Matrici a coefficienti interi

[spugna2]

Siano $a_1,...,a_n$ (con $n>=2$) numeri interi non tutti nulli il cui massimo comune divisore è $1$. Dimostrare che esiste una matrice $n \times n$ a coefficienti interi con determinante $1$ e con $(a_1 ... a_n)$ come prima riga.

[consec]

Direi che l'ipotesi che non tutti siano nulli non basta. Non esiste una matrice $2x2$ che risolva il quesito che ha come due valori fissati $0$ e un intero non nullo diverso da $1$. Almeno due devono essere non nulli.

Per induzione. Il caso $2x2$ equivale a chiedere se, dati due numeri $a_1$ e $a_2$, con $gcd=1$ esistono due interi $x$ e $y$ tali che $a_1*x+a_2*y=1$. Questo è sempre vero per il lemma di Bezout.
Supponiamo ora che esista sempre una matrice quadrata di ordine $n$ a determinante $1$ per ogni n-upla di interi $a_1,...,a_n$ con massimo comune divisore $1$ e si aggiunga una riga e una colonna, dove l'ultimo termine della prima riga è un intero arbitrario $a_(n+1)$ che soddisfa le ipotesi. Allora la matrice che ha tutti i termini della n+1-esima riga nulli, tranne l'ultimo, uguale a $1$, e tutti i termini ancora da fissare interi a piacere è la matrice cercata, come si vede sviluppando con Laplace sull'ultima riga.

Si faccia caso comunque come dal risultato segua che il determinante può essere qualsiasi intero multiplo del massimo comune divisore.

[orsoulx]

"consec":Direi che l'ipotesi che non tutti siano nulli non basta

L'ipotesi riguarda gli elementi della prima riga e, mi pare, sia sufficiente.
Condivido l'idea alla base della dimostrazione, ma ritengo che quest'ultima sia da completare: l'ipotesi che gli n numeri abbiano MCD=1, non comporta che ne esistano n-1 fra questi con la medesima proprietà.
Ciao

[consec]

"orsoulx":[quote="consec"]Direi che l'ipotesi che non tutti siano nulli non basta

L'ipotesi riguarda gli elementi della prima riga e, mi pare, sia sufficiente.
Condivido l'idea alla base della dimostrazione, ma ritengo che quest'ultima sia da completare: l'ipotesi che gli n numeri abbiano MCD=1, non comporta che ne esistano n-1 fra questi con la medesima proprietà.
Ciao[/quote]
Probabilmente mi sfugge qualcosa, ma non vedo come, presi $a_1=3$ e $a_2=0$, si possa costruire una matrice $2x2$ del tipo $((3,0),(m,n))$ con $m$ e $n$ interi. Il determinante sarebbe infatti $3n$ che non è mai uguale a $1$. Forse intendi dire che questa circostanza è scartata dall'ipotesi del massimo comune divisore? A quel punto dipende da cosa si intende come "divisore dello $0$".
Io avevo ragionato così. Siano $a_1=2$ e $a_2=3$. Allora esiste una matrice una matrice a coefficienti interi con $2$ e $3$ come prima riga (difatti in questo caso la matrice in questione è $((2,3),(-3,-4))$. Ma allora, scelto un $a_3$ che soddisfi le ipotesi di induzione, la matrice $((2,3,a_3),(-3,-4,k),(0,0,1))$ ha determinante $1$, e $k$ è un intero qualunque. Ma allora, preso un $a_4$ coerente con le premesse, la matrice $((2,3,a_3,a_4),(-3,'4,k,j),(0,0,1,z),(0,0,0,1))$, con $k,j,z$ interi arbitrari, ha determinante $1$, e così via...
Se ho capito bene, non ti torna il fatto che abbia trattato l'ipotesi di induzione facendo conto che esistano sempre $n$ termini il cui massimo comune divisore sia $1$, effettivamente "estrapolandoli" dalla n+1-upla data. Effettivamente questo non è sempre vero (si pensi a $(a_1,a_2,a_3)=(6,10,15)$). Anche se, il lemma di Bezout si può generalizzare anche a più termini, quindi esistono sempre $x,y,z$ tali che $6x+10y+15z=1$. Posto $q=gcd(x,y)$, allora la matrice $((6,10,15),(-y/q,x/q,0),(k,j,q))$, dove $k$ e $j$ sono interi tali che $j*(-y/q)-k*(x/q)=z$ e tali coefficienti esistono sempre perché $x/q$ e $y/q$ sono coprimi, ha determinante $6x+10y+15z$ che per ipotesi è uguale a $1$, come si vede sviluppando con Laplace sulla prima riga. La dimostrazione va corretta, anche se mi sembra che stavolta si possa generalizzare senza troppi intoppi.
Però mi chiedo se l'autore del problema avesse in mente un'altra via alla soluzione o creda che lo sviluppo di Laplace si studi alle superiori...

[orsoulx]

Il massimo comun divisore fra 0 e 3 non può che esser 3. Mi pare concordiamo su tutto il resto. Quanto allo sviluppo dei determinanti a livello di secondaria: i miei allievi lo conoscevano, ma sono ormai passati tanti anni....
Ciao

[consec]

"orsoulx":Il massimo comun divisore fra 0 e 3 non può che esser 3. Mi pare concordiamo su tutto il resto. Quanto allo sviluppo dei determinanti a livello di secondaria: i miei allievi lo conoscevano, ma sono ormai passati tanti anni....
Ciao

Mi fa piacere, avrò avuto io insegnanti al ribasso, però devo dire che tra i tanti argomenti convenzionalmente da programma al massimo appena accennati alle superiori, lo sviluppo di Laplace non mi è capitato di leggerlo nemmeno sui libri. A questo punto mi viene spontaneo chiederti se i tuoi allievi conoscevano anche i gruppi di simmetrie, sempre dallo stesso autore.

[orsoulx]

No. Le simmetrie e la loro composizione venivano sviluppate solo nell'ambito delle trattazione delle isometrie nel piano. Nella stereometria erano utilizzate solo a livello intuitivo, per semplificare, a volte, problemi sui solidi.
Ciao

[spugna2]

Anch'io avevo studiato lo sviluppo di Laplace al liceo, seppure come approfondimento. In ogni caso, anche la mia soluzione procede per induzione, e la quantità di calcoli è minima.

Per quanto riguarda i gruppi di simmetrie, devo ammettere di aver usato (senza che fosse strettamente necessario) una terminologia che a uno studente delle superiori può risultare misteriosa, e me ne scuso... Ti ringrazio per la segnalazione!