Disuguaglianza

[Pachisi]

Dimostrare che, per ogni intero positivo $n$, si ha \[ \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{8} \cdot...\cdot \frac{2^n+1}{2^n}

PS: Scusate per i titoli monotoni.

[Erasmus_First]

"Pachisi":Dimostrare che, per ogni intero positivo $n$, si ha \[ \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{8} \cdot...\cdot \frac{2^n+1}{2^n}

Siccome lo sviluppo in serie di potenze di $e^x$ è la serie monotòna crescente
$e^x = 1 + x/1+ x^2/2 + x^3/6+ ... + x^n/(n!) + ...$
allora, per ogni $x > 0$ si ha
$1 < 1 + x < e^x$.
In particolore, prendendo $x = 1/(2^k)$, per ogni $k$ intero positivo si trova:
$1 < (2^k + 1)/2^k = 1 + 1/2^k < e^(1/2^k)$
Pertanto:
$3/2·5/4·9/8· ... ·(1 + 1/2^n) < e^(1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 1/2^n) = e^(1-1/2^n) < e$.

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Spiegazione ... terra-terra!
a) Bisogna sapere che c'è una serie di potenze che tende ad $e^x$, ossia:
$e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + ... + x^k/(k!) + ...$ (1)

b) La somma
$1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...$
...è come dire:
«Parti da 0 e continua ad aggiungere la metà di quanto ti manca per arrivare a 1»
Chiaramente, ad ogni passo ti manca da 1 quanto era l'ultimo addendo:
$1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...+1/(2^n) = 1 - 1/(2^n)$ (2)
e quindi continuando indefinitamente la somma cresce ad ogni addendo (ma sempre di meno) e tende a 1.

c) Allora dalla (2) segue:
$e^(1/2) · e^(1/4) · e^(1/8)· e^(1/16) ·... ·e^(1/2^n)= e^(1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...+1/(2^n)) = e^(1-1/(2^n))$ (3)
Cioè: il prodotto continuo (3) crescere ad ogni fattore (ma sempre di meno) e tende ad $e^1 = e$.

d) Anche il prodotto continuo:
$3/2 · 5/4 · 9/8 · 17/16 · 33/32· ... · (1 + 1/2^n) · ...$ (4)
cresce ad ogni fattore; e sempre di meno perché il fattore corrente tende ad 1.

e) Dalla (1) viene che il k-esimo fattore della (4), cioè $1+1/(2^k)$, è minore del k-esimo fattore della (3) cioè:
$1+1/(2^k) < e^(1/2^k)$.

f) Ma allora, a parità di numero di fattori, il prodotto (4) è minore del prodotto (3) che non supera mai $e$.
$3/2 · 5/4 · 9/8 · 17/16 · 33/32· ... · (1 + 1/2^n) · ... < e$. (4)

g) Infatti, provando sperimentalmente, al crescere indefinitamente di n il limite del prodotto (3) viene
2,38423102903137...
mentre
e = 2,71828182845905...

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[totissimus]

Per AM-GM abbiamo:

\(\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}\frac{2^{k}+1}{2^{k}}}\leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{2^{k}+1}{2^{k}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{2^{k}}\right)=1+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k}}<1+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}=1+\frac{1}{n}\)

da cui:

\(\prod_{k=1}^{n}\frac{2^{k}+1}{2^{k}}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}

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[Pachisi]

Bravi entrambi

La mia soluzione e` molto simile a quella proposta da totissimus.