Provo a mettere giu' la sequenza di idee e ragionamenti che ho fatto, anche se e' davvero poco precisa e abbastanza fumosa.
Piu' che altro ci sono state un paio di intuizioni fortunate che si sono appunto rivelate giuste o che andavano nella direzione giusta.
La prima cosa da notare e' che con $a, b, c$ si puo' intendere lo spazio euclideo che di solito si indica con $x, y, z$. Continuerò ad usare $a, b, c$.
Quella dizione "all non negative" sta ad indicare $a>=0, b>=0, c>=0$. Non ci vedo molti misteri su questo. Siamo quindi nel primo ottante dello spazio euclideo.
Da cio' segue che $a^3+b^3+c^3 >= 0 $ e che anche $3abc >= 0$.
Scrivendo la disequazione come $a^3+b^3+c^3 - 3abc >= k(a-b)(b-c)(c-a)$ ci si puo' chiedere se $a^3+b^3+c^3 - 3abc >=0$.
La risposta e' si, anche se solo piu' tardi ho scovato il modo rigoroso per provarlo.
Il modo non rigoroso e alla buona per convincersi che e' vero, e' notare che e' sufficiente mettere a zero una delle tre variabili per renderla sicuramente vera. Sicuramente $a^3+b^3+c^3 >=0$.
Il "caso peggiore"e' quando $a=b=c$ per cui la disequazione diventa uguaglianza $a^3+b^3+c^3 - 3abc =0$.
Ora si puo' passare a vedere cosa succede dall'altro lato della disequazione $k(a-b)(b-c)(c-a)$.
Ai fini del problema, bisogna che $(a-b)(b-c)(c-a) >=0 $. Se infatti fosse negativa abbiamo che $k$ puo' essere grande a piacere e la disequazione e' sempre verificata, come anche se due delle tre variabili sono uguali. Anche in questo caso $k$ puo' essere qualunque valore, quindi e' una relazione tra le variabili che non ci interessa.
Per avere $(a-b)(b-c)(c-a) >=0 $ bisogna che tutti e 3 i fattori siano positivi, oppure 2 negativi e uno positivo.
3 fattori positivi non si possono avere, siccome cio' porterebbe al solito paradosso $a>b>c>a$ gia' visto altrove.
Quindi scegliamo dei vincoli per avere 2 fattori negativi. Ad esempio $c>b>a$.
Giunti a questo punto, e' necessario un attimo mettere a fuoco che cosa si sta cercando di ottenere. Per ogni "vettore" $a, b, c$, ci sara' un range di $k$ che soddisfa la disequazione. Ognuno di questi range avra' un massimo (un maggiorante).
Questi valori massimi danno una funzione che possiamo scrivere come $k_{max}(a,b,c)$.
Questa funzione avra' un minimo da qualche parte. E questo minimo e' quello che si sta cercando, ovvero si sta cercando il minimo del massimo di tutti i range di $k$.
Tra l'altro il valore massimo di $k$ e' quello che rende la disuguaglianza una uguaglianza.
Riprendiamo la disuguaglianza:
$a^3+b^3+c^3 - 3abc >= k(a-b)(b-c)(c-a)$
Il punto (o i punti) $a, b, c$ da cercare sono quelli che, se vogliamo:
minimizzano $a^3+b^3+c^3 - 3abc$ e nello stesso tempo
massimizzano $(a-b)(b-c)(c-a)$.
In questi punti, $k$ sara' il minore di tutti i massimi dei range.
Per massimizzare $(a-b)(b-c)(c-a)$, l'unica via da provare e' quella di massimizzare le differenze tra le variabili, variabili che hanno il vincolo $c>b>a$.
Si puo' quindi provare $b = (a+c)/2$.
A questo punto un'idea che si rivelera' fortunata, e quella di mettere $a=0$. Dovendo massimizzare le differenze, ha senso "spingere" $a$ il piu' possibile verso lo zero. In realta' avevo messo $a=0$ piu' che altro perche' in questo modo si semplificano di molto le espressioni !
Mettendo quindi $a=0$ si ha che la disequazione diventa $b^3+c^3 >= kbc(c-b)$.
E poi con $c = 2b$ si ha $9b^3 >= 2b^3k$.
Ovvero $k<= 9/2 = 4.5$. Questo risultato, che non e' quello definitivo, si avvicina molto a quello definitivo, ed inoltre mostra la via da seguire.
Per arrivare al risultato definitivo bisogna pero' cercare farsi un idea grafica della disequazione, e quindi fare un disegno con un tool grafico a computer. Quindi e' necessario notare un fatto interessante.
Nella prossima puntata....
, e' il minimo relativo della funzione $(x^3+1)/(x(x-1))$.
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