Una disequazione insolita
Salve a tutti.
Chiedo aiuto per risolvere una disequazione per me difficile.
Partendo dal presupposto che già ne conosco la soluzione(frutto di un altro esercizio) il problema è riuscire a dimostrarla!.
$((xa+yb)/(x+y))^(x+y) 1/(a^xb^y)>=1$ sapendo che $a,b,x,y$sono tutti maggiori di zero.
Non so da dove partire, sono tre ore che la giro in tutti i modi....mi strappo i capelli.
ovviamente sono riuscito al caso banalissimo$x=y$ dove il risultato è 1 o $x=y$ dove il risultato con $a!=b$è effettivamente $>=1$
grazie.
Chiedo aiuto per risolvere una disequazione per me difficile.
Partendo dal presupposto che già ne conosco la soluzione(frutto di un altro esercizio) il problema è riuscire a dimostrarla!.
$((xa+yb)/(x+y))^(x+y) 1/(a^xb^y)>=1$ sapendo che $a,b,x,y$sono tutti maggiori di zero.
Non so da dove partire, sono tre ore che la giro in tutti i modi....mi strappo i capelli.
ovviamente sono riuscito al caso banalissimo$x=y$ dove il risultato è 1 o $x=y$ dove il risultato con $a!=b$è effettivamente $>=1$
grazie.
Risposte
Sicuro che sia tutto giusto? Scrivi due volte $x=y$, presentandoli come due casi diversi; inoltre nel caso $y=x$ io trovo che la diseguaglianza è verificata solo per $x>=1$.
Direi che è verificata per $x=y$.
Infatti $((a+b)/(2))^(2x)\ 1/(ab)^x= (1/4(a^2+2ab+b^2)/(ab))^x$
Se poniamo $k=a/b$,
$ (1/4(a^2+2ab+b^2)/(ab))^x= (1/4 (k+1/k+2))^x \ge 1$
Infatti $((a+b)/(2))^(2x)\ 1/(ab)^x= (1/4(a^2+2ab+b^2)/(ab))^x$
Se poniamo $k=a/b$,
$ (1/4(a^2+2ab+b^2)/(ab))^x= (1/4 (k+1/k+2))^x \ge 1$
"giammaria":
Sicuro che sia tutto giusto? Scrivi due volte $ x=y $, presentandoli come due casi diversi; inoltre nel caso $ y=x $ io trovo che la diseguaglianza è verificata solo per $ x>=1 $.
Hai ragione ho sbagliato.
volevo dire per $ x=y $e per $a=b$.
Allora vi ripeto vi posso assicurare che quella disequazione è sempre verificata,se $a,b,x,y, >0$.
Dunque per $x=y$ ho che $((a+b)^2/(4ab))^x>=1$ e qui basta far vedere che la base della potenza sia maggiore di uno.
Quindi: $(a+b)^2/(4ab)>=1$;$(a^2+b^2+2ab + (-2ab+2ab))/(4ab)$; $1+(a-b)^2/(4ab)>=1$sempre(vedi hp) (Devo ammettere che questi passaggi non sono tutti farina del mio sacco).
Per $a=b$ la dis è ancora più semplice perchè si riduce tutto e diventa $1>=1$.
Per il resto ancora non so cosa e come fare...spero in voi.
[xdom="giammaria"]Sposto in Scervelliamoci un po', che mi sembra più adatta, e ti invito a modificare il titolo, senza maledizioni; puoi ricorrere a difficilissima o insolita o simili[/xdom]
Posto $y=kx, a=bz$, dopo qualche passaggio la tua disequazione diventa
$[1/z((z+k)/(k+1))^(k+1)]^x>=1$
che, essendo $x>0$, è verificata se la base è non minore di 1, cioè se
$((z+k)/(k+1))^(k+1)>=z->(z+k)/(k+1)>=z^(1/(k+1))$
Posto ora $h=1/(k+1)$, con $0
${(y_1=hz+1-1/h),(y_2=z^h),(y_1>=y_2):}$
Al variare di $z$, le due curve sono tangenti in $(1,1)$ in quanto $y_1(1)=y_2(1)=1$ ed inoltre $y'_1(1)=y'_2(1)=h$. La prima equazione rappresenta una retta e la seconda una potenza; poiché $00$, la seconda ha concavità verso il basso. Dal grafico vediamo quindi che vale l'uguale solo quando $z=1->a=b$, mentre in tutti gli altri casi vale il maggiore.
Posto $y=kx, a=bz$, dopo qualche passaggio la tua disequazione diventa
$[1/z((z+k)/(k+1))^(k+1)]^x>=1$
che, essendo $x>0$, è verificata se la base è non minore di 1, cioè se
$((z+k)/(k+1))^(k+1)>=z->(z+k)/(k+1)>=z^(1/(k+1))$
Posto ora $h=1/(k+1)$, con $0
Al variare di $z$, le due curve sono tangenti in $(1,1)$ in quanto $y_1(1)=y_2(1)=1$ ed inoltre $y'_1(1)=y'_2(1)=h$. La prima equazione rappresenta una retta e la seconda una potenza; poiché $0
mi fido...passatemi la battuta non ci ho capito un $h$
.
Capisco che il problema sia legato a carenze matematiche.
Cioè non so cosa vuol dire paragonare una disequazione ad un sistema che oltretutto riporta due volte $y_1$ con significati diversi e non capisco come si fa a scegliere una lettera, tra tutte quelle,cui attribuire valore di variabile o costante o parametro. Ad es la derivata (delle due funzioni) che calcoli, rispetto a quale variabile è calcolata(e perché proprio quella). Ripeto sono domande "retoriche" quelle che faccio, perché capisco da me che non è possibile in qualche riga capire il metodo di soluzione.
Una domanda però è lecita: quale è l'ambito della matematica che si occupa di questi problemi e qual'è un buon libro/i di testo da consultare. Faccio l'università e sono tanto stanco di dover dare sempre tutto per scontato, di dover accettare risultati così per come sono, di sentire risposte dalla maggior parte dei prof tipo: "..non approfondire troppo.." o "..un ingegnere non si chiede mai perché..",di studiare solo per riuscire a superare l'esame lasciandomi alle spalle lacune e domande enormi, di non riuscire mai a saziare la fame di curiosità verso la matematica e la fisica, ma soprattutto di non riuscire mai a trovare un accordo tra queste due materie...(vedi altra domanda da me postata"incongruenza formula accelerazione").
Grazie per la pazienza ad aver accolto questo mio piccolo sfogo, ma vedo in voi delle persone che vanno al di la del proprio lavoro, che non impegnano il proprio tempo solo per adempiere ai vari doveri che la vita ci pone dinanzi, che usano quello che c'è di più prezioso in un uomo dopo l'anima: la passione, l'amore verso la proprio ispirazione.
Detto questo grazie per la risposta,sicuramente con un po' di pazienza capirò bene quanto hai scritto, ci studierò un po' su e, beati voi che potete.

Capisco che il problema sia legato a carenze matematiche.
Cioè non so cosa vuol dire paragonare una disequazione ad un sistema che oltretutto riporta due volte $y_1$ con significati diversi e non capisco come si fa a scegliere una lettera, tra tutte quelle,cui attribuire valore di variabile o costante o parametro. Ad es la derivata (delle due funzioni) che calcoli, rispetto a quale variabile è calcolata(e perché proprio quella). Ripeto sono domande "retoriche" quelle che faccio, perché capisco da me che non è possibile in qualche riga capire il metodo di soluzione.
Una domanda però è lecita: quale è l'ambito della matematica che si occupa di questi problemi e qual'è un buon libro/i di testo da consultare. Faccio l'università e sono tanto stanco di dover dare sempre tutto per scontato, di dover accettare risultati così per come sono, di sentire risposte dalla maggior parte dei prof tipo: "..non approfondire troppo.." o "..un ingegnere non si chiede mai perché..",di studiare solo per riuscire a superare l'esame lasciandomi alle spalle lacune e domande enormi, di non riuscire mai a saziare la fame di curiosità verso la matematica e la fisica, ma soprattutto di non riuscire mai a trovare un accordo tra queste due materie...(vedi altra domanda da me postata"incongruenza formula accelerazione").
Grazie per la pazienza ad aver accolto questo mio piccolo sfogo, ma vedo in voi delle persone che vanno al di la del proprio lavoro, che non impegnano il proprio tempo solo per adempiere ai vari doveri che la vita ci pone dinanzi, che usano quello che c'è di più prezioso in un uomo dopo l'anima: la passione, l'amore verso la proprio ispirazione.
Detto questo grazie per la risposta,sicuramente con un po' di pazienza capirò bene quanto hai scritto, ci studierò un po' su e, beati voi che potete.
Comincio col rispondere alla prima domanda: quando non ci sono altri metodi per risolvere un'equazione o disequazione, si ricorre al metodo grafico. Te lo illustro per la disequazione
$e^x>2-x$
Disegno sullo stesso grafico le due curve $y=e^x$ e $y=2-x$; voglio che la prima funzione dia un valore più grande della seconda, cioè che abbia una $y$ maggiore, cioè che stia al di sopra. Un modo per indicarlo (quello che ho usato) può essere
${(y_1=e^x),(y_2=2-x),(y_1>y_2):}$
Ora guardo il grafico, chiedendomi dove la prima curva sta al di sopra della seconda, e noto che succede da un certo punto $x_0$ in poi; all'incirca si ha $x_0=0,5$. La soluzione approssimata è quindi $x>0,5$; quella precisa è $x>x_0$.
La derivata è stata calcolata rispetto a $z$ ed ho anche scritto "al variare di $z$"; ho scelto quella variabile solo perché risultava la più comoda ed adatta a portarmi al risultato voluto.
Più difficile è rispondere alla seconda domanda, perché la spiegazione del metodo grafico di solito è variamente sparsa nei testi di analisi. Ti consiglio però di consultare il tuo libro dell'ultimo anno delle superiori; è molto probabile che dopo aver parlato dello studio delle funzioni dedichi alcuni paragrafi alla risoluzione approssimata delle equazioni. Di solito i testi non si soffermano sulle disequazioni, ma per quelle ti basta ricordare che maggiore significa al di sopra e analoga.
$e^x>2-x$
Disegno sullo stesso grafico le due curve $y=e^x$ e $y=2-x$; voglio che la prima funzione dia un valore più grande della seconda, cioè che abbia una $y$ maggiore, cioè che stia al di sopra. Un modo per indicarlo (quello che ho usato) può essere
${(y_1=e^x),(y_2=2-x),(y_1>y_2):}$
Ora guardo il grafico, chiedendomi dove la prima curva sta al di sopra della seconda, e noto che succede da un certo punto $x_0$ in poi; all'incirca si ha $x_0=0,5$. La soluzione approssimata è quindi $x>0,5$; quella precisa è $x>x_0$.
La derivata è stata calcolata rispetto a $z$ ed ho anche scritto "al variare di $z$"; ho scelto quella variabile solo perché risultava la più comoda ed adatta a portarmi al risultato voluto.
Più difficile è rispondere alla seconda domanda, perché la spiegazione del metodo grafico di solito è variamente sparsa nei testi di analisi. Ti consiglio però di consultare il tuo libro dell'ultimo anno delle superiori; è molto probabile che dopo aver parlato dello studio delle funzioni dedichi alcuni paragrafi alla risoluzione approssimata delle equazioni. Di solito i testi non si soffermano sulle disequazioni, ma per quelle ti basta ricordare che maggiore significa al di sopra e analoga.
@agente47.
Sfogo raccolto,insieme al peso tanto delle sue premesse quanto delle sue conseguenze;
spero possa esserti utile,in merito,l'invito elementare a conservare,
in ogni contesto che vivi e vivrai(pure se "ostile" in quel senso),
l'abitudine/attitudine a porti delle domande:
sono indispensabili per arricchire quel tuo percorso culturale che,
tra fatiche enormi(in sè e per sè,ma ancor più durante questo tempo..),
dovrebbe condurti a quel Rispetto verso te stesso che,secondo Kant e se ben ricordo Socrate,
è un Dovere proritario e propedeutico a quelli,già enormi,che s'hanno verso l'Altro.
Una parte della Matematica che dovrebbe esserti d'aiuto,comunque,è l'Analisi Numerica
(congiuntamente ad un uso appropriato del buon consiglio col quale il Prof. ha chiuso il precedente post..):
cerca in rete qualcosa del tipo "chi ha paura di f(x)=0?"
.
Saluti dal web.
Sfogo raccolto,insieme al peso tanto delle sue premesse quanto delle sue conseguenze;
spero possa esserti utile,in merito,l'invito elementare a conservare,
in ogni contesto che vivi e vivrai(pure se "ostile" in quel senso),
l'abitudine/attitudine a porti delle domande:
sono indispensabili per arricchire quel tuo percorso culturale che,
tra fatiche enormi(in sè e per sè,ma ancor più durante questo tempo..),
dovrebbe condurti a quel Rispetto verso te stesso che,secondo Kant e se ben ricordo Socrate,
è un Dovere proritario e propedeutico a quelli,già enormi,che s'hanno verso l'Altro.
Una parte della Matematica che dovrebbe esserti d'aiuto,comunque,è l'Analisi Numerica
(congiuntamente ad un uso appropriato del buon consiglio col quale il Prof. ha chiuso il precedente post..):
cerca in rete qualcosa del tipo "chi ha paura di f(x)=0?"

Saluti dal web.
@Agente47: Siccome sei uno studente universitario mi permetto di suggerirti anche questa soluzione.
La famosa disuguaglianza AM-GM tra media geometrica e media aritmetica ( conseguenza della convessità di $e^x$ ) dice , in generale che:
\(\displaystyle x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}\leq \alpha_1 x_1 +\alpha_2 x_2+ \cdots+\alpha_n x_n\) con \(\alpha_i>0 i=1,2, \cdots n \) e \( \sum_{i=1}^n \alpha_i=1\).
Nel caso specifico prendendo
\(\displaystyle n=2, \alpha_1=\frac{x}{x+y}, \alpha_2=\frac{y}{x+y},x_1=a,x_2=b\)
si ottiene:
\( \displaystyle a^{\frac{x}{x+y}}b^{\frac{y}{x+y}}\leq \frac{x}{x+y}a+\frac{y}{x+y}b\)
e da qui con un semplice passaggio si ottiene la disuguaglianza proposta.
La famosa disuguaglianza AM-GM tra media geometrica e media aritmetica ( conseguenza della convessità di $e^x$ ) dice , in generale che:
\(\displaystyle x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}\leq \alpha_1 x_1 +\alpha_2 x_2+ \cdots+\alpha_n x_n\) con \(\alpha_i>0 i=1,2, \cdots n \) e \( \sum_{i=1}^n \alpha_i=1\).
Nel caso specifico prendendo
\(\displaystyle n=2, \alpha_1=\frac{x}{x+y}, \alpha_2=\frac{y}{x+y},x_1=a,x_2=b\)
si ottiene:
\( \displaystyle a^{\frac{x}{x+y}}b^{\frac{y}{x+y}}\leq \frac{x}{x+y}a+\frac{y}{x+y}b\)
e da qui con un semplice passaggio si ottiene la disuguaglianza proposta.
Grazie a tutti per i consigli. Ne farò tesoro. ma com'è difficile!!
.
Metodi di risoluzione studiati e capiti un po' meglio.
Cioè ora che le leggo e le rileggo (le soluzioni) sembrano abbastanza lineari e ovvie(la disuguaglianza AM-GM non la conoscevo neanche lontanamente). Sicuro però da solo non ci sarei mai arrivato, come pure adesso partendo dalla disequazione originale provando a procedere da solo, mai mi verrebbe in mente di riuscire a trasformare tutto come se fosse un semplice problema di studio di funzione... per di più nel piano(!!) visto che inizialmente le variabili sembrano(?) essere 4: $a,b,x,y$.
Grazie
.
Buona giornata.

Metodi di risoluzione studiati e capiti un po' meglio.
Cioè ora che le leggo e le rileggo (le soluzioni) sembrano abbastanza lineari e ovvie(la disuguaglianza AM-GM non la conoscevo neanche lontanamente). Sicuro però da solo non ci sarei mai arrivato, come pure adesso partendo dalla disequazione originale provando a procedere da solo, mai mi verrebbe in mente di riuscire a trasformare tutto come se fosse un semplice problema di studio di funzione... per di più nel piano(!!) visto che inizialmente le variabili sembrano(?) essere 4: $a,b,x,y$.
Grazie

Buona giornata.
Prego, e buona giornata anche a te. Mi fa piacere che, sia pure a posteriori, le soluzioni ti sembrino "abbastanza lineari e ovvie"; con un po' di pratica ti verranno in mente da solo e un modo per farsela è proprio vedere come fanno altre persone.
"giammaria":
Comincio col rispondere alla prima domanda: quando non ci sono altri metodi per risolvere un'equazione o disequazione, si ricorre al metodo grafico ...
grazie giammaria , ne faccio tesoro anch'io

Lo studio di funzione che è necessario fare per trovare la soluzione è ingegnoso, ma con la diseguaglianza tra media geometrica e media aritmetica ponderate viene subito (puoi guardare http://en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality e http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means#Weighted_AM.E2.80.93GM_inequality. Quasi sicuramente l'esercizio è stato studiato per essere risolto in questa maniera, e in fondo si tratta di un teorema molto noto in matematica, e risolvere l'esercizio in un'altro modo vuol dire in fondo ridimostrare il teorema (che non è cosa da poco).
In matematica è sempre importante mettersi di impegno e ragionare sulle cose, ma la conoscenza dei risultati principali ci aiuta molto e ci permette di intravedere altri metodi.
Per cui il mio consiglio è quello di arricchire il tuo bagaglio di conoscenze matematiche, sopratutto se senti di avere delle carenze e se la cosa ti pesa.
In matematica è sempre importante mettersi di impegno e ragionare sulle cose, ma la conoscenza dei risultati principali ci aiuta molto e ci permette di intravedere altri metodi.
Per cui il mio consiglio è quello di arricchire il tuo bagaglio di conoscenze matematiche, sopratutto se senti di avere delle carenze e se la cosa ti pesa.