Funziona a tratti sì ed a tratti no!

[j18eos]

Definire una funzione biettiva da \(\displaystyle\mathbb{R}\setminus\{0\}\) (l'insieme dei numeri reali tranne \(\displaystyle0\)) ed \(\displaystyle\mathbb{R}\).

Indizio.

La funzione logaritmo è biettiva da \(\displaystyle\mathbb{R}^{+}\setminus\{0\}\) (l'insieme dei numeri reali positivi non nulli) ad \(\displaystyle\mathbb{R}\)!

[Gi81]

"j18eos":\[f:x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\ni\begin{cases}
\log(x+n)\iff x\in]n,n+1]\\
\log(-x+n+1)\iff x\in[-(n+1),-n[\\
n\in\mathbb{N}_0
\end{cases}.
\]

Bellina 'sta funzione. Io non riuscivo ad arrivarci perchè quando hai parlato di una funzione senza punti isolati pensavo, sbagliando, che la funzione fosse continua su $RR setminus {0}$.

"j18eos":Resta da risolvere il rilancio di Gi8: costruire un'applicazione biettiva da \( \displaystyle\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \) ed \( \displaystyle\mathbb{R} \)!

Un hint: per risolvere il quesito di Armando (trovare una funzione biiettiva da $RR setminus {0}$ a $RR$) mi sono servito del Paradosso del Grand Hotel di Hilbert
Anche per risolvere il mio problema bisogna sfruttarlo.

[j18eos]

"Gi8":...per risolvere il quesito di Armando...mi sono servito del Paradosso del Grand Hotel di Hilbert...

Detto anche paradosso dell'Hotel Infinito; c'ho visto qualcosa di familiare in quella tua soluzione.

[j18eos]

Io aspetto una risposta a questo rilancio:

"Gi8":...trovare, se esiste, una funzione biettiva da $RR setminus ZZ$ in $RR$.

La risposta è che esiste!

[xXStephXx]

"j18eos":Io aspetto una risposta a questo rilancio:[quote="Gi8"]...trovare, se esiste, una funzione biettiva da $RR setminus ZZ$ in $RR$.

La risposta è che esiste! [/quote]

Sull'esistenza penso non ci siano dubbi

[j18eos]

A me sembrava che Gi8 ne avesse almeno uno, può essere che mi sia sbagliato.

[Gi81]

"j18eos":A me sembrava che Gi8 ne avesse almeno uno,...

Uno di cosa?

[j18eos]

Un dubbio in merito all'esistenza di tali funzioni biettive; se non l'hai capito: l'ho scritto così, giusto per scherzare.

Mica ti ho offeso?

Al di là dello scherzo: sono sicuro che tu abbia una soluzione più semplice della mia!

[Gi81]

No, non mi sono offeso. Semplicemente non avevo capito
A scanso di equivoci: esistono funzioni biiettive da $RR \\ ZZ$ in $RR$.
Ce n'è una anche relativamente facile da trovare (e quando ho proposto il problema, sapevo già tutto ciò)

[xXStephXx]

Intendevo che esiste sicuramente per una questione di cardinalità, non perchè fosse scontato trovarla

[Gi81]

Quando qualcuno risponderà alla richiesta, ho un altro rilancio (pronto da fine novembre)

[xXStephXx]

Una funzione biettiva da $\mathbb{R}- mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$?

[Rigel1]

Sia \(E\subset\mathbf{R}\) un insieme numerabile (nel caso della richiesta è \(\mathbf{Z}\)).Vogliamo costruire una funzione biiettiva \(f\colon\mathbf{R}\to \mathbf{R}\setminus E\).
Intanto prepariamoci lo spazio nell'albergo (di Hilbert). Consideriamo un altro sottoinsieme \(F\subset\mathbf{R}\) numerabile, disgiunto da \(E\). Per comodità, enumeriamo gli elementi di \(E\cup F\) con \(\{x_1, x_2, \ldots\}\) in modo tale che a \(E\) corrispondano gli elementi di indice dispari e a \(F\) quelli di indice pari.
Definiamo \(f\) su \(E\cup F\) ponendo \(f(x_i) = x_{2i}\) per ogni \(i\in\mathbf{N}^+\); per il resto \(f\) è l'identità, cioè \(f(x) = x\) per ogni \(x\in \mathbf{R}\setminus (E\cup F)\).

[j18eos]

Si vede che io al Grand Hotel Infinito di Hilbert non ci voglia alloggiare...

Rilancio: dimostrare che non esiste una funzione biettiva e continua da \(\displaystyle\mathbb{R}\) a \(\displaystyle\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

[Gi81]

"xXStephXx":Una funzione biettiva da $\mathbb{R}- mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$?

Esatto

@Rigel: perfetto. Ottima generalizzazione. Avevo chiesto il contrario,
cioè una biiezione da $RR \\ ZZ$ a $RR$, ma si riesce ad aggiustare facilmente.

[Pachisi]

Per la biiezione da $ RR \\ ZZ $ a $ RR $ non basta una funzione che, per $x$ irrazionale, mappa $x$ a se stesso, mentre per $x$ razionale, ma non intero, mappa $x$ all'entrata precedente nella matrice dei razionali (quella usata da Cantor per dimostrare la numerabilità di essi)?

[xXStephXx]

"j18eos":Rilancio: dimostrare che non esiste una funzione biettiva e continua da \(\displaystyle\mathbb{R}\) a \(\displaystyle\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

L'immagine di un connesso tramite una funzione continua è connessa?

scherzo ovviamente xD

[Rigel1]

"Gi8":@Rigel: perfetto. Ottima generalizzazione. Avevo chiesto il contrario,
cioè una biiezione da $RR \\ ZZ$ a $RR$, ma si riesce ad aggiustare facilmente.

Beh, stiamo parlando di biiezioni: basta prendere l'inversa.

[j18eos]

@xXStephXx Dimostralo con mezzi elementari!

[xXStephXx]

Per caso riesci a farla senza passare dal fatto che ogni sottoinsieme di $RR$ ammette l'estremo superiore? Quindi neanche usarlo in modo mascherato, tipo col teorema dei valori intermedi...

[j18eos]

"xXStephXx":Per caso riesci a farla senza passare dal fatto che ogni sottoinsieme di $RR$ ammette l'estremo superiore? Quindi neanche usarlo in modo mascherato, tipo col teorema dei valori intermedi...

In maniera elementare: no!

Domanda seria: io alle scuole (ex) superiori ho studiate queste cose, oggi si studiano ancora?