Problema della SNS di Pisa 2014
Salve, ho avuto un piccolo problema con questo esercizio, ma alla fine penso di averlo risolto:
Determina tutte le terne di numeri interi positivi a,b,c tali che $ a^7+b^7=7^c $
L'ho risolto in questo modo: Sapendo dal piccolo teorema di Fermat che $ a^7-=a (mod7) $ e
$ b^7-=b (mod7) $ allora $ a^7+b^7-=a+b (mod7) $ a essendo $ a^7+b^7=7^c $ andando a sostituire $ 7^c-=a+b (mod 7) $ che è soddisfatto solo per a e b entrambi zero, perché qualsiasi potenza di sette divisa per 7 dà come resto 0.
Poi ho pensato anche a trattare i vari casi, come per c=7 per l'ultimo teorema di Ferat l'uguaglianza non ammette soluzioni intere, e per la congettura di Beal quando $ c>2 $ e $ MCD(a,b)=MCD(a,7)=MCD(b,7)=1 $ l'uguaglianza non ammette solouzioni, però dopo non so come trattare il caso in cui $ MCD(a,b)=MCD(a,7)=MCD(b,7)!= 1 $ .
Grazie
Determina tutte le terne di numeri interi positivi a,b,c tali che $ a^7+b^7=7^c $
L'ho risolto in questo modo: Sapendo dal piccolo teorema di Fermat che $ a^7-=a (mod7) $ e
$ b^7-=b (mod7) $ allora $ a^7+b^7-=a+b (mod7) $ a essendo $ a^7+b^7=7^c $ andando a sostituire $ 7^c-=a+b (mod 7) $ che è soddisfatto solo per a e b entrambi zero, perché qualsiasi potenza di sette divisa per 7 dà come resto 0.
Poi ho pensato anche a trattare i vari casi, come per c=7 per l'ultimo teorema di Ferat l'uguaglianza non ammette soluzioni intere, e per la congettura di Beal quando $ c>2 $ e $ MCD(a,b)=MCD(a,7)=MCD(b,7)=1 $ l'uguaglianza non ammette solouzioni, però dopo non so come trattare il caso in cui $ MCD(a,b)=MCD(a,7)=MCD(b,7)!= 1 $ .
Grazie
Risposte
Ho provato anche io a risolvere questo primo problema. Ho visto che molti di voi hanno utilizzato la matematica modulare, ma io non so nemmeno cosa sia (ora ho qualche informazione grazie a Wikipedia). Io ho utilizzato questo ragionamento:
a^7+b^7=7^c
c=log7(a^7+b^7)
c=log7{b^7[(a/b)^7+1]}
c=log7(b^7)+log7[(a/b)^7+1]
-Detto k=log7(b^7)
7^k=b^7=> b=7^n e k=7n
-Detto m=log7[(a/b)^7+1]
b è possibile riscriverlo come 7^n
m=log7[(a/7^n)^7+1]
Arrivato a questo punto mi sono accorto subito della soluzione m=0;a=0
Senza alcuna spiegazione matematica e alla luce di quello che ho letto dai commenti precedenti mi viene da pensare che (0;0) sia l'unica soluzione con numeri interi.
Sostituendo il valore a=0 e il valore k=log7(b^7)=7n all'interno della prima equazione
c=log7(b^7)+log7[(a/b)^7+1]
c=7n
Arrivo dunque alla stessa conclusione di qualcuno dei messaggi precedenti
(7^n;0;7n)
So che il punto in cui considero (0;0) l'unica soluzione possibile per i numeri interi è poco "matematico" ma ditemi comunque cosa ne pensate.
Grazie
a^7+b^7=7^c
c=log7(a^7+b^7)
c=log7{b^7[(a/b)^7+1]}
c=log7(b^7)+log7[(a/b)^7+1]
-Detto k=log7(b^7)
7^k=b^7=> b=7^n e k=7n
-Detto m=log7[(a/b)^7+1]
b è possibile riscriverlo come 7^n
m=log7[(a/7^n)^7+1]
Arrivato a questo punto mi sono accorto subito della soluzione m=0;a=0
Senza alcuna spiegazione matematica e alla luce di quello che ho letto dai commenti precedenti mi viene da pensare che (0;0) sia l'unica soluzione con numeri interi.
Sostituendo il valore a=0 e il valore k=log7(b^7)=7n all'interno della prima equazione
c=log7(b^7)+log7[(a/b)^7+1]
c=7n
Arrivo dunque alla stessa conclusione di qualcuno dei messaggi precedenti
(7^n;0;7n)
So che il punto in cui considero (0;0) l'unica soluzione possibile per i numeri interi è poco "matematico" ma ditemi comunque cosa ne pensate.
Grazie
Ho riscritto tutto con le formule per rendere il messaggio più leggibile.
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