Diviso $11$

[axpgn]

Dimostrare che il numero [size=150]$5^(5k+1)+4^(5k+2)+3^(5k)$[/size] è sempre divisibile per $11$ per ogni $k$ naturale.

Cordialmente, Alex

[Settevoltesette]

Per induzione è facilmente risolvibile

[giammaria2]

settevoltesette, ne sei sicuro? A me non sembra. ma forse tu hai fatto un ragionamento che mi sfugge ed allora ti prego di scriverlo. La mia soluzione è completamente diversa ma per ora non la mando

[totissimus]

Settevoltesette ha ragione

$a_{k}=5^{5k+1}+4^{5k+2}+3^{5k}$

$a_{0}=22$

$a_{k+1}=5^{5}5^{5k+1}+4^{5}4^{5k+2}+3^{5}3^{5k}=5^{5}a_{k}-(5^{5}-4^{5})4^{5k+2}-(5^{5}-3^{5})3^{5k}=$

$5^{5}a_{k}-(2101)4^{5k+2}-(2882)3^{5k}$

2101 e 2882 sono divisibili per 11

La soluzione di giammaria immagino usi l'aritmetica modulare.

[Settevoltesette]

5^5, 4^5, 3^5 sono tutti e tre nella forma 11k+1 ed allora ti rifai al caso precedente

[giammaria2]

"totissimus":La soluzione di giammaria immagino usi l'aritmetica modulare.

Immagini bene; poiché però l'aritmetica modulare non è nel programma delle secondarie, l'ho scimmiottata col ragionamento che avrei fatto al liceo.

[axpgn]

@Settevoltesette

D'accordo che $5^5, 4^5, 3^5$ danno come resto $1$ ma che significa la frase "ed allora ti rifai al caso precedente" ?

[Settevoltesette]

Fissato k allora k+1 si può riscrivere come:

\(\displaystyle 5^5*5^(5k+1) + 4^5*4^(5k+2) + 3^5 *3^(5k) \)

[axpgn]

Ok, ma va dimostrato che quello è divisibile per undici …

[Settevoltesette]

Passo base k=0

[axpgn]

Intendo quell'espressione sotto spoiler nel tuo penultimo post; non è "automatico" che quella sia divisibile per undici, devi dimostrarlo (come ha fatto totissimus che l'ha riscritta in un altro modo)

[Settevoltesette]

Non capisco se sto sbagliando qualcosa o se non riesco a spiegarmi, perché mi sembra veramente una banalità la questione...

Provo a spiegarmi passo passo

\(\displaystyle 5^(5k+1) + 4^(5k+2) + 3^(5k) \)

Passo base pongo \(\displaystyle k = 0 \)

\(\displaystyle 5 + 4^2 + 1 = 22 \) ok

Suppongo vera per k dimostro la verità per k+1


\(\displaystyle 5^(5k +5 +1) + 4^(5k+5+2) + 3^(5k+5) = 5^5*5^(5k+1) +4^5*4^(5k +2) +3^5 *3^(5k) = (11h +1)*5^(5k+1) + (11g + 1)*4^(5k+2) +(11f +1)* 3^(5k)\)

Mi ritrovo con la stessa forma del caso con k (caso precedente) ma ho in più dei fattori tutti multipli di 11.

[axpgn]

Adesso sì che lo hai dimostrato

[Erasmus_First]

"axpgn":Dimostrare che il numero [size=150]$5^(5k+1)+4^(5k+2)+3^(5k)$[/size] è sempre divisibile per $11$ per ogni $k$ naturale.

Arrivo con 3 mesi abbondanti di ritardo ... ma voglio dire anch'io la mia (scegliendo volutamente di essere terra-terra, comprensibile anche a chi è rimasto al livello martematico della 1ª media) .

• [5^5] = 3125 = 11·284 + 1 ––> Il resto della divisione di $5^(5k)$ per 11 vale 1 per ogni k naturale.
Pertanto il resto della divisione di $5^(5k+1)$ per 11 è lo stesso di quello di 5 : 11, ossia vale 5 per ogni k naturale.

• [4^5] = 1024 = 11·93 + 1 ––> Il resto della divisione di $4^(5k)$ per 11 vale 1 per ogni k naturale.
Pertanto il resto della divisione di $4^(5k+2)$ per 11 è lo stesso di quello di 16 : 11, ossia vale 5 per ogni k naturale.

• [3^5] = 243 = 11·22 + 1 ––> Il resto della divisione di $3^(5k)$ per 11 vale 1 per ogni k naturale.

Pertanto il resto della divisione per 11 di $5^(5k+1) + 4^(5k+2) + 3^(54) $ 1 è lo stesso di quello di
(5 + 5 + 1) : 11,
che vale 0 (che significa che $5^(5k+1) + 4^(5k+2) + 3^(54)$ è divisibile per 11 per ogni k naturale).

––––––––

[axpgn]

Ok,