Esiste una funzione che ...

[axpgn]

Esiste una funzione definita e continua su tutto $RR$ tale che il suo grafico intersechi ogni retta non verticale in infiniti punti?

Cordialmente, Alex

[@melia]

$f(x)=\{(x sin(1/x) if x!=0),(0 if x=0):}$
può andare?

[axpgn]

No.

Per esempio, la retta $y=5-x$ incontra la tua $f(x)$ in un punto solo, approssimativamente in $x=4.01033$

Cordialmente, Alex

[otta96]

Non è una risposta ma solo un'osservazione:

Una tale funzione non può essere localmente lipschitziana in nessun punto. Comunque secondo me c'è.

[anto_zoolander]

Fondamentalmente basta considerare una funzione

$f(x)=xg(x)$ dove $xg(x)=xm$ è risolta per $x=0$ e quindi per $xne0$ basta che $g(x)=m$ infinite volte

inoltre può bastare che sia definita in $0$ e valga $0$ di fatto poi $h(x)={(f(x) if xgeq0),(0 if x<0):}$ sarebbe continua

Quindi consideriamo $f(x)=x^2sinx$ in $xgeq0$ e $y=mx$ che si intersecano in $x=0$

Per $x>0$ abbiamo che $x^2sinx=mx <=> xsinx=m$

Poiché la funzione $f_1:(0,+infty)->RR$ è continua e illimitata su un connesso allora l’immagine dovrà essere connessa e quindi tutto $RR$; esiste pertanto $x_1 in (0,+infty)$ per cui $f_1(x_1)=m$

Allo stesso modo $f_2:(x_1,+infty)->RR$ continua ad essere continua e illimitata su un connesso e l’immagine sarà ancora tutto $RR$ per cui esiste $x_2>x_1$ per cui $f(x_2)=f_2(x_2)=m$

Per induzione si dimostra che esiste una quantità infinita di $x_i$ distinti per cui vale quella uguaglianza

PS: con illimitata intendo sia superiormente che inferiormente

[axpgn]

Hola anto, cosa ci fai da queste parti?

Pensi veramente che abbia capito la tua risposta? ... comunque prima di proseguire ti chiederei una cosa ...

Hai dimostrato che vale per ogni retta $mx+q$ o solo per quelle che passano per l'origine $mx$ ?

Comunque …

La funzione $f(x)=x^2sin(x)$ è "racchiusa" tra $x^2$ e $-x^2$ che tocca nei punti $pi/2+2kpi$ e $3/2pi+2kpi$
Dato che $lim_(x->infty) (mx+q)/x^2=0$, per $x$ sufficientemente grandi avremo $|(mx+q)/x^2|<1$ ovvero $-x^2 Di conseguenza la retta $y=mx+q$ intersecherà la nostra $f(x)$ in ciascun intervallo $(pi/2+2kpi, 3/2pi+2kpi)$ per $k$ sufficientemente grandi.

Ciao, anto

[anto_zoolander]

Ero convinto che fosse per l’origine
Lo stesso identico ragionamento vale per qualsiasi retta comunque

dai che l’hai capita
Comunque la sostanza del discorso è che ogni restrizione della funzione $f:(0,+infty)$ con $f(x)=xsinx$ ad un sottoinsieme del tipo $(a,+infty)$ rimane continua e con immagine $RR$ quindi ogni restrizione passa per $m$.

La cosa della connessione può essere sostituita tranquillamente da “per il teorema dei valori intermedi”

Il giochino di prendere la restrizione in quel modo serve per essere sicuro di trovare tutte le soluzioni distinte.

Per ora per allenarmi con la topologia cerco di applicarla ovunque

[axpgn]

@anto

"anto_zoolander":… dai che l’hai capita …

Fino a qui …

"anto_zoolander":Quindi consideriamo $ f(x)=x^2sinx $ in $ xgeq0 $ e $ y=mx $ che si intersecano in $ x=0 $

Ciao e buona notte, Alex

[Reyzet]

una cosa del tipo $\f(x)=x^2 sin(x)$ può andare?

EDIT: è già stato scritto, peccato

[caulacau]

Basta prendere una spirale: \(\gamma : \mathbb R \to \mathbb R^2 : t \mapsto (t\cos t, t\sin t)\).

[axpgn]

Beh, no, una spirale no ... era sottinteso che fosse una "normale" funzione di $RR$ in $RR$

@Reyzet
Ve bene lo stesso

[otta96]

E se chiedessi se esiste una funzione $f:RR->RR$ il cui grafico interseca ogni segmento non verticale?

[anto_zoolander]

@otta

Una tale funzione dovrebbe divergere in ogni intervallo $[k,k+1]$ quindi non sarebbe continua

Consideriamo per esempio il segmento $[0,1]times{1}$

La funzione in ogni $(a,b)$ intersecherebbe il segmento in punti diversi per esempio se enumeriamo tutti i razionali di $[0,1)$ in ordine crescente ${q_i}_(i in NN)$

avremo che $f$ intersecherebbe il segmento in ogni $(q_i,q_(i+1))$
lo stesso accadrebbe in ogni $[k,k+1)$ per ogni $k$ naturale quindi avremmo solo per i segmenti del tipo $[k,k+1]times{1}$ tipo $NN^NN$ intersezioni la cui cardinalità è pari ad $RR$

il che mi pare già abbastanza strano

[caulacau]

"axpgn":Beh, no, una spirale no ... era sottinteso che fosse una "normale" funzione di $RR$ in $RR$

@Reyzet
Ve bene lo stesso

Mi definisci una funzione "normale" e una "anormale"?

[axpgn]

Forse ti è sfuggito il fatto che siamo in una sezione NON universitaria ovvero alle superiori dove le uniche funzioni che conoscono sono le "normali" funzioni reali di variabili reali.
Inoltre c'è il particolare delle "rette non verticali" perché è ovvio che una "normale" funzione incontra le rette verticali in un punto solo.
Peraltro, in questi "giochini" io vedo quasi sempre specificare eventuali particolarità che differiscono dal solito uso.
Comunque fai come vuoi, va bene tutto

Cordialmente, Alex

[j18eos]

"otta96":E se chiedessi se esiste una funzione $f:RR->RR$ il cui grafico interseca ogni segmento non verticale?

L'onda triangolare ad ampiezza crescente.

[otta96]

@j18eos Cos'è?

[j18eos]

Intendo la funzione composta da un treno di triangoli, di base \(\displaystyle1\) ed altezza \(\displaystyle k^2+1\) sull'intervallo \(\displaystyle[k,k+1]\), con \(\displaystyle k\in\mathbb{N}_{\geq0}\), ed estesa in maniera dispari per \(\displaystyle k\in\mathbb{Z}_{<0}\).

In simboli:
\[
g(x)=\begin{cases}
2(k^2+1)x-2k(k^2+1)\iff x\in\left[k,\frac{2k+1}{2}\right]\\
-2(k^2+1)x+2(k^2+1)(k+1)\iff x\in\left[\frac{2k+1}{2},k+1\right]\\
k\in\mathbb{N}_{\geq0}
\end{cases},\,f(x)=\begin{cases}
g(x)\iff x\geq0\\
-g(-x)\iff x<0
\end{cases}.
\]
Questa funzione \(\displaystyle f(x)\) interseca tutte le rette (non orizzontali) infinite volte.

[j18eos]

Costruire una funzione \(\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) non continua tale che il suo grafico intersechi infinite volte tutte le rette non orizzontali!