Ineguaglianza cruciale pr.120
120. Proposed by John A. Tierney, United States Naval Academy.
Given a point P inside an arbitrary angle, give a Euclidean construction of the line through P
that determines with the sides of the angle a triangle
(a) of minimum area;
(b) of minimum perimeter.
Tratto da
Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum” pr.120
PS
sono due problemi in uno: direi discretamente impegnativo il primo[parte (a)]; molto impegnativo il secondo (anche se lo ho risolto (per primo
e)in meno tempo rispetto al primo)
Given a point P inside an arbitrary angle, give a Euclidean construction of the line through P
that determines with the sides of the angle a triangle
(a) of minimum area;
(b) of minimum perimeter.
Tratto da
Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum” pr.120
PS
sono due problemi in uno: direi discretamente impegnativo il primo[parte (a)]; molto impegnativo il secondo (anche se lo ho risolto (per primo
e)in meno tempo rispetto al primo)
Risposte
"orsoulx":(mi rivolgevo ad Erasmus_First)
La costruzione per il caso (a) che hai risolto è, delle due, la più semplice: l'intersezione fra un lato dell'angolo e la parallela all'altro condotta per P è il punto medio fra il vertice dell'angolo e un punto appartenente alla retta cercata.
"sprmnt21":
PS
Per il caso (a) non c'e' alcuna necessità di alcuna conica ausiliare: si risolve con poche linee rette.
Anh'io mi rivolgevo a lui. L'intenzione era di semplificargli la vita (per una forma di riconoscena per aver trovato degno di interesse un problema che avevo proposto) indicandogli una via alternativa più semplice, non contraddire la tua affermazione che ritenevo e ritengo molto interessante (adesso che ho letto anche i dettagli, ancora di più).
Allego una figura che dovrebbe essere autoesplicativa (anche alla luce della parte matematica dei messaggi precedenti
). La figura comprende sia la costruzione della retta risolvente sia la prova che questa (DE nella figura) è ottima: ogni retta diversa ha un triangolino (quello tratteggiato nella figura) in più.
(b) Fra le proprietà della circonferenza v'è la seguente
...
è la stessa soluzione a cui sono giunto io.
La costruzione della retta cercata è meno semplice di quella relativa al punto (a): il centro di $ \gamma $ è una delle intersezioni (quella più lontana dal vertice dell'angolo) della bisettrice dell'angolo con le parabole (ne basta una) di vertice P e direttrice uno dei lati dell'angolo.
La costruzione euclidea, se non ho capito male lo schema che proponi, non chiude il cerchio. O meglio, volendo proseguire su questa strada, resta da spiegare come si fa con riga e compasso a determinare l'intersezione risolvente.
"sprmnt21":
Anh'io mi rivolgevo a lui. L'intenzione era di semplificargli la vita (per una forma di riconoscena per aver trovato degno di interesse un problema che avevo proposto) indicandogli una via alternativa più semplice, non contraddire la tua affermazione
Ma quando fai queste affermazioni, cosa provi?
"sprmnt21":
O meglio, volendo proseguire su questa strada, resta da spiegare come si fa con riga e compasso a determinare l'intersezione risolvente.
Una costruzione (non credo la più semplice) per determinare le due circonferenze passanti per P e tangenti ai lati dell'angolo di vertice V:
condotta per P la perpendicolare alla bisettrice dell'angolo, sia Q la sua intersezione con uno dei lati di questo;
la circonferenza di centro V passante per P interseca quella di diametro VQ in due punti; la circonferenza passante per questi ed avente centro in [strike]A[/strike]Q, interseca il lato [strike]VA[/strike]VQ nei punti di tangenza delle circonferenze cercate.
"orsoulx":
Ma quando fai queste affermazioni, cosa provi?
nessun dolore e nessun piacere, era solo per precisare.
Una costruzione (non credo la più semplice) per determinare le due circonferenze passanti per P e tangenti ai lati dell'angolo di vertice V:
condotta per P la perpendicolare alla bisettrice dell'angolo, sia Q la sua intersezione con uno dei lati di questo;
la circonferenza di centro V passante per P interseca quella di diametro VQ in due punti; la circonferenza passante per questi ed avente centro in A, interseca il lato VA nei punti di tangenza delle circonferenze cercate.
non riesco a seguire la costruzione.Quale punto è A?
Hai ragione nel copiare dal foglio ho deciso di rinominare il punto ma poi me ne sono dimenticato: A è Q. Vado a correggere.
Puoi spiegare la ratio della costruzione? Non chiedo tutti i dettagli minimi, solo capire su quali proprietà delle figure si basa.
Anche se son convinto che tu possa ricostruire agevolmente il percorso che mi ha portato alla costruzione (ti sarai sicuramente accorto che per arrivare alla retta soluzione non è necessario usare la circonferenza $ \gamma $, in quanto l'intersezione di tale retta con VQ appartiene sicuramente all'asse del segmento QX dove X è il punto di tangenza trovato più distante da V) ti posso fornire tutte le spiegazioni che desideri.
Te le fornirò comunque, però mi farebbe piacere se tu, per una volta, mi spiegassi in maniera credibile, come puoi sostenere che nel post riportato interamente sotto, tu ti rivolgessi ad Erasmus_First.
Perché non ti limiti a parlare di matematica, che ti viene meglio. Io non so se tu sia un signore, una signora, una signorina o forse un ragazzino, ma non mi sembra rilevante per il contesto del forum: è un forum sulla matematica vero?
PS
Per il caso (a) non c'e' alcuna necessità di alcuna conica ausiliare: si risolve con poche linee rette.[/quote]
Te le fornirò comunque, però mi farebbe piacere se tu, per una volta, mi spiegassi in maniera credibile, come puoi sostenere che nel post riportato interamente sotto, tu ti rivolgessi ad Erasmus_First.
"sprmnt21":
[quote="orsoulx"]
pensando ai due problemi [carini, anche se postati da un 'Signore' che continua a confermare la sua signorilità] in parallelo, puoi accorgerti che anche le soluzioni sono abbinate: in entrambe si tratta di individuare la tangente in P ad una conica per P 'tangente' alle due semirette...
La costruzione per il caso (a) che hai risolto è, delle due, la più semplice: l'intersezione fra un lato dell'angolo e la parallela all'altro condotta per P è il punto medio fra il vertice dell'angolo e un punto appartenente alla retta cercata.
Ciao
B.
Perché non ti limiti a parlare di matematica, che ti viene meglio. Io non so se tu sia un signore, una signora, una signorina o forse un ragazzino, ma non mi sembra rilevante per il contesto del forum: è un forum sulla matematica vero?
PS
Per il caso (a) non c'e' alcuna necessità di alcuna conica ausiliare: si risolve con poche linee rette.[/quote]
"orsoulx":
...(ti sarai sicuramente accorto che per arrivare alla retta soluzione non è necessario usare la circonferenza $ \gamma $, in quanto l'intersezione di tale retta con VQ appartiene sicuramente all'asse del segmento QX dove X è il punto di tangenza trovato più distante da V) ...
non me n'ero accorto prima che tu lo facessi notare. Adesso lo noto, supponendo che tu intenda "asse del segmento PX" e non "QX".
In effetti il grosso del problema è la determinazione del punto X, gli altri aspetti sono di raffinamento.
Anche se la funzione della circonferenza è fondamentale come hai ben descritto tu per provare l'ottimalità della retta AB(per P).
"sprmnt21":Eh dai ... TUTTI!
Lo spirito con cui partecipo al forum [...] è di provare a risolvere tutti i problemi proposti [...]
Non sono certo uno stakanovista come te nel proporre quiz. Ma alcuni li ho proposti anch'io, (magari non originali e tuttavia quasi sempre nati autonomamente nella mia testa). Non mi pare, però, che tu sia intervenuto spesso nelle discussioni iniziate da me.
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"Erasmus_First":Eh dai ... TUTTI!
[quote="sprmnt21"]Lo spirito con cui partecipo al forum [...] è di provare a risolvere tutti i problemi proposti [...]
Non sono certo uno stakanovista come te nel proporre quiz. Ma alcuni li ho proposti anch'io, (magari non originali e tuttavia quasi sempre nati autonomamente nella mia testa). Non mi pare, però, che tu sia intervenuto spesso nelle discussioni iniziate da me.
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[/quote]e che ci azzecca mo' questo?
@sprmnt21:
Sprmnt21
mi spiace che le differenze di carattere, di intenti e di disponibilità verso l'interlocutore (taccio sul resto) non ci consentano di mantenere una proficua collaborazione; mi piace, invece, sapere che resterai deluso dalla lettura delle mie spiegazioni.
Ho tentato di affrontare il problema attraverso la geometria euclidea sintetica e proiettiva, ma le mie conoscenze in questi settori hanno consentito di ottenere solo risultati parziali. Con la, meno elegante (forse solo meno snob), geometria analitica la soluzione si è rivelata, invece, alla portata di chiunque abbia studiato le coniche. Dunque nulla che meriti l'olimpo del tuo computer, al più, un posticino nel cestino assieme alle mie consuete osservazioni con “poco senso matematico”.
Mi perdonerai se non allego il disegno (uso le stesse notazioni precedenti e so bene che sei in grado di ricostruirlo fedelmente con GeoGebra) e non utilizzo le notazioni corrette per le lunghezze dei segmenti, tanto si capisce lo stesso.
Problema: si vogliono individuare le intersezioni di una parabola, assegnata tramite il fuoco $ P(a,b) $ e la direttrice $d: y=0 $, con la retta $ r:y=mx $ che incontra la direttrice in $ V(0,0) $.
Soluzione
L'equazione della parabola è $ y=(x-a)^2/(2b)+b/2 $. Il sistema con l'equazione della retta porta, in breve, alla risolvente $ x^2-2(a+bm)x+a^2+b^2=0 $ che fornisce $ x=a+bm +- \sqrt((a+bm)^2-(a^2+b^2)) $.
Soluzioni che si possono riportare ad una costruzione con riga e compasso in maniera talmente 'guidata' da farmi pensare che sotto vi siano proprietà che non conosco, è infatti:
indicando con $ S $ la proiezione di $ P $ su $ d $ [strike]r[/strike], $ S(a,0) \rightarrow a=VS $;
indicando con $ Q $ l'intersezione con $ d $ della perpendicolare per $ P $ ad $ r $; $ bm=SQ \rightarrow a+bm=VQ $;
e, ovviamente, $ a^2+b^2=VP^2 $.
Da cui $ x=VQ +- \sqrt(VQ^2-VP^2) $.
Per costruire il radicale basta ottenere un triangolo rettangolo di ipotenusa $ VQ $ e cateto $ VP$, manco a farlo apposta, la circonferenza di diametro $ VQ $, su cui si costruisce la corda $ VP' \equiv VP $, ci offre $ QP' $ da sostituire al radicale, e la circonferenza di centro $ Q $ e passante per $ P' $ taglierà $ d $ nei punti $ Z $ e $ X $, con $ VZ
[Per la soluzione del problema originale, l'asse del segmento $ PX $ incontra $ d $ in $ R $ e la retta $ PR $ è quella cercata]
Sprmnt21
mi spiace che le differenze di carattere, di intenti e di disponibilità verso l'interlocutore (taccio sul resto) non ci consentano di mantenere una proficua collaborazione; mi piace, invece, sapere che resterai deluso dalla lettura delle mie spiegazioni.
Ho tentato di affrontare il problema attraverso la geometria euclidea sintetica e proiettiva, ma le mie conoscenze in questi settori hanno consentito di ottenere solo risultati parziali. Con la, meno elegante (forse solo meno snob), geometria analitica la soluzione si è rivelata, invece, alla portata di chiunque abbia studiato le coniche. Dunque nulla che meriti l'olimpo del tuo computer, al più, un posticino nel cestino assieme alle mie consuete osservazioni con “poco senso matematico”.
Mi perdonerai se non allego il disegno (uso le stesse notazioni precedenti e so bene che sei in grado di ricostruirlo fedelmente con GeoGebra) e non utilizzo le notazioni corrette per le lunghezze dei segmenti, tanto si capisce lo stesso.
Problema: si vogliono individuare le intersezioni di una parabola, assegnata tramite il fuoco $ P(a,b) $ e la direttrice $d: y=0 $, con la retta $ r:y=mx $ che incontra la direttrice in $ V(0,0) $.
Soluzione
L'equazione della parabola è $ y=(x-a)^2/(2b)+b/2 $. Il sistema con l'equazione della retta porta, in breve, alla risolvente $ x^2-2(a+bm)x+a^2+b^2=0 $ che fornisce $ x=a+bm +- \sqrt((a+bm)^2-(a^2+b^2)) $.
Soluzioni che si possono riportare ad una costruzione con riga e compasso in maniera talmente 'guidata' da farmi pensare che sotto vi siano proprietà che non conosco, è infatti:
indicando con $ S $ la proiezione di $ P $ su $ d $ [strike]r[/strike], $ S(a,0) \rightarrow a=VS $;
indicando con $ Q $ l'intersezione con $ d $ della perpendicolare per $ P $ ad $ r $; $ bm=SQ \rightarrow a+bm=VQ $;
e, ovviamente, $ a^2+b^2=VP^2 $.
Da cui $ x=VQ +- \sqrt(VQ^2-VP^2) $.
Per costruire il radicale basta ottenere un triangolo rettangolo di ipotenusa $ VQ $ e cateto $ VP$, manco a farlo apposta, la circonferenza di diametro $ VQ $, su cui si costruisce la corda $ VP' \equiv VP $, ci offre $ QP' $ da sostituire al radicale, e la circonferenza di centro $ Q $ e passante per $ P' $ taglierà $ d $ nei punti $ Z $ e $ X $, con $ VZ
[Per la soluzione del problema originale, l'asse del segmento $ PX $ incontra $ d $ in $ R $ e la retta $ PR $ è quella cercata]
Mi leggero con calma la prova e se mi verranno in mente dei commenti utili da fare, li esporrò.
Ad occhio mi sembra tutt'altro che da cestinare.
PS
credo che da questo momento perteciperò meno intensivamente alle discussioni (un po' di problemi di altro tipo da seguire).
Ad occhio mi sembra tutt'altro che da cestinare.
PS
credo che da questo momento perteciperò meno intensivamente alle discussioni (un po' di problemi di altro tipo da seguire).
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