Distanza media in un quadrato
Dato un quadrato di lato $1$, qual è la distanza media fra due punti presi a caso all'interno del quadrato?
Risposte
$1/2$ o piu prob $frac{1}{sqrt(2)}$
No, la risposta non è banale. Ho provato ad abbozzare qualche soluzione con gli integrali, ma non riesco ad andare a fondo...
Simulando con excel si ottiene qualcosa del tipo 0,52...
Simulando con excel si ottiene qualcosa del tipo 0,52...
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E volendo calcolare la distanza media in un cerchio?
Se il cerchio ha raggio unitario e centro nell'origine, la distanza di due punti determinati $(x_{1}; y_{1}), (x_{2};y_{2})$ è
$D=sqrt((x_{1}-x_{2})^2 + (y_{1}-y_{2})^2)$
Con $x_{1}^2 + y_{1}^2 \leq 1 $
$x_{2}^2 + y_{2}^2 \leq 1$
Adesso bisogna calcolare un integrale quadruplo in coordinate polari per ottenere la media?
La distanza in coordinate polari diventa:
$D=sqrt(\rho _{1}^{2} + \rho _{2}^{2}-2\rho _{1} \rho _{2} cos(\theta _{1} - \theta _{2})$
L'integrale forse è qualcosa del tipo:
$\bar{D} = (1/(\pi ^2))int_{0}^{1} int_{0}^{1} int_{0}^{2 \pi} int_{0}^{2 \pi} sqrt(\rho _{1}^{2} + \rho _{2}^{2}-2\rho _{1} \rho _{2} cos(\theta _{1} - \theta _{2})) \rho _{1} \rho _{2} d\rho _{1} d\rho _{2} d\theta _{1} d\theta _{2} $
Purtroppo non posso controllare perchè wolfram alpha si rifiuta di calcolarmelo
Chi ha altre idee??
Se il cerchio ha raggio unitario e centro nell'origine, la distanza di due punti determinati $(x_{1}; y_{1}), (x_{2};y_{2})$ è
$D=sqrt((x_{1}-x_{2})^2 + (y_{1}-y_{2})^2)$
Con $x_{1}^2 + y_{1}^2 \leq 1 $
$x_{2}^2 + y_{2}^2 \leq 1$
Adesso bisogna calcolare un integrale quadruplo in coordinate polari per ottenere la media?
La distanza in coordinate polari diventa:
$D=sqrt(\rho _{1}^{2} + \rho _{2}^{2}-2\rho _{1} \rho _{2} cos(\theta _{1} - \theta _{2})$
L'integrale forse è qualcosa del tipo:
$\bar{D} = (1/(\pi ^2))int_{0}^{1} int_{0}^{1} int_{0}^{2 \pi} int_{0}^{2 \pi} sqrt(\rho _{1}^{2} + \rho _{2}^{2}-2\rho _{1} \rho _{2} cos(\theta _{1} - \theta _{2})) \rho _{1} \rho _{2} d\rho _{1} d\rho _{2} d\theta _{1} d\theta _{2} $
Purtroppo non posso controllare perchè wolfram alpha si rifiuta di calcolarmelo
Chi ha altre idee??
Devo fare ammenda del mio precedente intervento.
L'ultima frase del mio "paper" (che ho mostrato in formato immagine PNG) era:
Ma non è così!
L'amico Nino mi ha segnalato il sito di Mauro Fiorentini dove si parla della distanza media tra due punti presi casualmente in un segmento lungo 1, in un quadrato di lato 1, in un cubo di spigolo 1, ... in un iper-cubo di iper-spigolo 1.
E anche in altre figure geometriche, comprese sfere n-dimensionali di diametro 2.
Vedere qua:
––> "Mauro Fiorentini", Pagina principale
––> "Mauro Fiorentini", Distanza media in altre figure geometriche
I numeri sono dati con un mare di cifre significative.
In particolare la distanza media tra 2 punti a caso nel quadrato di lato 1 – detta nel sito D(2) – vale:
[size=110]D(2)=0,512405[/size]4331647206783309823566072439749140315677790083417962105187505078933048158318679281329252614525
Il valore teorico di D(2) è infatti:
$D(2) = (sqrt2·(1+sqrt2))/15 + ln(1+sqrt2)/3$
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L'ultima frase del mio "paper" (che ho mostrato in formato immagine PNG) era:
Ma non è così!
L'amico Nino mi ha segnalato il sito di Mauro Fiorentini dove si parla della distanza media tra due punti presi casualmente in un segmento lungo 1, in un quadrato di lato 1, in un cubo di spigolo 1, ... in un iper-cubo di iper-spigolo 1.
E anche in altre figure geometriche, comprese sfere n-dimensionali di diametro 2.
Vedere qua:
––> "Mauro Fiorentini", Pagina principale
––> "Mauro Fiorentini", Distanza media in altre figure geometriche
I numeri sono dati con un mare di cifre significative.
In particolare la distanza media tra 2 punti a caso nel quadrato di lato 1 – detta nel sito D(2) – vale:
[size=110]D(2)=0,512405[/size]4331647206783309823566072439749140315677790083417962105187505078933048158318679281329252614525
Il valore teorico di D(2) è infatti:
$D(2) = (sqrt2·(1+sqrt2))/15 + ln(1+sqrt2)/3$
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il valore teorico come lo trovi?
svolgendo quell'integralone che hai scritto prima?
svolgendo quell'integralone che hai scritto prima?
"kobeilprofeta":Il valore teorico non l'ho trovato io!
Il valore teorico come lo trovi?
Svolgendo quell'integralone che hai scritto prima?
L'ho copiato (al pari del suo valore numerico con quell'enorme numero di cifre) dal sito di Mauro Fiorentini che ho segnalato.
–––––––––––––
Avevo messo la simulazione dell'integrale quadruplo con quattro sommatorie (una dentro nell'altra come le matriosche russe) ... così:
Il difetto di questo modo di approccio numerico sta nel veloce aumento del tempo di calcolo.
In effetti, con questa formula il tempo di calcolo (che è proporzionale al numero di addendi) risulta proporzionale alla quarta potenza del numero $n$ di suddivisioni del lato del quadrato.
Con questa formula mi ero fermato a $n = 130$ che comportava $130^4 = 285.610.000$ addendi ed il riultato (approssimato per difetto a quello teorico):
$f(130) = 0,5213907...$.
Ho migliorato l'approccio numerico sostituendo quello che interpreta direttamente l'approssimazione dell'integrale (cioè la formula di sopra con $n^4$ addendi) con il seguente, del tutto equivalente al precedente ma con soli circa $n^2/2$ addendi.
Eccolo qua:
Con questa formula posso spingermi con n ben oltre il 130 .
Con lo stesso tempo di calcolo [della formula precedente con n = 130] ora il numero di suddivisioni verrebbe circa
$sqrt(2)·130^2 ≈ 23.900$.
Con la nuova formula ed n = 20.000 si trova 0,52140543206... [contro il teorico 0,52140543316... con un errore per difetto di circa 2 miliardesimi nsoltanto].
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claro!
ps: sistema la formula a metà perchè credo ci sia unndollaro sbagliato
ps: sistema la formula a metà perchè credo ci sia unndollaro sbagliato
"kobeilprofeta":???
...sistema la formula a metà perchè credo ci sia unndollaro sbagliato
Le due formule sono giuste e sono equivalenti.
A riprova di ciò metto l'immagine PNG “Riassunto" che è un montaggio di 8 immagini (4 a confronto rispettivo con altre 4) prelevate direttamente dallo schermo nella finestra di Grapher rappresentanti ognuna una riga di calcolo eseguito dal programma Grapher per Apple.
Precisamente:
• $f(50)$, $f(60)$ e $f(70)$ calcolati con la "formula vecchia" e con la "formula nuova" (per mostrare che le due formule sono esattamente equovalenti);
• Il calcolo del valore teorico (la cui espressione ho preso dal sito di Mauro Fiorentini) a confronto col calcolo di $f(2400)$ eseguito con la "formula nuova" per mostrare che, effettivamente, il valore teorico è ben approssimabile con la "formula nuova".
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"Erasmus_First":Il valore teorico non l'ho trovato io!
[quote="kobeilprofeta"]Il valore teorico come lo trovi?
Svolgendo quell'integralone che hai scritto prima?
L'ho copiato (al pari del suo valore numerico con quell'enorme numero di cifre) dal sito di Mauro Fiorentini che ho segnalato.
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Avevo messo la simulazione dell'integrale quadruplo con quattro sommatorie (una dentro nell'altra come le matriosche russe) ... così:
Il difetto di questo modo di approccio numerico sta nel veloce aumento del tempo di calcolo.
In effetti, con questa formula il tempo di calcolo (che è proporzionale al numero di addendi) risulta proporzionale alla quarta potenza del numero $n$ di suddivisioni del lato del quadrato.
Con questa formula mi ero fermato a $n = 130$ che comportava $130^4 = 285.610.000$ addendi ed il riultato (approssimato per difetto a quello teorico):
$f(130) = 0,5213907...$.
Ho migliorato l'approccio numerico sostituendo quello che interpreta direttamente l'approssimazione dell'integrale (cioè la formula di sopra con $n^4$ addendi) con il seguente, del tutto equivalente al precedente ma con soli circa $n^2/2$ addendi.
Eccolo qua:
Con questa formula posso spingermi con n ben oltre il 130 .
Con lo stesso tempo di calcolo [della formula precedente con n = 130] ora il numero di suddivisioni verrebbe circa
$sqrt(2)·130^2 ≈ 23.900$.
Con la nuova formula ed n = 20.000 si trova 0,52140543206... [contro il teorico 0,52140543316... con un errore per difetto di circa 2 miliardesimi nsoltanto].
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[/quote]qua intendevo che c'erano dollari sbagliati
"kobeilprofeta":No!
qua intendevo che c'erano dollari sbagliati
Ricontrollato tutto più volte ...
Tutto OK.
[Hai visto male tu.
][Ho usato il cartattere "$$$" solo per scrivere decentemente qualche simbolo; ma le formule sono immagini PNG caricate sul sito di hosting "postimage.org"].
Comunque ... non c'è alcun "dollaro" sbagliato!
Ciao, ciao.
_______
ok... sarà un problema del mio pc
"con questa formula mi ero fermato a n=130..."
dopo questa frase, tre righe sotto
"con questa formula mi ero fermato a n=130..."
dopo questa frase, tre righe sotto
"kobeilprofeta":
"con questa formula mi ero fermato a n=130..."
dopo questa frase, tre righe sotto
[Continuo a non capire a quale punto del testo ti riferisci. "Dopo questa frase, tre righe sotto", ... c'è una riga vuota
; subito prima c'è$f(130) = 0,5213907 ...$
e subito dopo la riga vuota riprende il testo con una riga senza alcun "dollaro", poi una riga con « $n^4$ » e poi un'altra riga con « $n^2/2$ »].
Ecco qua l'aspetto del testo in una immagine PNG fatta copiando direttamente dallo schermo.
Che cos'è che il tuo PC ed il mio Mac non mostrano con il medesimo aspetto?
_______
Quello sicuro ... 
... comunque kobe intende dove hai scritto "n = 20000 si trova 0,52..." ... lo stile non é coerente col resto ... 
... comunque kobe intende dove hai scritto "n = 20000 si trova 0,52..." ... lo stile non é coerente col resto ...
Io sono terribilmente fuori allenamento con gli integrali ma non mi pare impossibile.
Sia \[I = \int_0^1\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \sqrt{(x-u)^2 + (y-v)^2}\,dx\,dy\,du\,dv \,.\]
Voglio ora fare il cambio di variabile \[ \begin{cases} u = u \\ v = v \\ s = x-u \\ t = y-v \end{cases} = \begin{cases} x = s+u \\ y = t + v \\ u = u \\ v = v \end{cases} \] che è una trasformazione di determinante \(\displaystyle 1 \). Pertanto
\begin{align*} I &= \int_0^1\int_0^1\int_0^{1-t}\int_0^{1-s} \sqrt{s^2 + t^2}\,du\,dv\,ds\,dt \\
&= \int_0^1\int_0^1 \sqrt{s^2 + t^2} \Biggl[\int_0^{1-t} \,dv\Biggr]\Biggl[\int_0^{1-s} \,du\Biggr] ds\,dt \\
&= \int_0^1 (1-t)\int_0^1 (1-s)\sqrt{s^2 + t^2}\,ds\,dt
\end{align*}
Adesso noto che c'è perfetta simmetria tra \(\displaystyle s \) e \(\displaystyle t \) pertanto si ha che:
\begin{align*} I &= 2\int_0^1 (1-t)\int_0^t (1-s)\sqrt{s^2 + t^2}\,ds\,dt \\
&= 2\int_0^1 (1-t) \Biggr\{\biggl[ \int_0^{t} \sqrt{s^2 + t^2}\,ds\biggr] + \biggl[\int_0^t s\sqrt{s^2 + t^2}\,ds \biggr]\Biggr\}\,dt \end{align*}
Ora si sa che \begin{align*} \int_0^{t} \sqrt{s^2 + t^2}\,ds &= \biggl[ \frac{s}{2} \sqrt{s^2 + t^2} + \frac{t^2}{2}\ln(s + \sqrt{s^2 + t^2}) \biggr]_0^t \\ &= \frac{t^2}{2} \sqrt{2} + \frac{t^2}{2}\ln(t + \sqrt{2}t) - \frac{t^2}{2}\ln t \\
&= \frac{t^2}{2} \bigl[\sqrt{2} + \ln (1 + \sqrt{2})\bigr] \end{align*}
e che
\begin{align*} \int_0^{t} s\sqrt{s^2 + t^2}\,ds &= \frac12 \int_0^{t} D(s^2 + t^2)\sqrt{s^2 + t^2}\,ds \\
\\ &= \frac13\Biggl[ \Bigl(\sqrt{s^2 + t^2}\Bigr)^3 \Biggr]_0^t
\\ &= \frac{t^3}{3}\bigl( 2\sqrt{2} - 1\bigr) \end{align*}
Che ci porta all'integrale
\begin{align*} I &= 2\int_0^1 (1-t) \biggl\{ \frac{t^2}{2} \bigl[\sqrt{2} + \ln (1 + \sqrt{2})\bigr] + \frac{t^3}{3}\bigl( 2\sqrt{2} - 1\bigr) \biggr\}\,dt \\
&= \bigl[\sqrt{2} + \ln (1 + \sqrt{2})\bigr]\int_0^1 (1-t)t^2\,dt + \frac{2}{3}\bigl( 2\sqrt{2} - 1\bigr)\int_0^1 (1-t)t^3\,dt
\\ &= \frac{\sqrt{2} + \ln (1 + \sqrt{2})}{12} + \frac{2\sqrt{2} - 1}{30} \\
&= \frac{2\ln (1 + \sqrt{2}) + 12\sqrt{2} - 5}{60} \end{align*}
Che è il risultato sbagliato.
Se riesco nei prossimi giorni controllo i calcoli.
Sia \[I = \int_0^1\int_0^1\int_0^1\int_0^1 \sqrt{(x-u)^2 + (y-v)^2}\,dx\,dy\,du\,dv \,.\]
Voglio ora fare il cambio di variabile \[ \begin{cases} u = u \\ v = v \\ s = x-u \\ t = y-v \end{cases} = \begin{cases} x = s+u \\ y = t + v \\ u = u \\ v = v \end{cases} \] che è una trasformazione di determinante \(\displaystyle 1 \). Pertanto
\begin{align*} I &= \int_0^1\int_0^1\int_0^{1-t}\int_0^{1-s} \sqrt{s^2 + t^2}\,du\,dv\,ds\,dt \\
&= \int_0^1\int_0^1 \sqrt{s^2 + t^2} \Biggl[\int_0^{1-t} \,dv\Biggr]\Biggl[\int_0^{1-s} \,du\Biggr] ds\,dt \\
&= \int_0^1 (1-t)\int_0^1 (1-s)\sqrt{s^2 + t^2}\,ds\,dt
\end{align*}
Adesso noto che c'è perfetta simmetria tra \(\displaystyle s \) e \(\displaystyle t \) pertanto si ha che:
\begin{align*} I &= 2\int_0^1 (1-t)\int_0^t (1-s)\sqrt{s^2 + t^2}\,ds\,dt \\
&= 2\int_0^1 (1-t) \Biggr\{\biggl[ \int_0^{t} \sqrt{s^2 + t^2}\,ds\biggr] + \biggl[\int_0^t s\sqrt{s^2 + t^2}\,ds \biggr]\Biggr\}\,dt \end{align*}
Ora si sa che \begin{align*} \int_0^{t} \sqrt{s^2 + t^2}\,ds &= \biggl[ \frac{s}{2} \sqrt{s^2 + t^2} + \frac{t^2}{2}\ln(s + \sqrt{s^2 + t^2}) \biggr]_0^t \\ &= \frac{t^2}{2} \sqrt{2} + \frac{t^2}{2}\ln(t + \sqrt{2}t) - \frac{t^2}{2}\ln t \\
&= \frac{t^2}{2} \bigl[\sqrt{2} + \ln (1 + \sqrt{2})\bigr] \end{align*}
e che
\begin{align*} \int_0^{t} s\sqrt{s^2 + t^2}\,ds &= \frac12 \int_0^{t} D(s^2 + t^2)\sqrt{s^2 + t^2}\,ds \\
\\ &= \frac13\Biggl[ \Bigl(\sqrt{s^2 + t^2}\Bigr)^3 \Biggr]_0^t
\\ &= \frac{t^3}{3}\bigl( 2\sqrt{2} - 1\bigr) \end{align*}
Che ci porta all'integrale
\begin{align*} I &= 2\int_0^1 (1-t) \biggl\{ \frac{t^2}{2} \bigl[\sqrt{2} + \ln (1 + \sqrt{2})\bigr] + \frac{t^3}{3}\bigl( 2\sqrt{2} - 1\bigr) \biggr\}\,dt \\
&= \bigl[\sqrt{2} + \ln (1 + \sqrt{2})\bigr]\int_0^1 (1-t)t^2\,dt + \frac{2}{3}\bigl( 2\sqrt{2} - 1\bigr)\int_0^1 (1-t)t^3\,dt
\\ &= \frac{\sqrt{2} + \ln (1 + \sqrt{2})}{12} + \frac{2\sqrt{2} - 1}{30} \\
&= \frac{2\ln (1 + \sqrt{2}) + 12\sqrt{2} - 5}{60} \end{align*}
Che è il risultato sbagliato.
Se riesco nei prossimi giorni controllo i calcoli.
"vict85":
\[ \begin{align*} I &= 2\int_0^1 (1-t)\int_0^t (1-s)\sqrt{s^2 + t^2}\,ds\,dt \\ &= 2\int_0^1 (1-t) \Biggr\{\biggl[ \int_0^{t} \sqrt{s^2 + t^2}\,ds\biggr] + \biggl[\int_0^t s\sqrt{s^2 + t^2}\,ds \biggr]\Biggr\}\,dt \end{align*} \]
Nella seconda riga mi pare ci sia un $+$ al posto di un $-$
"vict85":Nessuno ha mai detto che si tratti di integrale impossibile. In più posti si dice invece che si tratta di calcoli noiosi (e di una certa coplessità computazionale.
Io sono terribilmente fuori allenamento con gli integrali ma non mi pare impossibile.
Non mi ci metto a portarli a termine perché so, per esperienza, che prima o poi incapperei di sicuro in qualche "errore di sbaglio"
.Qualcuno però questi calcoli noiosi li ha fatti. Tant'è che Nino mi ha segnalato il sito di Mauro Fiorentini dove c'è l'espressione teorica di questa distanza media tra due punti di un quadrato di lato 1 e anche l'espressione teorica della distanza media tra due punti di un cubo di spigolo 1 (detta "costante di Robbins" dal nome del matematico statunitense che ha avuto la pazienza di calcolarla).
Per me è stato interessante riuscire a passare dalla formula (di approssimazione "discreta" dell'integrale quadruplo) con quattro sommatorie a quella con due soltanto.
[Perché così posso approssimare il valore teorico con ben 9 cifre significative buone].
Vedo adesso che tu sei riuscito a trasformare l'integrale quadruplo nel seguente integrale doppio:
$\int_0^1 (1-t)\int_0^1 (1-s)\sqrt{s^2 + t^2}\ds\dt$
Come la mia "vecchia formula" era l'approssimazione numerica "discreta" dell'integrale quadruplo, col senno di poi rilevo ora che la mia "nuova formula" (con due sommatorie invece di quattro) sembra l'approssimazione di un integrale doppio come questo tuo.
Quel che non mi torna, oltre all''assenza di un fattore davanti agli integrali, è la scelta degli estremi (che hai messo
"inferiore 0, superiore 1"
in entrambi gli integrali).
A naso, direi che andrebbe bene un integrale doppio come il seguente:
$8\int_0^1 (1-t)\int_t^1 (1-s)\sqrt{s^2 + t^2}\ds\dt$
Questo perché, a parte i casi di distanze orizzontali o verticali (cioè con s=0 o con t = 0) o inclinate di 45° (cioè con |s| = |t|), – casi valutati a parte nella discretizzazione del calcolo – le 8 coppie di vettori
$[s, t]$, $[-s, t]$, $[s, –t]$, $[-s, –t]$,
$[t, s]$, $[-t, s]$, $[t, -s]$, $[-t, s]$
hanno tutte lo stesso modulo $sqrt(s^2 + t^2)$.
In effetti, davanti alla sommatoria doppia [della mia "nuova formula"] c'è il fattore 8; e i due indici h e k delle sommatorie sottostanno alla condizione
$0 < h < k < n$
[cioè: la somma esterna ha addendi per $h$ da $1$ a $n–2$; quella interna per $k$ da $h+1$ a $n–1$].
ma per l'integrale interno in $ds$ ––> "inferiore $t$, superiore $1$".
Lasciando per estremi di integrazione 0 e 1 in entrambi gli integrali, a naso credo che ci voglia il fattore 4 (invece di 8).
Ma ... chissà in quale punto hai commesso anche tu qualche "errore di sbaglio"!
Non sono certo io la persona più idonea ad individuarlo.
Ciao ciao
_______
Avete ragione entrambi. Ho sbagliato a fare la trasformazione dello spazio perché ho dimenticato il caso \(u > x\) e \(v > y\) che avrebbe moltiplicato il tutto per 4 e ho sbagliato il segno citato da spugna.
[...]
Per il secondo basta correggere i meno in tutte le righe. In particolare il risultato con queste correzioni dovrebbe venire
\[ \begin{align*} I &= \frac{\sqrt{2} + \ln (1 + \sqrt{2})}{3} - \frac{4\sqrt{2} - 2}{15} \\ &= \frac{5\ln (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} + 2}{15} \\ &= \frac{\ln (1 + \sqrt{2})}{3} + \frac{\sqrt{2} + 2}{15} \\ &= \frac{\ln (1 + \sqrt{2})}{3} + \frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})}{15} \end{align*} \]
[strike]Quindi probabilmente abbiamo trovato tutti gli errori.
[/strike]
[Edit] Mi sono accorto di aver corretto nel modo sbagliato il primo errore. Ho eliminato quella parte.
[...]
Per il secondo basta correggere i meno in tutte le righe. In particolare il risultato con queste correzioni dovrebbe venire
\[ \begin{align*} I &= \frac{\sqrt{2} + \ln (1 + \sqrt{2})}{3} - \frac{4\sqrt{2} - 2}{15} \\ &= \frac{5\ln (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} + 2}{15} \\ &= \frac{\ln (1 + \sqrt{2})}{3} + \frac{\sqrt{2} + 2}{15} \\ &= \frac{\ln (1 + \sqrt{2})}{3} + \frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})}{15} \end{align*} \]
[strike]Quindi probabilmente abbiamo trovato tutti gli errori.
[/strike][Edit] Mi sono accorto di aver corretto nel modo sbagliato il primo errore. Ho eliminato quella parte.
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