La più grande costante (SNS 2002)

[consec]

Determinare la più grande costante $M$ tale che

$(a+b+c+d)^2>=M(ab+bc+cd)$

qualunque siano i numeri reali maggiori o uguali a zero $a, b, c, d$. Per tale valore di $M$, determinare i numeri $a, b, c, d$ per i quali si ottiene un'uguaglianza.
Determinare se e come cambia la risposta al punto precedente se $a, b, c, d$ sono numeri reali qualunque.

[dan952]

$M=16/3$ confermi?

[consec]

"dan95":

$M=16/3$ confermi?

Purtroppo no, ti scrivo la risposta (per il primo punto) in spoiler

$M=4$

[dan952]

Mostriamo che per $M \leq 4$ è verificata. Chiaramente se è verificata per $M=4$ lo sarà anche per ogni $M<4$. Sostituendo dunque M=4 otteniamo
$$(a+d-b-c)^2+4ad \geq 0$$
Che vale certamente per ogni $a,b,c,d \geq 0$. Se $M>4$ sostituiamo $a=b=1$ e $c=d=0$, otteniamo $4 \geq M$, assurdo.
Per il caso generale ci devo pensare...

[consec]

"dan95":

Mostriamo che per $M \leq 4$ è verificata. Chiaramente se è verificata per $M=4$ lo sarà anche per ogni $M<4$. Sostituendo dunque M=4 otteniamo
$$(a+d-b-c)^2+4ad \geq 0$$
Che vale certamente per ogni $a,b,c,d \geq 0$. Se $M>4$ sostituiamo $a=b=1$ e $c=d=0$, otteniamo $4 \geq M$, assurdo.
Per il caso generale ci devo pensare...

È corretto. Chiaramente avere la soluzione aiuta, altrimenti si deve per forza di cose provare qualche caso a mano. Mi chiedevo se ci fosse un metodo per risolvere il problema che non sia "a posteriori" (sia con la soluzione fornita dalla traccia, sia con la soluzione congetturata dopo aver studiato qualcuna delle quaterne $a, b, c, d$ più semplici).
Se qualcuno vuole cimentarsi a risolvere il problema senza leggere la soluzione è il benvenuto!

[Vincent46]

Sbaglio o, nel caso in cui i parametri varino in $\mathbb{R}$, il valore richiesto è semplicemente $M=0$? Infatti, scegliendo $(a,b,c,d)=(3, 3, 1, -7)$, si ottiene

\[ 0 \geq 5M \, ,\]
per cui $M \leq 0$. D'altronde, è ovvio che $M=0$ funzioni per ogni quaterna di parametri.

[dan952]

@consec
Anche io sto cercando di risolverlo in modo meno "naturale"...

[consec]

"Vincent46":

Sbaglio o, nel caso in cui i parametri varino in $\mathbb{R}$, il valore richiesto è semplicemente $M=0$? Infatti, scegliendo $(a,b,c,d)=(3, 3, 1, -7)$, si ottiene

\[ 0 \geq 5M \, ,\]
per cui $M \leq 0$. D'altronde, è ovvio che $M=0$ funzioni per ogni quaterna di parametri.

Non conosco la soluzione ufficiale di questo punto ma credo di sì. D'altronde scegliendo $a=b$, $c=0$ e $d=-(a+b)$ otteniamo $(a^2)M<=0$ che implica $M<=0$ per qualsiasi valore di $a$