Piramidi e sfera
Buonasera.
Mi sono imbattuto in questo problema di geometria solida tratto da giochi matematici.
“Una piramide retta ha la base che è un esagono regolare con il lato lungo 1 e l'altezza della piramide è 8. Altre due piramidi rette hanno basi che sono esagoni regolari con la lunghezza del lato 4 e l'altezza di quelle piramidi sono entrambe 7. Le tre piramidi si trovano su un piano in modo che le loro basi siano adiacenti l'una all'altra e si incontrano in un unico vertice comune. Una sfera di raggio 4 giace sopra il piano sostenuta da queste tre piramidi. La distanza del centro della sfera dal piano può essere scritta come(p√q)/r , dove p, q, e r sono numeri interi positivi relativamente primi e q non è divisibile per il quadrato di alcun numero primo. Trova p + q + r.”
Dopo aver inserito le piramidi in un piano cartesiano 3D (inserisco in allegato il disegno), ho calcolato le coordinate dei vertici delle tre piramidi.
U (3, -2√3, 7) W (-3,0,7) e E1 (3/2, √3/2, 8)
Ho pensato che la sfera stia a riposo se tocca i tre vertici.
Ho calcolato il piano passante per i tre vertici:
P (x,y,z) U (3, -2√3, 7) W (3,0,7) e E1 (3/2, √3/2, 8)
[tex]\begin{bmatrix}
3-x & 6 & \frac{3}{2} \\
-2\sqrt3-y & -2\sqrt3 & -\frac{5\sqrt3}{2} \\
7-z & 0 & -1
\end{bmatrix}[/tex]
Il determinante si annulla per:
-2√3 x-6y+12√3 z-90√3=0
Ho calcolato poi il raggio del cerchio circoscritto al triangolo formato dai vertici delle piramidi.
E1U = √22 WU = 4√3 E1W = √22
Altezza del triangolo E1UW = √10
Area (E1WU) = ( 4√3 x √10)/2 = 2√30
Raggio cerchio circoscritto = (E1U*WU*E1W )/(4*A(E1WU)) = ( 11)/10 *√10
Ho calcolato poi la retta che passa per E1 e per J, punto medio di WU. E1 (3/2, √3/2, 8), J=(0, -√3, 7):
(x-0)/(( 3)/2) = (y+√3)/(( 3)/2 √3)= (z-7)/1
Da cui x =3/2 (z-7), y = 3/2 √3 z - 23/2 √3
Punto diametralmente opposto ad E1 sul piano dei vertici:
Ho considerato un punto sulla retta che passa per E1 e per J e che dista ( 11)/5 √10 da E1.
( 11)/5 x √10 = √((( 3)/2-( 3)/2 〖(z-7))〗^2+(√3/2-3 √3/2 z+23/2 √3)^2+〖(z-8)〗^2 )
Risolvendo ho ottenuto z = ( 29)/5 , y =-14/5 √3 e x = -( 9)/5
Ho denotato con D1 questo punto.
Ho calcolato il punto medio di E1D1 che ho chiamato G1
G1 (-3/20, -(23√3)/20,69/10)
Ho poi calcolato la retta perpendicolare al piano passante per i tre vertici che passa per G1:
(x+3/20)/(-2√3) = (y+(23√3)/20)/(-6)= (z-69/10)/(12√3)
Da cui: x = √3/3 y+1 e z = -2√3 y
Ho considerato un punto su tale retta e ho fatto in modo che la distanza da uno dei vertici delle piramidi sia 4 per ottenere le coordinate del centro della sfera. Ho calcolato tale distanza da W (3,0,7).
4= √((√3/3 y+1+3 )^2+(y-0)^2+〖(-2√3 y-7)〗^2 )
Questa, risolta, ha fornito le seguenti coordinate:
y = ( 1)/20 ( 23√3-3 √3) , x = -3/20- √39/20 , z = 69/10- (3√39)/10
La distanza del centro della sfera dal piano di base mi risulta:
69/10-(3√39)/10.
Tuttavia non è riconducibile alla forma richiesta.
La sfera non si appoggia ai vertici per rimanere in quiete?
Ringrazio in anticipo chiunque voglia cimentarsi nel problema.
Mi sono imbattuto in questo problema di geometria solida tratto da giochi matematici.
“Una piramide retta ha la base che è un esagono regolare con il lato lungo 1 e l'altezza della piramide è 8. Altre due piramidi rette hanno basi che sono esagoni regolari con la lunghezza del lato 4 e l'altezza di quelle piramidi sono entrambe 7. Le tre piramidi si trovano su un piano in modo che le loro basi siano adiacenti l'una all'altra e si incontrano in un unico vertice comune. Una sfera di raggio 4 giace sopra il piano sostenuta da queste tre piramidi. La distanza del centro della sfera dal piano può essere scritta come(p√q)/r , dove p, q, e r sono numeri interi positivi relativamente primi e q non è divisibile per il quadrato di alcun numero primo. Trova p + q + r.”
Dopo aver inserito le piramidi in un piano cartesiano 3D (inserisco in allegato il disegno), ho calcolato le coordinate dei vertici delle tre piramidi.
U (3, -2√3, 7) W (-3,0,7) e E1 (3/2, √3/2, 8)
Ho pensato che la sfera stia a riposo se tocca i tre vertici.
Ho calcolato il piano passante per i tre vertici:
P (x,y,z) U (3, -2√3, 7) W (3,0,7) e E1 (3/2, √3/2, 8)
[tex]\begin{bmatrix}
3-x & 6 & \frac{3}{2} \\
-2\sqrt3-y & -2\sqrt3 & -\frac{5\sqrt3}{2} \\
7-z & 0 & -1
\end{bmatrix}[/tex]
Il determinante si annulla per:
-2√3 x-6y+12√3 z-90√3=0
Ho calcolato poi il raggio del cerchio circoscritto al triangolo formato dai vertici delle piramidi.
E1U = √22 WU = 4√3 E1W = √22
Altezza del triangolo E1UW = √10
Area (E1WU) = ( 4√3 x √10)/2 = 2√30
Raggio cerchio circoscritto = (E1U*WU*E1W )/(4*A(E1WU)) = ( 11)/10 *√10
Ho calcolato poi la retta che passa per E1 e per J, punto medio di WU. E1 (3/2, √3/2, 8), J=(0, -√3, 7):
(x-0)/(( 3)/2) = (y+√3)/(( 3)/2 √3)= (z-7)/1
Da cui x =3/2 (z-7), y = 3/2 √3 z - 23/2 √3
Punto diametralmente opposto ad E1 sul piano dei vertici:
Ho considerato un punto sulla retta che passa per E1 e per J e che dista ( 11)/5 √10 da E1.
( 11)/5 x √10 = √((( 3)/2-( 3)/2 〖(z-7))〗^2+(√3/2-3 √3/2 z+23/2 √3)^2+〖(z-8)〗^2 )
Risolvendo ho ottenuto z = ( 29)/5 , y =-14/5 √3 e x = -( 9)/5
Ho denotato con D1 questo punto.
Ho calcolato il punto medio di E1D1 che ho chiamato G1
G1 (-3/20, -(23√3)/20,69/10)
Ho poi calcolato la retta perpendicolare al piano passante per i tre vertici che passa per G1:
(x+3/20)/(-2√3) = (y+(23√3)/20)/(-6)= (z-69/10)/(12√3)
Da cui: x = √3/3 y+1 e z = -2√3 y
Ho considerato un punto su tale retta e ho fatto in modo che la distanza da uno dei vertici delle piramidi sia 4 per ottenere le coordinate del centro della sfera. Ho calcolato tale distanza da W (3,0,7).
4= √((√3/3 y+1+3 )^2+(y-0)^2+〖(-2√3 y-7)〗^2 )
Questa, risolta, ha fornito le seguenti coordinate:
y = ( 1)/20 ( 23√3-3 √3) , x = -3/20- √39/20 , z = 69/10- (3√39)/10
La distanza del centro della sfera dal piano di base mi risulta:
69/10-(3√39)/10.
Tuttavia non è riconducibile alla forma richiesta.
La sfera non si appoggia ai vertici per rimanere in quiete?
Ringrazio in anticipo chiunque voglia cimentarsi nel problema.
Risposte
Dal punto comune alle tre piramidi partono tre tangenti alla sfera (i tre spigoli), io seguirei questa strada ...
Anche a me viene un risultato "simile", mi viene $(69 + 3 \sqrt 39)/10$.
Controlla se hai messo la sfera dalla parte "giusta" del piano dei vertici (sopra e non sotto).
Puo' darsi che mi sbagli io...
In ogni caso non si riesce a ricondurre il risultato come $(p \sqrt q)/r$, che io sappia.
Controlla se hai messo la sfera dalla parte "giusta" del piano dei vertici (sopra e non sotto).
Puo' darsi che mi sbagli io...
In ogni caso non si riesce a ricondurre il risultato come $(p \sqrt q)/r$, che io sappia.
Non vedo perché la sfera debba necessariamente appoggiare sui tre vertici, dipende dalle dimensioni, se è "piccola" cade "dentro" lo spazio tra le tre piramidi ... IMHO
"axpgn":
Non vedo perché la sfera debba necessariamente appoggiare sui tre vertici, dipende dalle dimensioni, se è "piccola" cade "dentro" lo spazio tra le tre piramidi ... IMHO
Non cade dentro.
Il raggio del circo-centro del triangolo dei 3 vertici e' minore del raggio della sfera.
$11/\sqrt 10 < 4$
I fianchi delle piramidi a occhio mi sembrano abbastanza ripidi perche' la sfera non li tocchi, pero' hai ragione bisognerebbe controllare. Ci fidiamo del testo del problema (e del disegno).
Si riescono a fare dei calcoli abbastanza semplici, non c'e' bisogno di quei calcoli vettoriali. Con un po' di tempo li metto.
Pero' sempre a occhio direi che il baricentro della sfera cade fuori della proiezione del triangolo, per cui la sfera non sta in equilibrio ma cade giu'.
Vedi che cade?
Metto qui un modo semplificato che non richiede dei calcoli vettoriali espliciti.
Non metto tutti i dettagli, con qualche schizzo e geogebra dovrebbe essere tutto comprensibile.
Mettiamo il vertice comune delle basi in $(0,0,0)$
Le punte delle piramidi quindi sono in $(-2, 2\sqrt3, 7), (-2, -2\sqrt3, 7), (1, 0, 8). $
Il triangolo costituito dalle 3 punte e' isoscele e quindi si puo' dividere in 2 tr. rettangoli con cateti $\sqrt10$ e $2\sqrt3$.
$\sqrt10 $ si trova tenendo conto che il triangolo non e' orizzontale ma uno dei vertici e' sollevato di $1$, da cui $\sqrt (3^2 + 1^2) = \sqrt 10 $.
Per trovare il diametro del circocentro, affianchiamo sul cateto $2\sqrt3$ un altro tr. rettangolo di cateti $2\sqrt3 $ e $x$.
I due tr. rettangoli affiancati "poggiano" sul diametro del circocentro.
$x + sqrt 10 $ e' il diametro del circocentro.
Con Pitagora si imposta abbastanza facilmente $(x^2 + (2\sqrt 3)^2) + ((2\sqrt3)^2 + (sqrt 10 )^2) = (x+\sqrt 10 )^2$.
Viene $x = 12/sqrt 10 $, da cui il raggio del circocentro $11/sqrt 10 $.
Sempre con Pitagora la distanza del centro dal piano di appoggio $\sqrt(4^2 - (11/sqrt 10 )^2) = \sqrt(39/10)$.
Ora, siccome il piano di appoggio e' inclinato, per calcolare la proiezione verticale del centro della sfera e della sua proiezione sul piano di appoggio si deve usare il tr. rett. di lati $1,3 ,sqrt 10$ e fare delle similitudini tra i vari triangoli (servirebbe disegno chiarificatore).
Per cui, dal vertice delle piramidi alto $7$, si "scende" di $1/sqrt 10 $, che per similitudine diventa $1/10$.
La distanza piano di appoggio - centro sfera, per similitudine diventa $3/10 sqrt 39$.
Distanza totale $7 - 1/10 + 3/10 \sqrt 39 = (69 + 3 sqrt 39)/10$.
Non metto tutti i dettagli, con qualche schizzo e geogebra dovrebbe essere tutto comprensibile.
Mettiamo il vertice comune delle basi in $(0,0,0)$
Le punte delle piramidi quindi sono in $(-2, 2\sqrt3, 7), (-2, -2\sqrt3, 7), (1, 0, 8). $
Il triangolo costituito dalle 3 punte e' isoscele e quindi si puo' dividere in 2 tr. rettangoli con cateti $\sqrt10$ e $2\sqrt3$.
$\sqrt10 $ si trova tenendo conto che il triangolo non e' orizzontale ma uno dei vertici e' sollevato di $1$, da cui $\sqrt (3^2 + 1^2) = \sqrt 10 $.
Per trovare il diametro del circocentro, affianchiamo sul cateto $2\sqrt3$ un altro tr. rettangolo di cateti $2\sqrt3 $ e $x$.
I due tr. rettangoli affiancati "poggiano" sul diametro del circocentro.
$x + sqrt 10 $ e' il diametro del circocentro.
Con Pitagora si imposta abbastanza facilmente $(x^2 + (2\sqrt 3)^2) + ((2\sqrt3)^2 + (sqrt 10 )^2) = (x+\sqrt 10 )^2$.
Viene $x = 12/sqrt 10 $, da cui il raggio del circocentro $11/sqrt 10 $.
Sempre con Pitagora la distanza del centro dal piano di appoggio $\sqrt(4^2 - (11/sqrt 10 )^2) = \sqrt(39/10)$.
Ora, siccome il piano di appoggio e' inclinato, per calcolare la proiezione verticale del centro della sfera e della sua proiezione sul piano di appoggio si deve usare il tr. rett. di lati $1,3 ,sqrt 10$ e fare delle similitudini tra i vari triangoli (servirebbe disegno chiarificatore).
Per cui, dal vertice delle piramidi alto $7$, si "scende" di $1/sqrt 10 $, che per similitudine diventa $1/10$.
La distanza piano di appoggio - centro sfera, per similitudine diventa $3/10 sqrt 39$.
Distanza totale $7 - 1/10 + 3/10 \sqrt 39 = (69 + 3 sqrt 39)/10$.
"axpgn":
Vedi che cade?
Ma infatti.
Pero' cade fuori, non cade dentro...
Quindi la risposta giusta e' 4. (il raggio della sfera appoggiata sul pavimento)
Infatti mi ero chiesto "Ma sto capendo male "Una sfera di raggio 4 giace sopra il piano sostenuta da queste tre piramidi."?"
Ringrazio per le risposte!
La sfera è supportata dalle piramidi e si trova sopra il piano di appoggio delle piramidi.
Ho fatto ulteriori tentativi ma non sono riuscito ad individuare il punto di equilibrio per la sfera.
La sfera è supportata dalle piramidi e si trova sopra il piano di appoggio delle piramidi.
Ho fatto ulteriori tentativi ma non sono riuscito ad individuare il punto di equilibrio per la sfera.
"RobStam":
Ho fatto ulteriori tentativi ma non sono riuscito ad individuare il punto di equilibrio per la sfera.
Che vuol dire che non sei riuscito ad individuare il punto di equilibrio ?
Che tentativi hai fatto ?
.
"sellacollesella":
Dando in pasto il testo del problema a Google ho ottenuto il ciarpame di seguito immortalato:
Si, in effetti e' abbastanza imbarazzante leggere la risposta che ha dato una delle cosiddette AI.
Onestamente non si capisce neanche perche' lascino che un servizio del genere sia fruibile pubblicamente quando da delle risposte che sono senza senso e appaiono come delle confabulazioni.
Recentemente ci hanno abituando a spiegazioni come l' "AI ha allucinato", che francamente, sono giutificazioni ancora piu' imbarazzanti delle presunte allucinazioni. Allucinazioni che in realta' sono errori.
Una persona che dia una risposta del genere sembrerebbe piu' ubriaco che altro. Una persona sobria risponderebbe semplicemente "Non ho la risposta", salvando un minimo di dignita'.
E' chiaro che l'AI capisce di cosa si sta parlando e dimostra una comprensione della domanda, ma poi le risposte sono raffazzonate su in qualche modo.
Questo modo di dare le risposte funziona quando ad esempio l'AI produce un immagine, o un testo generico, ma fantasioso, dove non esiste un rigoroso "giusto" o "sbagliato".
Nell'attesa che le varie AI smaltiscano la sbornia, e' meglio essere cauti.
"axpgn":
Non vedo perché la sfera debba necessariamente appoggiare sui tre vertici, dipende dalle dimensioni, se è "piccola" cade "dentro" lo spazio tra le tre piramidi ... IMHO
Mi sa che ti devo dare ragione.
continua....
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