Problemi ammissione Normale 2018

[Enri071]

Buonasera, apro quest argomento per chiedere qualche delucidazione sui problemi uscito oggi al test di ammissione alla Normale di Pisa. Purtroppo non riesco a ricordarli tutti, per questo ne scriverò solo uno con la speranza che altri ragazzi vedano l'argomento e ne scrivano altri.
Questo è il numero 4 (il testo non sarà uguale ma la sostanza è quella):
"Sia n$in$R ed n$>=$0. Definiamo allora {n} come la parte frazionaria di n, ovvero n=k+{n},
con 0$<=${n}$<$1 e k$in$Z.
Chiamato N un numero intero positivo, e presa una terna di numeri x, y, z tutti interi e maggiori di N, dimostrare che esiste almeno una terna che soddisfa l'equazione:
{$sqrtx$}+{$sqrty$}=1+{$sqrtz$}
Dimostrare poi che l'equazione è verificata solo quando z$>$4N

[dan952]

Sicuro?

$N=30$
$x=31.36$
$y=43.56$
$z=51.84$
La terna soddisfa l'equazione e $z <120$

[Enri071]

Stai considerando la $sqrtz$, quindi nel tuo caso
z=$(51,84)^2$ $>$120.
Il mio dubbio però è che tu lo hai dimostrato "a tentativi" e con una approssimazione alla seconda cifra decimale, il problema era che li non avevo tempo per provare tutti i numeri, penso ci sia una dimostrazione dietro.

[Enri071]

Forse ti avevo confuso non scrivendo che x,y e z sono interi, mea culpa

[dan952]

Eh sì infatti...ok ci penso

[dan952]

L'equazione $\{\sqrt{x}\}+\{\sqrt{y}\}=1+\{\sqrt{z}\}$ è conveniente riscriverla in termini della parte intera.
Sia $N$ un intero positivo e siano $p,q \in \mathbb{N}$ tali che $(N+p)(N+q)$ sia un quadrato perfetto, allora $\sqrt{N+p}+\sqrt{N+q}=\sqrt{4N+r}$ per un opportuno $r \in \mathbb{N}$, ora se $[\sqrt{N+p}]+[\sqrt{N+q}]+1=[\sqrt{4N+r}]$ allora ponendo $x=N+p$, $y=N+q$ e $z=4N+r$ abbiamo che $\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}=0=1+[\sqrt{x}]+[\sqrt{y}]-[\sqrt{z}]$, altrimenti se $[\sqrt{N+p}]+[\sqrt{N+q}]=[\sqrt{4N+r}]$...parte da rivedere...