Una distanza particolare
Nel triangolo ABC siano: O ed S il circocentro e l'incentro rispettivamente, M ed N i punti medi di AB e di BC.
Calcolare \(\displaystyle \overline{OS} \) sapendo che : \(\displaystyle \overline{AC}=26u, \overline{OM}=5u,\overline{ON}=12u \) dove u è un'assegnata unità di misura.
Calcolare \(\displaystyle \overline{OS} \) sapendo che : \(\displaystyle \overline{AC}=26u, \overline{OM}=5u,\overline{ON}=12u \) dove u è un'assegnata unità di misura.
Risposte
Prima che inizi a scervellarmi: si risolve con la geometria analitica?
No; sono sufficienti conoscenze molto più elementari.
Effettivamente bastano considerazioni elementari. Un piccolo suggerimento: la terna 5,12,13 vi dice qualcosa?
Beh certo, è una terna pitagorica primitiva. Dunque vorresti dire che quel triangolo è rettangolo? Ma non lo si sapeva già se per l'appunto hai tracciato l'asse?
p.s.: scusate ma sto cercando di immaginare il disegno, appena arrivo a casa metto giù la situazione
.
p.s.: scusate ma sto cercando di immaginare il disegno, appena arrivo a casa metto giù la situazione
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Ok, inizio a fare un po' di considerazioni.
Disegno il triangolo $ABC$ scaleno con la $A$ in basso a sinistra e poi le altre lettere in senso antiorario.
Disegno gli assi (e quindi evidenzio le loro proprietà) e le bisettrici (con le loro altrettante proprietà) e poi segno le lettere come indicato dall'esercizio. Il punto $S$ dovrebbe venire più in basso di $O$.
Ora, come prima considerazione vedo che i triangoli $CNO$ e $COQ$ sono congruenti per il secondo criterio generalizzato dei triangoli, quindi anche $CN=CQ$ (indicando con $Q$ il punto medio di $AC$) e $ON=OQ=12u$.
Anche i triangoli in basso $ASM$ e $BSM$ sono congruenti, quindi i rispettivi angoli $MBS$ e $MAS$ sono congruenti. Ma per proprietà transitiva si ha anche: ... gli angoli $BAC=ABC$ quindi $AC=BC$ e dunque il triangolo è isoscele e $BC=26u$. Inoltre si può anche calcolare l'altezza del triangolo: $sqrt(12^2+13^2)u+5u$. L'unico punto di domanda è che viene un numero con la virgola.
Per ora mi fermo qui.
Disegno il triangolo $ABC$ scaleno con la $A$ in basso a sinistra e poi le altre lettere in senso antiorario.
Disegno gli assi (e quindi evidenzio le loro proprietà) e le bisettrici (con le loro altrettante proprietà) e poi segno le lettere come indicato dall'esercizio. Il punto $S$ dovrebbe venire più in basso di $O$.
Ora, come prima considerazione vedo che i triangoli $CNO$ e $COQ$ sono congruenti per il secondo criterio generalizzato dei triangoli, quindi anche $CN=CQ$ (indicando con $Q$ il punto medio di $AC$) e $ON=OQ=12u$.
Anche i triangoli in basso $ASM$ e $BSM$ sono congruenti, quindi i rispettivi angoli $MBS$ e $MAS$ sono congruenti. Ma per proprietà transitiva si ha anche: ... gli angoli $BAC=ABC$ quindi $AC=BC$ e dunque il triangolo è isoscele e $BC=26u$. Inoltre si può anche calcolare l'altezza del triangolo: $sqrt(12^2+13^2)u+5u$. L'unico punto di domanda è che viene un numero con la virgola.
Per ora mi fermo qui.
Il triangolo ABC non è isoscele e non vedo perché i triangoli COQ e CON dovrebbero essere congruenti. Rivedi meglio la cosa...
Già , mi era venuto male il disegno. In effetti non è facile farlo a mano.
Comunque a me non sembra così elementare, anche perché lo sarebbe stato in una possibile differenza di raggi, visto che hai circoscritto e inscritto il triangolo.
Comunque a me non sembra così elementare, anche perché lo sarebbe stato in una possibile differenza di raggi, visto che hai circoscritto e inscritto il triangolo.
Prova a congiungere M con N...tenendo presente che M ed N sono punti medi
Altro suggerimento: dimenticati di S (anzi, non disegnarlo nemmeno) finché non saprai tutto su ABC.
Unendo $M$ con $N$ le possibili opzioni che mi vengono in mente sono:
- o $MN$ parallelo ad $AC$ ma anche se lo fosse non vedo come potrei continuare;
-o $OMN$ rettangolo, ma anche su questo non ci scommetto, e non saprei comunque come continuare.
Io se fossi andato d'istinto avrei unito subito O con S e lavorato direttamente sui segmenti, anche se potrebbe risultare più lungo.
- o $MN$ parallelo ad $AC$ ma anche se lo fosse non vedo come potrei continuare;
-o $OMN$ rettangolo, ma anche su questo non ci scommetto, e non saprei comunque come continuare.
Io se fossi andato d'istinto avrei unito subito O con S e lavorato direttamente sui segmenti, anche se potrebbe risultare più lungo.
"LucaM":
Unendo $M$ con $N$ le possibili opzioni che mi vengono in mente sono:
- o $MN$ parallelo ad $AC$ ma anche se lo fosse non vedo come potrei continuare;
$MN$ è parallelo a $AC$ e la sua lunghezza è metà di $AC$
"LucaM":
-o $OMN$ rettangolo, ma anche su questo non ci scommetto
Se $AC=26u$, allora $MN=13u$, di conseguenza riconosci la terna $5, 12, 13$ e concludi che $OMN$ è rettangolo.
Perchè lasci intendere che le due osservazioni si escludano a vicenda (aut... aut...)?
Fin qui c'ero, era la dimostrazione che mancava e per questo che ero dubbioso.
Proprio ora mentre scrivo mi viene in mente che c'è proprio un teorema che lo afferma, anzi esistono due teoremi simili.
In ogni caso, detto questo continuo a non capire (scusate la mia ignoranza) cosa c'entra con la distanza che stiamo cercando...
Proprio ora mentre scrivo mi viene in mente che c'è proprio un teorema che lo afferma, anzi esistono due teoremi simili.
In ogni caso, detto questo continuo a non capire (scusate la mia ignoranza) cosa c'entra con la distanza che stiamo cercando...
Sbagli
"ciromario":
Sbagli
Scambiare S con O non è poi così banale...Mi sono sempre chiesto se quelli ( me medesimo compreso!) che fanno errori, banali o meno, rivedono ciò che hanno scritto o premono il tasto "Invia" senza stare a pensarci sopra...
Dovrei farlo, hai ragione.
Mi viene circa radice di 65...
Più che circa direi: "esattamente radice di 65". 
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Volevi dire: "circa 8"?
.Volevi dire: "circa 8"?
Si... più o meno. Ho approssimato una tan ad un certo punto
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