Una distanza particolare
Nel triangolo ABC siano: O ed S il circocentro e l'incentro rispettivamente, M ed N i punti medi di AB e di BC.
Calcolare \(\displaystyle \overline{OS} \) sapendo che : \(\displaystyle \overline{AC}=26u, \overline{OM}=5u,\overline{ON}=12u \) dove u è un'assegnata unità di misura.
Calcolare \(\displaystyle \overline{OS} \) sapendo che : \(\displaystyle \overline{AC}=26u, \overline{OM}=5u,\overline{ON}=12u \) dove u è un'assegnata unità di misura.
Risposte
"mafbet":
Si... più o meno. Ho approssimato una tan ad un certo punto
Non è necessaria alcuna formula trigonometrica: si può fare con considerazioni strettamente euclidee e qualche pezzettino di Eulero.
Vorrei proporre la ricerca della costruzione geometrica di ABC, dati gli elementi di questo problema senza che però ci sia alcuna relazione particolare tra le lunghezze di AC e OM, ON.
Ok, non usando trigonometria ho tirato fuori una equazione del raggio inscritto $ R_s $.
Prima ho considerato che data la descrizione del problema $O$ giace sull´ipotenusa $ \bar{AC} $ e ne é il punto medio.
Facendo riferimento alla figura attaccata mi sono focalizzato su due triangoli rettangoli che hanno il segmento OS come ipotenusa. In particolare bisognerà costruire $\hat{O W S}$ e $\hat{O S X}$.
Il primo è rettangolo in $W$ ed ha cateti $ \bar{OW} $ e $ \bar{WS} $; infatti il punto $W$ è ottenuto tracciando la parallela ad $ \bar{AB} $ passante da $S$ ed intersecandola con $ \bar{OM} $. Data la costruzione di tale triangolo si ha:
$ \bar{OW}= \bar{OM}- R_s $ e
$ \bar{WS}= \bar{ON}- R_s $
Il punto $X$ è il punto di tangenza tra la circonferenza inscritta e $\bar {AC}$
Ne deriva che il secondo triangolo $\hat{O S X}$ è rettangolo in $X$ ed ha cateti $ \bar{OX} $ e $ \bar{SX} = R_s $ dove
$ \bar{OX}= \bar{OC}- \bar{XJ} - \bar{JC} $
Per calcolare $ \bar{XJ} $ e $ \bar{JC} $ dobbiamo costruire i due triangoli $\hat{S R K}$ e $\hat{C J K}$ rispettivamente.
Il punto $R$ e il punto di tangenza fra la circonferenza iscritta ed il cateto $ \bar{CB} $; ne deriva che $ \bar{SR} = R_s $; Il punto $ K $ è invece l'intersezione della parallela ad $ \bar{AC} $ con $ \bar{CB} $. Data la costruzione, tale triangolo ha le stesse proporzioni di $\hat{A B C}$ e quindi di $\hat{O M N}$ pertanto vale la proporzione
$ \bar{SK} : R_s = \bar{OC} : \bar{ON} $ dunque
$ \bar{SK} = R_s * (\bar{OC}/\bar{ON}) $
Si noti che $ \bar{SK} = \bar{XJ} $ che cercavamo prima.
Il punto $J$ e il punto di intersezione fra la retta perprendicolare ad $ \bar{AC} $ e passante per $K$; ne deriva che $ \bar{JK} = R_s $. Data la costruzione, tale triangolo ha le stesse proporzioni di $\hat{A B C}$ e quindi di $\hat{O M N}$ pertanto vale la proporzione
$ \bar{JC} : R_s = \bar{OM} : \bar{ON} $ dunque
$ \bar{JC} = R_s * (\bar{OM}/\bar{ON}) $
Sostituendo le relazioni appena trovate e facendo un po di ordine si ha che $ \bar{OX}= \bar{OC} - R_s*((\bar{OC}+ \bar{OM})/\bar{ON}) $
Usando la nota proprietà dei tringoli rettangoli è ora possibile Scrivere le seguenti relazioni:
Da $\hat{O W S}$:
$ \bar{SO}^2 = (\bar{OM} - R_s)^2 + (\bar{ON} - R_s)^2 $
Da $\hat{O S X}$
$ \bar{SO}^2 = (\bar{OC} - R_s*((\bar{OC}+ \bar{OM})/\bar{ON}))^2 + R_s^2 $
uguagliando le due relazioni risulta
$ R_s = (2*((\bar{OC}^2+ \bar {OC} \bar{OM} - \bar{OM} \bar{OM} - \bar{ON}^2)/\bar{ON}))/(((\bar{OC} + \bar{OM})/ (\bar{ON}))^2 -1) $
Sono sicuro che qualcuno saprà scriverla più elegantemente.
Comunque sostituendo il tutto in una delle relazioni precedenti si trova $\bar{OS}$ in funzione di $\bar{OC}$ $\bar{OM}$ ed $\bar{ON}$.
Nel problema proposto risulta $\bar{OS} = sqrt(65) $
Prima ho considerato che data la descrizione del problema $O$ giace sull´ipotenusa $ \bar{AC} $ e ne é il punto medio.
Facendo riferimento alla figura attaccata mi sono focalizzato su due triangoli rettangoli che hanno il segmento OS come ipotenusa. In particolare bisognerà costruire $\hat{O W S}$ e $\hat{O S X}$.
Il primo è rettangolo in $W$ ed ha cateti $ \bar{OW} $ e $ \bar{WS} $; infatti il punto $W$ è ottenuto tracciando la parallela ad $ \bar{AB} $ passante da $S$ ed intersecandola con $ \bar{OM} $. Data la costruzione di tale triangolo si ha:
$ \bar{OW}= \bar{OM}- R_s $ e
$ \bar{WS}= \bar{ON}- R_s $
Il punto $X$ è il punto di tangenza tra la circonferenza inscritta e $\bar {AC}$
Ne deriva che il secondo triangolo $\hat{O S X}$ è rettangolo in $X$ ed ha cateti $ \bar{OX} $ e $ \bar{SX} = R_s $ dove
$ \bar{OX}= \bar{OC}- \bar{XJ} - \bar{JC} $
Per calcolare $ \bar{XJ} $ e $ \bar{JC} $ dobbiamo costruire i due triangoli $\hat{S R K}$ e $\hat{C J K}$ rispettivamente.
Il punto $R$ e il punto di tangenza fra la circonferenza iscritta ed il cateto $ \bar{CB} $; ne deriva che $ \bar{SR} = R_s $; Il punto $ K $ è invece l'intersezione della parallela ad $ \bar{AC} $ con $ \bar{CB} $. Data la costruzione, tale triangolo ha le stesse proporzioni di $\hat{A B C}$ e quindi di $\hat{O M N}$ pertanto vale la proporzione
$ \bar{SK} : R_s = \bar{OC} : \bar{ON} $ dunque
$ \bar{SK} = R_s * (\bar{OC}/\bar{ON}) $
Si noti che $ \bar{SK} = \bar{XJ} $ che cercavamo prima.
Il punto $J$ e il punto di intersezione fra la retta perprendicolare ad $ \bar{AC} $ e passante per $K$; ne deriva che $ \bar{JK} = R_s $. Data la costruzione, tale triangolo ha le stesse proporzioni di $\hat{A B C}$ e quindi di $\hat{O M N}$ pertanto vale la proporzione
$ \bar{JC} : R_s = \bar{OM} : \bar{ON} $ dunque
$ \bar{JC} = R_s * (\bar{OM}/\bar{ON}) $
Sostituendo le relazioni appena trovate e facendo un po di ordine si ha che $ \bar{OX}= \bar{OC} - R_s*((\bar{OC}+ \bar{OM})/\bar{ON}) $
Usando la nota proprietà dei tringoli rettangoli è ora possibile Scrivere le seguenti relazioni:
Da $\hat{O W S}$:
$ \bar{SO}^2 = (\bar{OM} - R_s)^2 + (\bar{ON} - R_s)^2 $
Da $\hat{O S X}$
$ \bar{SO}^2 = (\bar{OC} - R_s*((\bar{OC}+ \bar{OM})/\bar{ON}))^2 + R_s^2 $
uguagliando le due relazioni risulta
$ R_s = (2*((\bar{OC}^2+ \bar {OC} \bar{OM} - \bar{OM} \bar{OM} - \bar{ON}^2)/\bar{ON}))/(((\bar{OC} + \bar{OM})/ (\bar{ON}))^2 -1) $
Sono sicuro che qualcuno saprà scriverla più elegantemente.
Comunque sostituendo il tutto in una delle relazioni precedenti si trova $\bar{OS}$ in funzione di $\bar{OC}$ $\bar{OM}$ ed $\bar{ON}$.
Nel problema proposto risulta $\bar{OS} = sqrt(65) $
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