Funziona a tratti sì ed a tratti no!

[j18eos]

Definire una funzione biettiva da \(\displaystyle\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (l'insieme dei numeri reali tranne \(\displaystyle0\)) ed \(\displaystyle\mathbb{R}\).

Indizio.

La funzione logaritmo è biettiva da \(\displaystyle\mathbb{R}^{+}\setminus\{0\}\) (l'insieme dei numeri reali positivi non nulli) ad \(\displaystyle\mathbb{R}\)!

[xXStephXx]

Non ricordo bene Ma forse erano dimostrazioni del tipo: "Weierstrass è intuitivo", "quello dei valori intermedi è ovvio visto che devi passare da un estremo all'altro senza staccare la matita dal foglio"

[j18eos]

Però Weierstrass non è intuitivo.

[xXStephXx]

Si faceva solo il caso con funzioni continue da un intervallo di $R$ a $R$ e si dava una dimostrazione Però non ricordo se era del tutto rigorosa. Da qualche parte, in qualche modo, si assumevano fatti delicati (ma molto intuitivi) senza puntualizzarne la delicatezza xD

[j18eos]

[ot]Quello che volevo dire, è facile costruire funzioni continue su un intervallo \(\displaystyle]a,b[\) non limitate, e.g.:
\[
f(x)=\frac{1}{(x-b)(x-a)};
\]
la parte non intuitiva, è capire che le funzioni continue su un intervallo \(\displaystyle[a,b]\) sono limitate.[/ot]