Relazione tra somma delle cifre e congruenze modulo p: è nota?

[mc_271]

Ciao a tutti,

sto esplorando una relazione del tipo $2S(n) = p + (n \bmod p)$, dove $S(n)$ indica la somma delle cifre di $n$.

Non mi è chiaro se si tratti di un'osservazione banale o di qualcosa di già noto. Ho raccolto alcune note e qualche esempio qui:

https://github.com/calvigionimatteo01/digit-sum-modular-notes

Mi interesserebbe capire in particolare:

- se esistono risultati noti simili;
- se una relazione del tipo $2S(n) = p + (n \bmod p)$ abbia un'interpretazione più strutturata;
- se il legame tra somma delle cifre e classi residue modulo $p$ possa essere formulato in modo più naturale.

Potrei tranquillamente star lavorando su qualcosa di già noto, quindi ogni correzione o osservazione è benvenuta.

Grazie.

[ingres]

Come scritto nelle note la prova del nove nell'aritmetica decimale è un esempio di relazione simile a quella descritta (con p=9). Si veda anche

https://it.wikipedia.org/wiki/Prova_del_nove

In generale, usando la notazione del testo, si può scrivere la relazione come

S(n) = m*9 + (n mod9)

oppure in maniera più compatta

(S(n) mod9) = (n mod9)

Al di fuori di p=9 direi che non vale a meno di cambiare aritmetica.

Ad es. nel caso di p=7 e aritmetica decimale

S(275) = 14
275 mod7 = 2

che non mi sembra che possano essere messi in relazione semplice.