Un luogo geometrico

[massimoaa]

Dato un triangolo ABC, siano M ed N, rispettivamente, i punti medi dei lati AB,AC.
Determinare il luogo descritto dal punto medio P di MN al variare di A sul circocerchio
di ABC .
Essendo i dati generici penso più ad una risoluzione sintetica piuttosto che ad una algebrica.
Vedete un po'...

[Erasmus_First]

"massimoaa":Sia O il circocentro di ABC. Per noti teoremi di geometria elementare i punti B, O e M appartengono ad una medesima circonferenza $\gamma$ di diametro BO e questa circonferenza è il luogo descritto da M al variare del vertice A.
Osserviamo ora che, al muoversi di A, MP resta parallelo a BC ed uguale a $1/4BC$ e questo
significa che il punto P ( che è legato al punto M), analogamente al punto M descrive una circonferenza congruente a $\gamma$ ma traslata (parallelamente a BC) di un tratto pari ad $1/4BC$.

Mi piace!
Bravo massimoaa!

Nulla da aggiungere.
Ma mi piace rivedee la tua interpretazione e ripercorrerla con parole mie!

Se O è il circocentro delll'iniziale triangolo ABC ed M è il punto medio del lato AB, MO è l'asse di AB e dunque BMO è un triangolo rettangolo in M in qualunque posto della circonferenza di raggio BO vada A (tranne B – perché allora anche M casca in B –ed il punto diametralmente opposto di di B – perché allora M casca in O).
Dunque, se A percorre la circonferenza di raggio BO, M percorre la circonferenza di diametro BO.
[Infine, siccome MP resta parallelo a BC (che è fisso!) e di lunghezza un quarto di quella di [BC, P descrive una circonferenza uguale a quella descritta da M, solo spostata di un quardo di BC nella dirtezione di BC e nel verso da B a C.
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Ma se ci pensi bene, vedi che del "circocentro" – e quindi del triangolo BMO rettangolo in M – ce ne possiamo fregare!

Qualunque, infatti, sia la curva che descrive A – anche se A uscisse dal piano dell'iniziale triangolo ABC descrivendouna curva non piana – se B sta fermo ed M resta allineato con A e B ed equidistante da A e B, la curva descritta da M corrisponde a quella descritta da A nell'omotetia di centro B e rapporto
BA/BM = 2.

[Infine, siccome MP è parallelo a BC e di lunghezza un quarto della lunghezza di BC, i suoi due estremi non possono che descrivere curve congruenti, ossia: la curva descritta da P è la stessa di quella descritta da M, solo spostata nella direzione di BC e nel verso da B a C di un quarto della lunghezza di BC. E il prodotto di una omotetia per una traslazione è una omotetia di uguale rapporto e di centro diverso, (nel nostro caso di centro il punto medio di BC]).

Qualunque sia il percorso che fa A, non solo le curve descritte da M, da N da P sono similli a quella descritta da A – più piccole nella scala uno a due – ma tutte quattro vengono percorse in pefetto sincronismo

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[teorema55]

Ecco, ragazzi:

La mia costruzione

La vostra costruzione

Qualcuno mi spiegherebbe che differenza c'è che giustifichi un 'sì diverso comportamento?

Grazie in anticipo.

Marco

[axpgn]

Il cerchio azzurro della tua costruzione non è la traiettoria del punto $G$ (tra l'altro è variabile)

[orsoulx]

"teorema55":Qualcuno mi spiegherebbe...

Nella tua costruzione assumi, arbitrariamente, che il luogo sia una circonferenza col centro coincidente con quello della circonferenza circoscritta ad $ ABC $. Questo è vero solo quando BC è un diametro.
In GeoGebra otre al comando 'Luogo' esiste anche l'opzione 'traccia' se tu abiliti questa opzione (è nella finestra 'proprietà' dell'oggetto) per il punto G, vedrai scarabocchiarsi il percorso di questo punto.
Ciao

[teorema55]

"axpgn":Il cerchio azzurro della tua costruzione non è la traiettoria del punto $G$ (tra l'altro è variabile)

- Traiettoria: come no?
- Variabilità: un luogo geometrico non può essere variabile? Essere una funzione................... (la domanda è sincera, niente polemica o ironia, Alex)

[teorema55]

"orsoulx":
Nella tua costruzione assumi, arbitrariamente, che il luogo sia..................

Non assumo............osservo.

"orsoulx":Questo è vero solo quando BC è un diametro.

Ma, nella fattispecie, non lo è.

"orsoulx":In GeoGebra otre al comando 'Luogo' esiste anche l'opzione 'traccia' se tu abiliti questa opzione (è nella finestra 'proprietà' dell'oggetto) per il punto G, vedrai scarabocchiarsi il percorso di questo punto.

Grazie davvero per l'info, ci proverò non appena possibile. Quale versione di GG?

Cordialmente, Beppe.

Marco

[orsoulx]

"teorema55":Non assumo............osservo.

Visto che fai disegnare la circonferenza di centro D passante per G, presumo che ti stia chiedendo se il luogo cercato abbia centro in D. 'Osservi' che così non è: la circonferenza in questione cambia spostando il punto A. Puoi trarne le conseguenze.

"teorema55": Quale versione di GG?

Qualsiasi, da quando la conosco. E son passati tanti (troppi) anni..
Ciao

[axpgn]

@teorema55

Sinceramente non saprei cosa aggiungere a tutto quello che è già stato detto ... prova a guardare quest'immagine ...



Oppure prova a fare un po' di conti (io li ho fatti per disegnare quell'immagine e forse) e forse ti convincerai ...

Cordialmente, Alex

[teorema55]

TA RA TA TAAAAAAAAAAAAAA! Sorpresa!!

Hai ragione, Beppe, attivando l'opzione "traccia" il punto G scarabocchia, ma che cosa scarabocchia? Prova a pensarci prima di guardare il collegamento. Provate a indovinarlo anche voi, Alex, Erasmus, veciorik, e..........massimoaa, naturalmente

Luogo scarabocchiato

Che titoli di coda per la discussione, vero?

Emozionato, un grande ciao a tutti.

Marco