Problema della SNS di Pisa 2014
Salve, ho avuto un piccolo problema con questo esercizio, ma alla fine penso di averlo risolto:
Determina tutte le terne di numeri interi positivi a,b,c tali che $ a^7+b^7=7^c $
L'ho risolto in questo modo: Sapendo dal piccolo teorema di Fermat che $ a^7-=a (mod7) $ e
$ b^7-=b (mod7) $ allora $ a^7+b^7-=a+b (mod7) $ a essendo $ a^7+b^7=7^c $ andando a sostituire $ 7^c-=a+b (mod 7) $ che è soddisfatto solo per a e b entrambi zero, perché qualsiasi potenza di sette divisa per 7 dà come resto 0.
Poi ho pensato anche a trattare i vari casi, come per c=7 per l'ultimo teorema di Ferat l'uguaglianza non ammette soluzioni intere, e per la congettura di Beal quando $ c>2 $ e $ MCD(a,b)=MCD(a,7)=MCD(b,7)=1 $ l'uguaglianza non ammette solouzioni, però dopo non so come trattare il caso in cui $ MCD(a,b)=MCD(a,7)=MCD(b,7)!= 1 $ .
Grazie
Determina tutte le terne di numeri interi positivi a,b,c tali che $ a^7+b^7=7^c $
L'ho risolto in questo modo: Sapendo dal piccolo teorema di Fermat che $ a^7-=a (mod7) $ e
$ b^7-=b (mod7) $ allora $ a^7+b^7-=a+b (mod7) $ a essendo $ a^7+b^7=7^c $ andando a sostituire $ 7^c-=a+b (mod 7) $ che è soddisfatto solo per a e b entrambi zero, perché qualsiasi potenza di sette divisa per 7 dà come resto 0.
Poi ho pensato anche a trattare i vari casi, come per c=7 per l'ultimo teorema di Ferat l'uguaglianza non ammette soluzioni intere, e per la congettura di Beal quando $ c>2 $ e $ MCD(a,b)=MCD(a,7)=MCD(b,7)=1 $ l'uguaglianza non ammette solouzioni, però dopo non so come trattare il caso in cui $ MCD(a,b)=MCD(a,7)=MCD(b,7)!= 1 $ .
Grazie
Risposte
Spero di non dire una cavolata, ma credo che basti il primo paragrafo per mostrare che non ci sono soluzioni per $a,b,c$ interi positivi.
Ma infatti il primo paragrafo è il ragionamento ultimo che avevo fatto, ma non sono sicuro che sia giusto.
Il secondo pezzo, mi sembra leggermente più corretto ma non so come continuare.
Il secondo pezzo, mi sembra leggermente più corretto ma non so come continuare.
Non capisco perché dici che, se $7^c \equiv a+b\ (\mod 7)\ $, allora $a=b=0$.
Per esempio $a=11$ e $b=3$ soddisfano quella relazione per ogni $c>0$.
Per esempio $a=11$ e $b=3$ soddisfano quella relazione per ogni $c>0$.
Giusto. Il fatto che se $ 7^c-=a+b (mod7) $ allora $ a=b=0 $ l'avevo inteso come $ 7^c-(a+b)=7n $ con $ 7n $ una potenza di 7. Che è sbagliato, e la congruenza cercata esiste per a=150 , b=144 e c=3. Quindi il primo paragrafo è in definitiva sbagliato.
Quindi, qualcuno potrebbe indicarmi almeno la strada che bisogna seguire per trovare le terne che soddisfano l'uguaglianza?
Quindi, qualcuno potrebbe indicarmi almeno la strada che bisogna seguire per trovare le terne che soddisfano l'uguaglianza?
Io mi ci sto scervellando da un bel pò di tempo,e dopo parecchio finalmente ho trovato cha va bene ogni soluzione del tipo $ (7^k;0;7k) $ con $ k in \mathbb[N] $.Sono inoltre giunto ad un mucchio di conclusioni accessorie:scambiando a e b si ha ancora soluzione,a b e c non sono negativi,e,ultima ma più importante,a e b non possono avere fattori comuni se non il 7,perchè,se ne avessero,potrebbero essere raccolti ma non potrebbero essere divisori di una potenza di 7,quindi basta considerare il caso in cui a e b siano coprimi,cetera sequentur,ossia basterà moltiplicare sia a che b per $ 7^m $ e aumentare c di m.Per il resto,ancora niente conclusioni definitive 
"Ghirlinghe":
quindi basta considerare il caso in cui a e b siano coprimi
utile osservazione.
Che considerazione si può fare su $a+b$?
Lo zero non è escluso in quanto la traccia chiede interi positivi? Visto che $ a^7+b^7=7^c $ è soddisfatta per a pari e b dispari o viceversa. a+b è dispari? $ a+b-=1 (mod2) $ ?
Forse ci sono altri modi, ma $a^7+b^7$ si fattorizza bene. I due fattori devono soddisfare una condizione precisa e uno dei due deve essere piccolo.
$ a+b $ deve essere potenza di 7
$ a^7+b^7=(a+b)(a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6)=7^c $
quindi da qui la condizione $ a+b=7^m $ con $ m
quindi da qui la condizione $ a+b=7^m $ con $ m
Ho il presentimento che il problema stia tutto lì,fare qualche raccoglimento adatto in modo da far venire fuori qualcosa.Ne sono possibili 2 miliardi,ma per ora quelli che ho provato non sembrano portare a qualcosa
"E-313":
$ a^7+b^7=(a+b)(a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6)=7^c $
quindi da qui la condizione $ a+b=7^m $ con $ mPerò come sfruttare il secondo fattore?
Ecco, il secondo fattore non deve soddisfare una condizione simile a quella del primo? Però........
E' immediato constatare che non ci sono soluzioni per $c=0,1$
Proviamo che non ci sono soluzioni per nessun $c$
Consideriamo prima il caso $MCD(a,b)=1$
$a+b$ è multiplo di $7$ come già è stato osservato.
Non può essere $a+b=7^{c-1}$ infatti ciò implicherebbe l'uguaglianza
$a^{7}+b^{7}=7(a+b)$
Ma considerato che $a^{7}>7a$ e $b^{7}>7b$ per $a,b>1$ la precedente
uguaglianza non ha solizioni intere
Quindi $\frac{a^{7}+b^{7}}{a+b}$ è divisibile per $7^{2}$
Abbiamo:
$a^{7}+b^{7}=(a+b)(a^{6}-a^{5}b+a^{4}b^{2}-a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}-ab^{5}+b^{6})$
che si può riscrivere come:
\(a^{7}+b^{7}=(a+b)\left[\left(a+b\right)^{6}-7\left(a+b\right)^{4}+14a^{2}b^{2}\left(a+b\right)^{2}-7a^{3}b^{3}\right]\)
Il secondo fattore è divisibile per $7^{2}$ e considerato che $7|a+b$
ne consegue che
$7|a^{3}b^{3}$ ma se $7|a$ allora poichè $7|a+b$ risulta anche
$7|b$ contro il fatto che $MCD(a,b)=1$
Quindi in questo caso non ci sono soluzioni.
Il caso $MCD(a,b)>1$ si tratta facilmente e lo lascio ad altri.
Proviamo che non ci sono soluzioni per nessun $c$
Consideriamo prima il caso $MCD(a,b)=1$
$a+b$ è multiplo di $7$ come già è stato osservato.
Non può essere $a+b=7^{c-1}$ infatti ciò implicherebbe l'uguaglianza
$a^{7}+b^{7}=7(a+b)$
Ma considerato che $a^{7}>7a$ e $b^{7}>7b$ per $a,b>1$ la precedente
uguaglianza non ha solizioni intere
Quindi $\frac{a^{7}+b^{7}}{a+b}$ è divisibile per $7^{2}$
Abbiamo:
$a^{7}+b^{7}=(a+b)(a^{6}-a^{5}b+a^{4}b^{2}-a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}-ab^{5}+b^{6})$
che si può riscrivere come:
\(a^{7}+b^{7}=(a+b)\left[\left(a+b\right)^{6}-7\left(a+b\right)^{4}+14a^{2}b^{2}\left(a+b\right)^{2}-7a^{3}b^{3}\right]\)
Il secondo fattore è divisibile per $7^{2}$ e considerato che $7|a+b$
ne consegue che
$7|a^{3}b^{3}$ ma se $7|a$ allora poichè $7|a+b$ risulta anche
$7|b$ contro il fatto che $MCD(a,b)=1$
Quindi in questo caso non ci sono soluzioni.
Il caso $MCD(a,b)>1$ si tratta facilmente e lo lascio ad altri.
Beh in realtà per $ c=0 $ ci sono le soluzioni $ (1;0;0) $ e $ (0;1;0) $ 
"Ghirlinghe":
Beh in realtà per $ c=0 $ ci sono le soluzioni $ (1;0;0) $ e $ (0;1;0) $
Hai ragione ! Credo che queste insiema a $(0,7,7)$ e $(7,0,7)$ siano le uniche soluzioni. Grazie
"totissimus":
[quote="Ghirlinghe"]Beh in realtà per $ c=0 $ ci sono le soluzioni $ (1;0;0) $ e $ (0;1;0) $
Hai ragione ! Credo che queste insiema a $(0,7,7)$ e $(7,0,7)$ siano le uniche soluzioni. Grazie[/quote]
In realtà ogni terna della forma $ (7^k;0;7k) $ è soluzione
Però,grazie all' LTE possiamo affermare che le uniche terne sono quelle di questo tipo.(N.B. d'ora in poi supporremo $ a>b $)
Infatti si ha che,per $ a $ e $ b $ non multipli di 7(che è la condizione "$ a $ e $ b $ sono coprimi",perchè se uno solo fosse divisibile per 7,allora non lo sarebbe la loro somma) $ upsilon _7(a^7+b^7)=upsilon_7(a+b)+1 $
Ma $ upsilon _7(a^7+b^7)=c $ e $ upsilon _7(a+b)=k $ dove $ k $ è l'esponente del 7 in $ (a+b) $ (che ricordo essere una potenza di 7).Si ha quindi che $ c=k+1 $,ergo $ a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6=7 $ che è più grande di $ a+b $(lo dimostro in spoiler per non appesantire) e quindi si ha un assurdo perchè $ a+b=7^k\geq 7 forallk in NN $(l'unico $ k $ che andrebbe bene è 0,ma è un caso già esaminato).
Detto questo,vai con la più banale delle dimostrazioni
Infatti si ha che,per $ a $ e $ b $ non multipli di 7(che è la condizione "$ a $ e $ b $ sono coprimi",perchè se uno solo fosse divisibile per 7,allora non lo sarebbe la loro somma) $ upsilon _7(a^7+b^7)=upsilon_7(a+b)+1 $
Ma $ upsilon _7(a^7+b^7)=c $ e $ upsilon _7(a+b)=k $ dove $ k $ è l'esponente del 7 in $ (a+b) $ (che ricordo essere una potenza di 7).Si ha quindi che $ c=k+1 $,ergo $ a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6=7 $ che è più grande di $ a+b $(lo dimostro in spoiler per non appesantire) e quindi si ha un assurdo perchè $ a+b=7^k\geq 7 forallk in NN $(l'unico $ k $ che andrebbe bene è 0,ma è un caso già esaminato).
Detto questo,vai con la più banale delle dimostrazioni
"totissimus":
[quote="Ghirlinghe"]Beh in realtà per $ c=0 $ ci sono le soluzioni $ (1;0;0) $ e $ (0;1;0) $
Hai ragione ! Credo che queste insiema a $(0,7,7)$ e $(7,0,7)$ siano le uniche soluzioni. Grazie[/quote]
Il testo parla di a,b,c interi positivi, quindi diversi da zero
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