Un luogo geometrico

[massimoaa]

Dato un triangolo ABC, siano M ed N, rispettivamente, i punti medi dei lati AB,AC.
Determinare il luogo descritto dal punto medio P di MN al variare di A sul circocerchio
di ABC .
Essendo i dati generici penso più ad una risoluzione sintetica piuttosto che ad una algebrica.
Vedete un po'...

[orsoulx]

Detta $ \gamma $ la circonferenza per ABC e G il suo centro; il luogo cercato è la circonferenza di centro il punto medio fra G ed il punto medio di BC e diametro uguale al raggio di $ \gamma $.
Una possibile dimostrazione consiste nell'osservare che M ed N descrivono due circonferenze congruenti di diametro rispettivamente BG e CG, ed il segmento che li unisce è parallelo ad AB. Anche P descriverà allora una circonferenza congruente alle precedenti con centro nel punto medio dei loro centri.

@massimoaa:
[ot]guarda che è un tuo diritto richiedere che un problema venga risolto con gli strumenti che preferisci. Non lasciarti intimidire dagli sproloqui di Erasmus: in fondo è cortese anche se non lo sembra.[/ot]
Ciap

[teorema55]

Penso che sia una circonferenza concentrica con quella circoscritta al triangolo $ABC$ e raggio $r=PQ$, dove $Q$ è il circocentro del triangolo, cioè il punto di intersezione degli assi dei lati dello stesso. Ritengo anche che lo stesso risultato si ottenga non mantenendo fissa la circonferenza circoscritta ad $ABC$ o (che è la stessa cosa) permettendo al punto $A$ di muoversi liberamente.
Ovviamente identica situazione si avrebbe muovendo liberamente anche i punti $B$ o $C$.
Si noti inoltre che il segmento $MN$ è sempre parallelo al lato $BC$

Ciao.

Marco

[Erasmus_First]

"massimoaa":Dato un triangolo ABC, siano M ed N, rispettivamente, i punti medi dei lati AB,AC.
Determinare il luogo descritto dal punto medio P di MN al variare di A sul circocerchio
di ABC .
Essendo i dati generici penso più ad una risoluzione sintetica piuttosto che ad una algebrica.
Vedete un po'...

Sia $a$ un reale positivo. Nel piano cartesiano di origine $O(0.0)$ metto:
• $A$ in $(x_A, y_A) = (-a, 0)$,
• $B$ in $(x_B, y_B) = (a, 0)$ e
• $C$ in $(x, y)$ con $x$ e $y$ qualsiasi purché sia $y ≠ 0$
In tal modo le coordinate di M ed N sono (rispettivamente):
$(x_M, y_M) = ((x+a)/2, y/2)$;
$(x_N, y_N) = ((x-a)/2, y/2)$.
sicché le cordinate di P risultano:
$x_P = (x_M + x_N)/2 = x/2$;
$y_P = (y_M + y_N)/2 = y/2$.
Dunque $P$ è il punto medio del segmento che ha per estremi il punto $C$ e il punto medio del segmento di estremi A e B (da me assunto, solo per comodità, origine $O(0, 0)$ degli assi cartesiani).
Se allora si fanno variare le coordinate di $C$ in modo che $C$ descriva una qualunque [determinata] curva (nel piano di $ABC$), il punto $P$ descrive la curva simile che corrisponde a quella descritta da $C$ nell'omotetia di centro $O$ e rapporto OC/OP = 2.
In particolare, se $C$ descrive una circonferenza $P$ descrive pure una circonferenza (di raggio metà di quella descritta da $C$ e centro distante da $O$ metà della distanza da $O$ del centro della circonferenza descritta da $C$).

_______

[massimoaa]

Ottime soluzioni. Complimenti!

[orsoulx]

@massimoaa:
mi pare improbabile che tre risultati diversi siano tutti esatti.
Ciao

[Erasmus_First]

Oops!
Mi accorgo solo ora che nel testo originaLe il vertice del triangolo ABC che variando descrive una circonferenza non è C ma A.
Correggo allora la mia precedente risposta scambianto soltanto tra loro $A$ e $C$ (e lasciando invariato tutto il resto),
Ma, assecondando un consiglio di axpgn, non vado a modificare il mio precedente messaggio. Metto invece qua di seguito il testo corretto.

"massimoaa":Dato un triangolo ABC, siano M ed N, rispettivamente, i punti medi dei lati AB, AC.
Determinare il luogo descritto dal punto medio P di MN al variare di A sul circocerchio
di ABC [...]

Sia $a$ un reale positivo. Nel piano cartesiano di origine $O(0.0)$ metto:
• $C$ in $(x_C, y_C) = (-a, 0)$,
• $B$ in $(x_B, y_B) = (a, 0)$ e
• $A$ in $(x, y)$ con $x$ e $y$ qualsiasi purché sia $y ≠ 0$
In tal modo le coordinate di M ed N sono (rispettivamente):
$(x_M, y_M) = ((x+a)/2, y/2)$;
$(x_N, y_N) = ((x-a)/2, y/2)$.
sicché le cordinate di P risultano:
$x_P = (x_M + x_N)/2 = x/2$;
$y_P = (y_M + y_N)/2 = y/2$.
Dunque $P$ è il punto medio del segmento che ha per estremi il punto $A$ e il punto medio del segmento di estremi C e B (da me assunto, solo per comodità, origine $O(0, 0)$ degli assi cartesiani).
Se allora si fanno variare le coordinate di $A$ in modo che $A$ descriva una qualunque [determinata] curva (nel piano di $ABC$), il punto $P$ descrive la curva simile che corrisponde a quella descritta da $A$ nell'omotetia di centro $O$ e rapporto OA/OP = 2.
In particolare, se $A$ descrive una circonferenza $P$ descrive pure una circonferenza (di raggio metà di quella descritta da $A$ e centro distante da $O$ metà della distanza da $O$ del centro della circonferenza descritta da $A$).

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[/quote]

[axpgn]

Brao! Così si fa

[teorema55]

Non sono d'accordo con le vostre costruzioni, amici. Come al solito, dopo il lavoro, posterò la mia

Cordialmente.

Marco

[Erasmus_First]

"teorema55":Penso che sia una circonferenza concentrica con quella circoscritta al triangolo $ABC$ [...]

Solo se BC è un diametro (ovvero: solo se l'angolo in A è retto).
Accontento massimoaa (e orsoulx) ... evitando scrupolosamente di proferire parole come "equazioni" e "incognite"!
Il triangolo AMN è simile al triangolo ABC e i lati di AMN sono metà dei corrispondenti lati di ABC. Sia O il punto medio di BC. Sicccome M sta su AB ed N sta su AC, sono pure allineati A, P e O. Insomma: P sta sulla mediana AO di ABC e dista ugualmente da A e da O. Ecco allora che se sgangheri ABC portando a spasso il vertice A [fissi restando però i vertici B e C) viene evidenziata l'omotetia di centro O e rapporto OA/OP = 2.

In ogni coppia di punti corrispondenti in questa omotetia le distanze dal centro O sono una doppia dell'altra; quindi anche quelle dei due "cicocentri" delle circonferenze descritte rispettivamente da A e da P. Il circocentro di ABC coincide col circocentro di PBC solo se ABC è rettangolo in A (perché allora entrambi i circocentri coincidono col centro O dell'omotetia (punto medio del lato fisso di estremi B e C),
[$2·0 = 0$ ].

[Ti riricordi come funzionavano i "pantografi"? Probabilmente no, perché ti penso non sufficientemente anziano!
Beh: servivano a fare una copia di un disegno "in scala". Avevano un "fulcro" che restava fisso mentre una punta (non scrivente) veniva fatta percorrere un determinato percorso ed un'altra punta "scrivente" disegnava una curva simile a quella percorsa dalla punta non scrivente).
–––> Pantografo (grafica). [Wikipedia]

Pantografo

Il pantografo di figura "ingrandisce", (cioè: la punta scrivente – in verde nella figura – è più lontana dal "fulcro" della punta non scrivente che pervcorre la linea – in rosso nella figura – da copiare "in scala". Scambia le punte, mettendo quella non scrivente lontana dal punto fisso e quella scrivente tra il punto fisso e la punta non scrivente.

_______

[teorema55]

Uhm...........Ora mi inoculi il germe del dubbio.............ci devo pensare. Quanto all'età non sarei troppo sicuro

A più tardi.

Marco

[axpgn]

Pantografo con cuoricino ... Fantastico!

[teorema55]

Ho interpretato il problema in questo modo:



dove $E$ ed $F$ sono i punti medi dei lati $AC$ e $AB$ e $G$ è il punto medio di $EF$. $D$ è il circocentro del triangolo $ABC$ (Euclide ovviamente, niente Cartesio)

[teorema55]

Un'altra costruzione può essere




che mi sembra identica ma si comporta diversamente al variare della posizione dei vertici del triangolo.

Francamente sono un po' in confusione................

EDIT: mi correggo. Anche in questo caso il luogo è identico al primo, come c'è da aspettarsi..............così:

L'unica "limitazione", che tuttavia non mi sembra contraria allo spirito del problema, è che al variare della posizione di un vertice, gli altri due rimangono fermi.

[teorema55]

Mentre l'interpretazione di Erasmus mi sembra più questa:



supponendola animata con $A$ che va a spasso lungo la circonferenza.

Devo ora capire quale è la differenza............

Puff, puff............notte per ora, ne riparleremo (spero).

Cordialmente.

Marco

[orsoulx]

@teorema55:
se, invece di sfornare disegni, ci dicessi qual è la tua interpretazione, si potrebbe discuterne.
Ciao

[Erasmus_First]

"teorema55":Ho interpretato il problema in questo modo:

E hai sbagliato!
Rileggiti il testo del quiz .. e poi rifeltti sul confrnto della figura che sta qui nella citazione del tuo messaggio con quella che ti metto più sotto, la quale è una rielaborazione della tua stessa figura:
a) spogliata degli elementi superflui;
b) con i nomi dei punti tornati ad essere quelli del testo;
c) con l'aggiunta in verde di altre due diverse posizioni del vertice A (e quindi dei lati AB e AC nonché dei punti M, N e P (cntrassegnate dai pedici rispettivi 1 e 2).

Vedi che il cerchio verde passa per il tuo punto P e per i sui punti "fratelli" P[size=85]1[/size] e P[size=85]2[/size] i quali non stano sul tu cerchio concentico con quello circscritto al tuo triangolo ABC.

–––> Figura per teorema55

_______

[teorema55]

"orsoulx":@teorema55:
se, invece di sfornare disegni, ci dicessi qual è la tua interpretazione.........

Ciao Beppe.

Dal testo iniziale, disegno il segmento $MN$, parallelo a $BC$ e in rapporto $1/2$ con lo stesso lato, ed il suo punto medio $P$. Ora, semplicemente, osservo la figura realizzata dal punto $P$ (il luogo geometrico richiesto) al variare della posizione di $A$ sia mantenendo costanti la posizione di $B$, $C$ e della circonferenza sia svincolando tutto e permettendo ad $A$ di vagare libero e felice dovunque gli vada.

I disegni, figure e grafici mi sembra aiutino a visualizzare la situazione meglio di formule e/o chiacchiere. Come hai visto alla fine, ho anche tentato di interpretare il problema alla Erasmus-maniera (non so con quale successo), ed effettivamente il comportamento è diverso.

Solo..........questo povero vecchio appena infarinato di matematica non riesce a capire dove sta la differenza tra le due interpretazioni.

Cordialmente.

Marco

[teorema55]

@Erasmus

Buon giorno anche a te. Purtroppo il sistema su cui lavoro non mi permette di visualizzare né caricare immagini. Ergo rinvio a questa sera (non oltre le 20:45, ovviamente) la visione del tuo gradito intervento.

A più tardi.

Marco

[massimoaa]

Sia O il circocentro di ABC. Per noti teoremi di geometria elementare i punti B,O,M appartengono ad una medesima circonferenza $\gamma$ di diametro BO e questa circonferenza è il luogo descritto da M al variare del vertice A.
Osserviamo ora che, al muoversi di A, MP resta parallelo a BC ed uguale a $1/4BC$ e questo
significa che il punto P ( che è legato al punto M), analogamente al punto M descrive una circonferenza congruente a $\gamma$ ma traslata ( parallelamente a BC ) di un tratto pari ad $1/4BC$.

[veciorik]

Un disegno minimalista. La figura rossa è simile alla figura blu, con tutte le misure lineari dimezzate.
Qualsiasi punto P' della figura rossa (triangolo, circonferenza, circocentro) è il punto medio del segmento MP, dove P è il corrispondente punto della figura blu e M è il punto medio di entrambe le basi.
Cioè le due figure sono omotetiche e M è il centro di omotetia, also sprach Erasmus_First.
Il reticolo polare agevola la comprensione.
Le seguenti definizioni individuano lo stesso punto A':

[*:191prt4b]punto medio del segmento congiungente i punti medi dei lati obliqui[/*:m:191prt4b][*:191prt4b]punto medio della mediana AM della base[/*:m:191prt4b][/list:u:191prt4b]


P.S. 14/9 ore 23.50: temo di non aver evidenziato il presupposto fondamentale:


[size=120]Per ogni posizione di A il prolungamento di AA' interseca CB in M con AM = 2 AA'[/size]

Quindi M è il centro di una contrazione omotetica di rapporto 1/2.