Distanza media in un quadrato
Dato un quadrato di lato $1$, qual è la distanza media fra due punti presi a caso all'interno del quadrato?
Risposte
Mi sono reso conto di aver sbagliato tutto il cambio di variabili. Infatti avrebbe avuto molto più senso scriverlo come:
\[ I = \int_0^1\int_0^1\int_{0-u}^{1-u} \int_{0-v}^{1-v} \sqrt{s^2+t^2}\,dt\,ds\,du\,dv\,. \] Portando a calcoli piuttosto complicati. D'altra parte noi vogliamo cercare di portarci all'integrale \[I = 4\int_0^1\int_0^1 (1-s)(1-t)\sqrt{s^2+t^2}\,ds\,dt\] che sappiamo fornisce il risultato corretto.
A questo scopo notiamo che \(\displaystyle s \) e \(\displaystyle t \) assumono valori tra \(\displaystyle -1 \) e \(\displaystyle 1 \) e che i limiti di \(\displaystyle u \) e \(\displaystyle v \) rispetto a \(\displaystyle s \) e \(\displaystyle t \) dipendono dal segno dei primi due. Ovvero si ha:
\[ \begin{align*} I &= \int_0^1\int_0^1\int_0^{1-t}\int_0^{1-s} \sqrt{s^2 + t^2}\,du\,dv\,ds\,dt + \int_0^1\int_{-1}^0\int_0^{1-t}\int_{\lvert s\rvert}^{1} \sqrt{s^2 + t^2}\,du\,dv\,ds\,dt +\\ &\quad+ \int_{-1}^0\int_0^1\int_{\lvert t \rvert}^{1}\int_0^{1-s} \sqrt{s^2 + t^2}\,du\,dv\,ds\,dt + \int_{-1}^0\int_{-1}^0\int_{\lvert t\rvert}^{1}\int_{\lvert t \rvert}^{1} \sqrt{s^2 + t^2}\,du\,dv\,ds\,dt \\
&= 4 \int_0^1 (1-t)\int_0^1 (1-s)\sqrt{s^2 + t^2}\,ds\,dt \end{align*} \]
dove il risultato deriva dalle parità delle funzioni involte (quando \(\displaystyle s \) e \(\displaystyle t \) sono negativi).
\[ I = \int_0^1\int_0^1\int_{0-u}^{1-u} \int_{0-v}^{1-v} \sqrt{s^2+t^2}\,dt\,ds\,du\,dv\,. \] Portando a calcoli piuttosto complicati. D'altra parte noi vogliamo cercare di portarci all'integrale \[I = 4\int_0^1\int_0^1 (1-s)(1-t)\sqrt{s^2+t^2}\,ds\,dt\] che sappiamo fornisce il risultato corretto.
A questo scopo notiamo che \(\displaystyle s \) e \(\displaystyle t \) assumono valori tra \(\displaystyle -1 \) e \(\displaystyle 1 \) e che i limiti di \(\displaystyle u \) e \(\displaystyle v \) rispetto a \(\displaystyle s \) e \(\displaystyle t \) dipendono dal segno dei primi due. Ovvero si ha:
\[ \begin{align*} I &= \int_0^1\int_0^1\int_0^{1-t}\int_0^{1-s} \sqrt{s^2 + t^2}\,du\,dv\,ds\,dt + \int_0^1\int_{-1}^0\int_0^{1-t}\int_{\lvert s\rvert}^{1} \sqrt{s^2 + t^2}\,du\,dv\,ds\,dt +\\ &\quad+ \int_{-1}^0\int_0^1\int_{\lvert t \rvert}^{1}\int_0^{1-s} \sqrt{s^2 + t^2}\,du\,dv\,ds\,dt + \int_{-1}^0\int_{-1}^0\int_{\lvert t\rvert}^{1}\int_{\lvert t \rvert}^{1} \sqrt{s^2 + t^2}\,du\,dv\,ds\,dt \\
&= 4 \int_0^1 (1-t)\int_0^1 (1-s)\sqrt{s^2 + t^2}\,ds\,dt \end{align*} \]
dove il risultato deriva dalle parità delle funzioni involte (quando \(\displaystyle s \) e \(\displaystyle t \) sono negativi).
[xdom="@melia"]Ok, ragazzi avete fatto un bellissimo lavoro.
Posso ricordarvi che siete nell'area della scuola secondaria? Non mi pare proprio che questi argomenti rientrino tra gli argomenti di scuola secondaria, neanche come approfondimenti.
Per cortesia, cercate di mettere problemi più adatti all'area.[/xdom]
Posso ricordarvi che siete nell'area della scuola secondaria? Non mi pare proprio che questi argomenti rientrino tra gli argomenti di scuola secondaria, neanche come approfondimenti.
Per cortesia, cercate di mettere problemi più adatti all'area.[/xdom]
"@melia":
[xdom="@melia"]Ok, ragazzi avete fatto un bellissimo lavoro.
Posso ricordarvi che siete nell'area della scuola secondaria? Non mi pare proprio che questi argomenti rientrino tra gli argomenti di scuola secondaria, neanche come approfondimenti.
Per cortesia, cercate di mettere problemi più adatti all'area.[/xdom]
per come la vedo, data la complessità del problema, ha piú senso spostarlo di sezione, piuttosto che abbassare il livello di difficoltà degli interventi
"kobeilprofeta":
per come la vedo, data la complessità del problema, ha piú senso spostarlo di sezione, piuttosto che abbassare il livello di difficoltà degli interventi
Che è esattamente quello che intendo. NON mettete in quest'area problemi che richiedono competenze extra scuola superiore, metteteli direttamente in Pensare un po' di più. Quando trovo un problema postato qui, non ho la capacità immediata di capire se esiste anche una soluzione elementare del problema, per cui la sua presenza qui ha un senso.
Certo questo posso spostarlo, ma che senso ha visto che ormai è finito?
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