Pacchi

[axpgn]

Senza tener conto del peso, un pacco può essere ammesso alla spedizione se la lunghezza maggiorata della circonferenza maggiore, misurata trasversalmente alla lunghezza, non supera i 72 pollici.
Qual è la dimensione della più piccola finestra quadrata attraverso la quale tutte le scatole rettangolari ammissibili possono passare?
(Nota: Se $a>=b>=c$ sono le dimensioni della scatola, la condizione imposta è $a+2(b+c)<=72$)

Plus: Qual è la dimensione della più piccola finestra rettangolare?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Della circonferenza maggiore ?

[axpgn]

Massima, il correttore ogni tanto colpisce.
Comunque, guarda la nota.

[Quinzio]

Si, ma la circonferenza di cosa ? Che forma hanno questi pacchi ?

[axpgn]

Ho tradotto "spartanamente" un quesito vecchio più di un secolo (girth=circonferenza) e i pacchi "veri" possono essere di qualsiasi forma.
Ma, come detto nel testo, la domanda è precisa: i pacchi da considerare sono solo "scatole rettangolari" sottoposte alla condizione $a+2(b+c)<=72$ dove $a, b, c$ sono le dimensioni della scatola.

[Quinzio]

La risposta e': 24.

Per capire se un rettangolo di lati $x, y$ riesce a stare dentro un quadrato di lato $q$, dobbiamo osservare il massimo tra $x$ e $y$, ovvero $max(x, y)$.
Prendiamo la scatola di lati $a, b, c$: i tre profili rettangolari sono le 3 coppie $(a, b), (b, c), (a, c)$.
Quindi per ogni profilo i criteri di confronto con la finstra quadrata saranno $max(a, b), max(b, c), max(a, c)$.
Se da uno di questi profili la scatola riesce ad entrare, le dimensioni della finestra possono corrispondere a quel profilo.
Scegliamo quindi il piu' piccolo, ovvero $min(max(a, b), max(b, c), max(a, c))$.
Siccome ci chiediamo qual e' la finestra piu' piccola, vogliamo massimizzare questa funzione.
Sappiamo che $a \ge b \ge c$, quindi
$min(max(a, b), max(b, c), max(a, c))$
diventa
$min(a, b, a) = min(a,b)$
Siccome $a+2b+2c \le 72$ e dobbiamo massimizzare il minore tra $a$ e $b$, scegliamo $c = 0$.
$a+2b \le 72$
Quindi scegliamo $a = b$, da cui $a = 24$, che ' anche la dimensione della finestra.

[Quinzio]

Plus: Qual è la dimensione della più piccola finestra rettangolare?

Definire meglio quando una finestra rettangolare $(a, b)$ e' piu' piccola di una finestra rettangolare $(c,d)$

[axpgn]

No.

Per la finestra rettangolare la discriminante è l'area ovvero la finestra rettangolare di area minima.

[giammaria2]

A me viene una finestra rettangolare di lati 24 e 14,4.

Conviene infilare i pacchi dalla parte più piccola, cioè dalla parte di $b,c$, avendo assunto $a>=b>=c$.
Stante la condizione, questa parte è tanto più grande quanto più $a$ è piccolo, quindi i pacchi che richiedono una finestra maggiore sono quelli in cui $a$ ha il minimo valore possibile, cioè si ha $a=b$: in questo caso la condizione diventa $3b+2c<=72$.
Dalla finestra rettangolare devono poter passare tutti i pacchi, quindi i suoi lati devono essere il massimo valore possibile di $b$ ed il massimo di $c$.
Il massimo di $b$ si ha quando $c=0$ ed è $b=72/3=24$ (in teoria; in realtà anche meno, dato che non esistono pacchi di spessore nullo).
Per il massimo di $c$ notiamo che, essendo $b>=c$, si ha
$72>=3b+2c>=3c+2c=5c->c<=72/5= 14,4$

[axpgn]

No.

La cosa carina è che hai affrontato il problema più complicato dei due; l'altro è troppo facile?


Comunque, una cosa hai appurato correttamente: il lato minore della finestra rettangolare è pari a $72/5=14.4$ perché altrimenti il cubo con quel lato (che è un pacco ammissibile) non ci passerebbe.

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Per un certo numero di giorni, non ho né potrò avere carta e penna a portata di mano; mi limito ai calcoli che posso fare a mente. Numero ogni mia affermazione per permettere ad axpgn di dirmi quale è sbagliata; sulle prime ho pochi dubbi.

1) Conviene infilare i pacchi dalla parte più stretta, cioè sulla faccia $bc$
2) Si può limitare l'attenzione ai pacchi più "difficili", cioè a quelli in cui vale l'uguale del $<=$ e
3) $a$ ha il valore più piccolo possibile, cioè $a=b$
4) Ne consegue che la finestra deve poter contenere tutti i rettangoli di lati $b,c$ tali che $b>=c$ e $3b+2c=72$
5) Con le limitazioni date, la diagonale del rettangolo $bc$ è massima quando $c=0$. Ne ho trovato ben tre dimostrazioni, ma non le riporto perché nessuna è particolarmente bella; probabilmente c'è di meglio.
6) La diagonale massima vale quindi $sqrt(b^2+c^2)=b=72/3=24$
7) Perché valga la mia affermazione 4, è necessario che la diagonale della finestra sia maggiore o uguale a questo massimo; direi che la cosa è anche sufficiente, ma certo sarebbe meglio approfondire.
8) Per una finestra quadrata di lato $x$, deve quindi aversi $x sqrt 2>=24->x>=12 sqrt 2$
9) Per una finestra rettangolare, occorre qualche calcolo e ne indico solo l'impostazione: per quanto detto in precedenti post, il lato più corto deve essere almeno $72/5=14,4$; l'altro lato va calcolato imponendo che la diagonale della finestra valga almeno 24.

[axpgn]

Mi limito a rispondere al tuo punto 1 che, forse, è il punto cruciale: Nì

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Hint:

Ci sono due modi "semplici" per far passare il pacco nella finestra quadrata (assumendo di mantenere la lunghezza $a$ perpendicolare al piano a cui appartiene la finestra; sembra ovvio che "ruotare" anche la lunghezza peggiori sempre la situazione ma questo non so dimostrarlo ); uno è quello di avere i lati corti $b, c$ paralleli al lato $l$ della finestra quadrata, l'altro è quello di ruotare il pacco lungo l'asse $a$.
Nel primo caso la finestra più piccola ha il lato $l$ uguale a $b$ mentre nel secondo caso il lato $l$ è uguale a $(b+c)/sqrt(2)$.
Quindi ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

In conclusione ...

Il caso peggiore si verifica quando il pacco può passare attraverso la finestra in entrambi i modi, sia parallelo che in diagonale, per cui dobbiamo avere $l=b=(b+c)/sqrt(2)=a$ che equivale a $a+2(b+c)=(1+2sqrt(2))l=72$ da cui si ricava che il minimo lato della finestra quadrata è $l=72/(1+2sqrt(2))$ cioè circa $18.807$ pollici.

Come già determinato da giammaria il lato corto della finestra rettangolare è pari a $14.4$ pollici mentre quello lungo lo si può ricavare con un ragionamento analogo.

Cordialmente, Alex