Funziona a tratti sì ed a tratti no!
Definire una funzione biettiva da \(\displaystyle\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (l'insieme dei numeri reali tranne \(\displaystyle0\)) ed \(\displaystyle\mathbb{R}\).
Indizio.
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Risposte
"Certe volte: troppa matematica fa male." Un mio docente, ma non ricordo chi!?
Vediamo se ci sono altre soluzioni, così giusto per sbizzarrire qualcun altro\n'altra.
Vediamo se ci sono altre soluzioni, così giusto per sbizzarrire qualcun altro\n'altra.
Forse sbaglio, ma non andrebbe bene anche $ f(x)=1/x $, dove $ x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ?
Eh no!, non esiste un numero reale \(\displaystyle x\) tale che \(\displaystyle\frac{1}{x}=0\)!
Giustissimo...
Infatti, appena me ne sono accorto, sono venuto per cancellare il messaggio...ma hai fatto prima te.
Infatti, appena me ne sono accorto, sono venuto per cancellare il messaggio...ma hai fatto prima te.
E $log|x|$?
"kobeilprofeta":
E $log|x|$?
Non è una funzione iniettiva.
Di fatto, a meno di "isomorfismi", direi che la soluzione di Gi8 è essenzialmente l'unica possibile.
@kobeilprofeta Quella è una funzione suriettiva ma non iniettiva, però io ho iniziato a ragionare da quella per arrivare alla mia soluzione!
@Rigel La mia soluzione non ha "punti isolati", quindi i tuoi "isomorfismi" sono un pò troppo stretti di manica.[ot]Non mi piace parlare di bi-\epi-\iso-\mono-\o- morfismi in questa stanza...[/ot]
@Rigel La mia soluzione non ha "punti isolati", quindi i tuoi "isomorfismi" sono un pò troppo stretti di manica.[ot]Non mi piace parlare di bi-\epi-\iso-\mono-\o- morfismi in questa stanza...[/ot]
"j18eos":Interessante, sono proprio curioso
La mia soluzione non ha "punti isolati"
Nel frattempo propongo un rilancio:
trovare, se esiste, una funzione biiettiva da $RR setminus ZZ$ in $RR$
"j18eos":
@Rigel La mia soluzione non ha "punti isolati", quindi i tuoi "isomorfismi" sono un pò troppo stretti di manica.
La parola "isomorfismi" non era ovviamente intesa in senso matematico stretto; intendevo dire che le possibili soluzioni sono variazioni sul tema proposto da Gi8.
Non ho capito cosa intendi dicendo che la tua soluzione non ha "punti isolati"; se la posti la vediamo
@Gi8 Certo che esiste, per dirla a la Caccioppoli:"basta ridursi al caso precedente!" [size=75]Non indico il link... per chi ha memoria.[/size]
@Rigel Io aspetto kobeilprofeta; se no, pubblico la mia soluzione sabato 29/XI/2014! Se poi mi devo ridurre al greco classico; per funzioni isomorfe intendi funzioni con la stessa forma del grafico (in qualche senso intuitivo): il grafico della funzione soluzione a cui pensato è composta da soli tratti e non da tratti e punti come quella di Gi8...
@Rigel Io aspetto kobeilprofeta; se no, pubblico la mia soluzione sabato 29/XI/2014! Se poi mi devo ridurre al greco classico; per funzioni isomorfe intendi funzioni con la stessa forma del grafico (in qualche senso intuitivo): il grafico della funzione soluzione a cui pensato è composta da soli tratti e non da tratti e punti come quella di Gi8...
Grazie, ci penso, ma non credo che arriveró ad un soluzione...
"j18eos":
@Rigel Io aspetto kobeilprofeta; se no, pubblico la mia soluzione sabato 29/XI/2014!
Ti rimangono meno di tre ore
Riprendendo dalla funzione suriettiva \(\displaystyle f(x)=\log|x|\) si nota che:
\[
f_0:x\in]0,1]\to\log x\in]-\infty,0]
\]
è biettiva; definendo:
\[
f_1:x\in[-1,0[\cup]0,1]\to]-\infty,\log 2]\ni\begin{cases}
f_0(x)\iff x\in]0,1]\\
\log(-x+1)\iff x\in[-1,0[
\end{cases}
\]
si ottiene un'altra funzione biettiva.
Procedendo così, si ottiene che la funzione a cui ho pensato è la seguente:
\[
f:x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\ni\begin{cases}
\log(x+n)\iff x\in]n,n+1]\\
\log(-x+n+1)\iff x\in[-(n+1),-n[\\
n\in\mathbb{N}_0
\end{cases}.
\]
Purtroppo non saprei fare il disegnino, da cui ha preso spunto l'idea; chiunque fosse interessato all'idea, mi domandi pure.
Resta da risolvere il rilancio di Gi8: costruire un'applicazione biettiva da \(\displaystyle\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\) ed \(\displaystyle\mathbb{R}\)!
\[
f_0:x\in]0,1]\to\log x\in]-\infty,0]
\]
è biettiva; definendo:
\[
f_1:x\in[-1,0[\cup]0,1]\to]-\infty,\log 2]\ni\begin{cases}
f_0(x)\iff x\in]0,1]\\
\log(-x+1)\iff x\in[-1,0[
\end{cases}
\]
si ottiene un'altra funzione biettiva.
Procedendo così, si ottiene che la funzione a cui ho pensato è la seguente:
\[
f:x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\ni\begin{cases}
\log(x+n)\iff x\in]n,n+1]\\
\log(-x+n+1)\iff x\in[-(n+1),-n[\\
n\in\mathbb{N}_0
\end{cases}.
\]
Purtroppo non saprei fare il disegnino, da cui ha preso spunto l'idea; chiunque fosse interessato all'idea, mi domandi pure.
Resta da risolvere il rilancio di Gi8: costruire un'applicazione biettiva da \(\displaystyle\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\) ed \(\displaystyle\mathbb{R}\)!
Eccolo il disegno ...
Bella! Sembra un albero ...
Cordialmente, Alex
Bella! Sembra un albero ...
Cordialmente, Alex
Quindi a questo punto era meno artificiosa la prima proposta direi 
"j18eos":
"Certe volte: troppa matematica fa male." Un mio docente, ma non ricordo chi!?...
Carina, ma non ci sarei mai arrivato...
"j18eos":
"Certe volte: troppa matematica fa male." Un mio docente, ma non ricordo chi!?...
Ma non ho capito il senso
Io questa citazione la userei più per il secondo esempio che per il primo.
Certo che mi riferivo alla mia soluzione...
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