrt{2}\) $>=0$ $iff$ \( (c-a) +(d-b) \sqrt{2} \) $>=0$
qui bisogna dimostrare nuovamente un $iff$, quindi;
condizione necessaria:
\( c+d \sqrt{2} -a-b \sqrt{2}\) $>=0$ $rArr$ \( (c-a) +(d-b) \sqrt{2} \) $>=0$
come la dimostri ? Con un'altro $iff$ ? loop ?
No! Devi solo dimostrare che uno implica l'altro che cioè da \(c+d\sqrt{2}-a-b \sqrt{2} \) puoi arrivare a \( (c-a)+(d-b)\sqrt{2} \) ora ti chiedi come con l'ipotesi svolgo la tesi? Con i calcoli, la stessa cosa si fa per la condizione sufficiente...te l'ho detto in tutti i modi possibili..non so più come fartelo capire xD
Grazie ci rifletterò su. 
"DR1":
Grazie ci rifletterò su.
Mi spiace dinon essere riuscito a rispondere in modo esaustivo, l'unica cosa che posso dirti è che $=>$ sarebbe parto da un'ipotesi che considero valida ed arrivo " aal di là della freccia".
"Ariz93":
[quote="DR1"](Portare membri dalla parte delle incognite o da quella dei termini noti è banale, basta cambiare di segno.)
Soffermiamoci prima sulla condizione necessaria
${ c+d \sqrt{2} -a-b \sqrt{2}}$ ${>=0}$ ${iff}$ ${ (c-a) +(d-b) \sqrt{2} }$ ${>=0}$
qui bisogna dimostrare nuovamente un ${iff}$, quindi;
condizione necessaria:
${ c+d \sqrt{2} -a-b \sqrt{2}}$ ${>=0}$ ${rArr}$ ${ (c-a) +(d-b) \sqrt{2} }$ ${>=0}$
come la dimostri ? Con un'altro ${iff}$ ? loop ?
No! Devi solo dimostrare che uno implica l'altro che cioè da ${c+d\sqrt{2}-a-b \sqrt{2} }$ puoi arrivare a ${ (c-a)+(d-b)\sqrt{2} }$ ora ti chiedi come con l'ipotesi svolgo la tesi? Con i calcoli, la stessa cosa si fa per la condizione sufficiente...te l'ho detto in tutti i modi possibili..non so più come fartelo capire xD[/quote]
Oddio solo ora ho visto l'errore di battitura che ho fatto! Ti riscrivo la condizione necessaria per bene:
"Ariz93":
Ribadisco è ${d-b}$ e non ${b-d}$.
condizione necessaria:
${a+b \sqrt{2} =< c+d\sqrt{2} \Rightarrow c-a+(d-b) \sqrt{2} =>0 }$
portiamo a e b a destra del maggiore uguale e viene:
${c+d \sqrt{2} -a-b \sqrt{2} => 0}$ se e solo se ${(c-a) +(d-b) \sqrt{2} }$
riusciresti a fare la condizione sufficiente??
Questa ero quella che avevo scritto male ora te la riscrivo:
Dobbiamo dimostrare la condizione necessaria e cioè:
$a+b \sqrt{2} \le c+d \sqrt{2} => (c-a) +(d-b) \sqrt{2} >= 0$
E fin qui ci siamo, ora partiamo dall'ipotesi cioè :
Hp) $a+b \sqrt{2} \le c+d \sqrt{2}$
Portiamo $a$ e $b \sqrt{2}$ dall'altro membro della diseguaglianza ed esce fuori:
$c+d \sqrt{2} -a-b\sqrt{2} >=0$
E riordinando esce:
$c-a+d \sqrt{2} -b \sqrt{2} >=0$ ora è fatta perché metto tra parentesi c e a e metto in evidenza $\sqrt{2}$ e mi esce fuori:
$(c-a) +(d-b) \sqrt{2} >=0$ che è la tesi, cioè ciò che cercavamo, spero di averti chiarito le idee e scusami tantissimo per l'errore ,
Mea culpa.
Ora prova sulla scia del mio ragionamento a fare la cond sufficiente ti do un int se non riesci,
Grazie , non ti preoccupare per l'errore, è importante anche solo il tempo che mi dedichi. Dobbiamo dimostrare la condizione sufficiente e cioè:
\( a+b \sqrt{2} \le c+d \sqrt{2}\) $lArr$ \((c-a) +(d-b) \sqrt{2} >= 0 \)
E fin qui ci siamo, ora partiamo dall'ipotesi cioè :
Hp) \((c-a) +(d-b) \sqrt{2} >= 0 \)
Si moltiplicano \( d \) e \( b \) per \( \sqrt{2} \) e si porta \(a+b\sqrt{2}\) all'altro membro della diseguaglianza ed esce fuori:
\( a+b \sqrt{2} \le c+d \sqrt{2}\) che è la tesi.
Ora se ho fatto bene $(d-b)$ è risolto; e se c'era $(b-d)$ ?
Finalmente ci siamo compresi!!! Per $b-d$ non so bene perché credo che la relazione da porre è $ b=-b $ e $d=-d$ il che significa che b e d debbano per forza essere zero. Perché ti ricordo che l'insieme è della forma ${a+b \sqrt{2}$ con $a,b \in QQ}$
\( b -d \).
Ti ho risposto..e se b=0 e d=0
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