Equazioni di 3° grado

[matdom]

Risolvere l'equazione

[math]x^3-21x+37=0[/math]

[ingres]

Chiaramente si possono usare le formule generali di soluzione di una cubica, ma vista la particolare forma possiamo anche usare la sostituzione

[math]x = 2\sqrt{7}\cos(\theta)[/math]

essendo 7 ottenuto dal termine di primo grado cambiato di segno e diviso 3.
Così facendo l'equazione diventa:

[math]4(\cos\theta)^3 - 3\cos\theta + \frac{37}{14\sqrt{7}} = 0[/math]

Ricordando che

[math]\cos(3\theta) = 4(\cos\theta)^3 - 3\cos\theta[/math]

si ha

[math]\cos(3\theta) = -\frac{37}{14\sqrt{7}}[/math]

ovvero con k=0,1,2

[math]\theta = \frac{1}{3}\arccos\!\left(-\frac{37}{14\sqrt{7}}\right) + \frac{2 k\pi}{3}[/math]

da cui si ottengono le 3 soluzioni in x.

[matdom]

E se io ipotizzassi che:

$x_{1}=2(cos20°+2sen10°)\approx2,57397795223954$
$x_{2}=2(-sen10°+2cos40°)\approx2,71688141714205$
$x_{3}=-2(cos40°+2cos20°)\approx-5,29085936938158$

Se non vi convince, vedere di qui

https://sites.google.com/view/matdom63/tra3

[ingres]

Si tratta delle stesse soluzioni, solo scritte diversamente perchè ottenute con procedure diverse.
Infatti se si usa la formulazione con arccos si ottiene che con la stessa precisione in termini di decimali:

[math]k=0; x=x_2[/math]

[math]k=1; x=x_3[/math]

[math]k=2; x=x_1[/math]

Se l'equivalenza numerica è semplice da verificare, molto meno semplice è la verifica analitica, che lascio volentieri a chi voglia divertirsi :).

Lo stesso dicasi per le soluzioni ottenute con l'uso di soli radicali.
Ad esempio per x1 si può scrivere, senza uso di funzioni trigonometriche (almeno a livello formale):

[math]x_1 = \left(\frac{-1}{2} - \frac{\sqrt{3}\, i}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}\, i}{2} - \frac{37}{2}\right)^{\frac{1}{3}}+ \frac{7\left(\frac{\sqrt{3}\, i}{2} - \frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{\sqrt{3}\, i}{2} - \frac{37}{2}\right)^{\frac{1}{3}}}[/math]

ma in questo caso non è così facile verificare la corrispondenza neanche a livello numerico.

[matdom]

mmm... interessante.
Allora possiamo dire che:

[math]cos[\frac13arcos(\frac{-37}{14\sqrt7})]=\frac{1}{\sqrt7}(-sen10°+2cos40°)[/math]

[matdom]

Scusate sono imbranato