Diofantea

[axpgn]

Trovare una soluzione nei naturali di $a^3+b^4=c^5$

(zero non è naturale )

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

$( \forall m.n \epsilon NN | n^5-m^3>0) a=m(n^5-m^3)^5, b=(n^5-m^3)^4, c=n(n^5-m^3)^3$

editato alle 18:58 perché avevo scritto tutto (quasi) al contrario
Ciao

[orsoulx]

Grazie a TeM e Mathita che mi hanno segnalato gli strafalcioni.
Ciao

[axpgn]

La mia soluzione, giocando con i multipli degli esponenti, è questa $2^24+2^24=2^25\ ->\ (2^8)^3+(2^6)^4=(2^5)^5$.
Aggiungendo $60$ agli esponenti si trovano le soluzioni di TeM.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Beh! Due infinità numerabili di soluzioni nessuna delle quali è inclusa nell'altra sono un segnale della possibilità di ampliare i risultati.
In effetti, come osserva TeM, l'identità che ho utilizzato fornisce soluzioni accettabili anche quando $m $ ed $n$ non siano interi positivi, basta che lo siano $ a, b, c $. Un ampliamento che credo esaurisca i casi è il seguente:

$ \forall r.s \epsilon NN | s^3 $ m=\root 4 s, n=\root 4 r, a=m(n^5-m^3)^5, b=(n^5-m^3)^4, c=n(n^5-m^3)^3 $

Resta, ovviamente, la possibilità dell'esistenza di ulteriori soluzioni non esprimibili tramite l'identità.
Ciao