Proporzioni

[axpgn]

Consideriamo i numeri $A, B, C, p, q, r$ la cui mutua dipendenza possiamo esprimere nel modo seguente:

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A:B\ =\ p,\ \ \ \ B:C\ =\ q,\ \ \ \ C:A\ =\ r$

Scrivete la proporzione $A:B:C\ =\ [?]:[?]:[?]$ in modo tale che al posto dei punti di domanda vi siano delle espressioni costruite partendo da $p, q, r$, le quali si possono ottenere l'una dall'altra a mezzo di una permutazione ciclica di $p, q$ e $r$; con ciò si vuol dire che se al posto di $p$ scriviamo $q$, al posto di $q$ scriviamo $r$ e al posto di $r$ scriviamo $p$, allora la prima espressione diventa la seconda, la seconda diventa la terza e la terza diventa la prima.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Qualche espressione si può ricavare da:
$ AA x in RR $ , $ A^3:B^3:C^3=p^(x+1)q^xr^(x-1):q^(x+1)r^xp^(x-1):r^(x+1)p^xq^(x-1) $.
Ma anche qualsiasi combinazione lineare di queste è valida. Troppa grazia!

Ciao

[axpgn]

Mai 'na volta che rispondi "dritto"

Io ne avevo trovato due (dopo una qual certa fatica ) :

- $A\ :\ B\ :\ C\ =\ root(3)(p/r)\ :\ root(3)(q/p)\ :\ root(3)(r/q)$

- $A\ :\ B\ :\ C\ =\ root(3)(p^2q)\ :\ root(3)(q^2r)\ :\ root(3)(r^2p)$

P.S.: cosa intendi di preciso con "combinazione lineare di queste"?
So cos'è una combinazione lineare ma non ho capito cosa intendi con "queste".

Thanks.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:

Con "queste" intendevo due o più espressioni, formalmente diverse, ottenute da differenti valori di $ x $. Ad esempio le due che hai trovato (corrispondenti ad $ x=1; x=0 $. Continua, se puoi, a perdonare i miei ritardi nelle risposte.
Qualsiasi loro combinazione lineare è ancora un'espressione valida, a patto che non fornisca valori nulli.

Ciao

[axpgn]

Ok, grazie

[gugo82]

Scusa Alex, ma di preciso qual è il significato di $A:B:C = a:b:c$?

[axpgn]

Di solito si intende $A:B=a:b,\ \ \ \ \ B:C=b:c,\ \ \ \ \ A:C=a:c$ cioè è una "stenografia" per quelle tre proporzioni "simultanee" (e così è inteso nel primo post)

Cordialmente, Alex

[gugo82]

Vabbè… E quindi bastano due condizioni sulle tre scritte.

[axpgn]

Sì ma scritto così $ A:B:C = a:b:c $ è più bello