Risoluzione di un sitema

[sandroroma]

Risolvere il sistema seguente:
x + xy + xyz = 12
y + yz + yzx = 21
z + zx + zxy = 30
[Mi ci sono "scimunito" un bel po' ottenendo per tentativi la soluzione:
x=1,y=1,z=10
che non può essere ovviamente sufficiente, trattandosi di un sistema di grado elevato. Vedete voi ... ]

[orsoulx]

Dividendo le tre equazioni, rispettivamente per $ x, y, z $ si trova $ y+yz=12/x-1; z+zx=21/y-1; x+xy=30/z-1 $ che sostituiti nelle equazioni inizianti con i primi due termini portano a $ xyz+30/z=13; xyz+12/x=22; xyz+21/y=31 $. Sottraendo la prima dalla seconda e la seconda dalla terza si ottiene (dopo aver semplificato per $ 3 $) $ 4/x-10/z=3; 7/y-4/x=3 $. Posto $ 4/x=t $ si ottiene $ 10/z=t-3; 7/y=t+3 $ ossia $ x=4/t; y=7/(t+3); z=10/(t-3) $ che sostituiti in una qualsiasi delle tre eq. iniziali portano ad una equazione di terzo grado in $t$ che ha per soluzioni $ {4; -2; .-5/3} $ per un totale di tre terne di soluzioni (una è quella che hai trovato)

Ciao

[sandroroma]

@orsoulx
Soluzione piuttosto ingegnosa. Complimenti!

[giammaria2]

La soluzione di orsoulx è senz'altro più bella della mia, che però ha il pregio di usare solo il banalissimo metodo di sostituzione.
Comincio col notare che le tre incognite sono diverse da zero, altrimenti si annullerebbe il primo membro di un'equazione; orsoulx lo ha senz'altro pensato, anche se non l'ha scritto.
Posso quindi ricavare $z$ dalla prima equazione e sostituirlo nelle altre.
La seconda equazione risulta lineare in $y$; la ricavo e la sostituisco nella terza.
Dopo i calcoli (un po' lunghetti) la terza diventa $5x^3+17x^2+2x-24=0$ e si abbassa di grado notando che una delle soluzioni è $x=1$.

[marmi1]

Ciao,
mi pare che le soluzioni siano 4. Io le ho trovate così:

Sia $p=xyz$ e siano $a=12, b=21, c=30$
dalla prima equazione ricavo
$ x+xy = a-p$
$ z(1+x+xy) = z(1+a-p)$
$c=z(1+a-p)$
$z=c/(1+a-p)$
Similmente:
$x=a/(1+b-p)$
$y=b/(1+c-p)$
Moltiplicando le tre equazioni:
$p=(abc)/((1+a-p)(1+b-p)(1+c-p))$
Una equazione di quarto grado in $p$.
Si può risolvere tale equazione oppure notare che
$p=1$ è una soluzione; che $p=10$ è una soluzione come detto e risolvere l'equazione di secondo grado rimanente. Le due soluzioni ulteriori sono $p=28, p=27$
Da cui:
$x=4/7; 1;-12/5; -2$

Ciao,
marmi

[orsoulx]

"marmi":mi pare che le soluzioni siano 4

Tre sono quelle già trovate; hai provato a verificare quella con il prodotto uguale ad uno?
Ciao

[marmi1]

Ops.... penso le soluzioni siano 3....
Ciao,
Marmi