\( \lfloor x^2 \rfloor + \lfloor x \rfloor^2 =2 x \lfloor x \rfloor \)

[Gi81]

Trovare tutti gli $x$ reali, maggiori o uguali di $1$ e minori o uguali di $100$, tali che \( \lfloor x^2 \rfloor + \lfloor x \rfloor^2 =2 x \lfloor x \rfloor \)

[robbstark1]

Mi pare che di soluzioni ce ne sono tantissime, e non riesco a scriverle in una forma compatta.

Pongo $x = n+h$ con $n in NN$ e $0<=h<1$. Dunque:
\( \lfloor n^2 + 2nh + h^2 \rfloor + \lfloor n + h \rfloor^2 =2 (n+h) \lfloor n + h \rfloor \)
\( n^2 + \lfloor 2nh + h^2 \rfloor + n^2 =2 (n+h) n \)
\( \lfloor 2nh + h^2 \rfloor =2nh \)
Pertanto $2nh$ deve essere intero per cui $h$ potrebbe essere una qualsiasi frazione che al denominatore abbia divisori di $2n$. (Essendo $2nh$ intero, $h^2 < 1$ non crea problemi)

[axpgn]

Dalla risposta di robbstark mi pare di aver capito che le soluzioni dovrebbero queste $x=n+m/n$ dove $n,m in NN$ con $1<=n<=100$ e $0<=m
Corretto?

Cordialmente, Alex

[robbstark1]

@Alex

Non necessariamente, ma è sufficiente che il numeratore della frazione sia un divisore di $2n$, per esempio:
$30+7/10 = 30,7$
Sostituendo nell'equazione mi risulta:
$942 + 900 = 2*30.7*30$
$1842 = 1842$

[axpgn]

@robbstark

Sì, ma $7/10=21/30$ che è tra le soluzioni --- ... è un po' difficile citare tutte le frazioni equivalenti ...

Cordialmente, Alex

[robbstark1]

@Alex

Ok!, ma allora è $n + m/(2n)$

[axpgn]

@robbstark

Sì, ma va fatta una piccola modifica però e cioè "... con $0<=m<2n$ ..."

[Gi81]

Direi che tutte le vostre considerazioni sono corrette.
Rimane solo la conclusione: quali sono le soluzioni?

Altra domanda: quante sono?

[dan952]

Ci provo...

le soluzioni sono del tipo $n+m/(2n)$ con $0 \leq m <2n$ dunque sono $1+\sum_{n=1}^{99}2n=2(99 \cdot 100)/2=9901$, prima avevo scritto un'eresia

[axpgn]

Ricapitolo ...

1) $x=n+h$ con $n in NN ^^ 1<=n<=100 ^^ 0<=h<1$

dalla conclusione di robbstark abbiamo che ...

2) $2nh$ deve essere intero

per cui dobbiamo porre ...

3) $h=m/(2n)$ con $m in NN ^^ 0<=m<2n$

e quindi ...

4) $x=n+h=n+m/(2n)$

Per quanto riguarda la quantità ...

Per ogni $n$ abbiamo che gli $h$ sono $2n$ quindi dovrebbe essere $sum_(i=1)^n 2i$

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

La sintesi finale di axpgn mi pare del tutto condivisibile, ad eccezione dell'ultima riga che dovrebbe essere:

\( soltot=1+\sum_{n=1}^{99}{2n}=9901 \) dove 1 è l'unica soluzione accettabile con n=100.

Ciao