Dimostrazione nel piano Euclideo
Ho trovato questo problema in rete e ho pensato di condividere, se a prima vista pare semplice, non sembra esserlo...
Si consideri un set di infiniti punti nel piano euclideo ${x_i|i in NN, i!=j => x_i!=x_j}$. Questi punti sono tali che $d(x_i,x_j) in NN$ $AA i,j in NN$ con $d(*,*)$ la distanza Euclidea. Si dimostri che questi punti sono allineati, ossia giacciono tutti su una stessa retta.
Il mio unico pensiero era stato di scegliere la metrica discreta per $RR^2$ (non veniva specificato nell'esercizio originale, ma è quasi barare
)
Spero sia la sezione giusta, buon divertimento!
Si consideri un set di infiniti punti nel piano euclideo ${x_i|i in NN, i!=j => x_i!=x_j}$. Questi punti sono tali che $d(x_i,x_j) in NN$ $AA i,j in NN$ con $d(*,*)$ la distanza Euclidea. Si dimostri che questi punti sono allineati, ossia giacciono tutti su una stessa retta.
Il mio unico pensiero era stato di scegliere la metrica discreta per $RR^2$ (non veniva specificato nell'esercizio originale, ma è quasi barare
)Spero sia la sezione giusta, buon divertimento!
Risposte
Il testo non mi è chiaro: con $d(x_i,x_j)$ intendi la distanza fra due punti, entrambi aventi coordinate naturali? Se è così, io penserei alle terne pitagoriche, ma questa è solo un'idea iniziale, che per ora non ho sviluppato.
Intendo la distanza Euclidea. Per capirci, la norma Euclidea di $RR^2$.
Ho una soluzione per le mani. Non penso sia l'unica, ma non prevede l'utilizzo di terne pitagoriche. Sono curioso, in bocca al lupo!
Ho una soluzione per le mani. Non penso sia l'unica, ma non prevede l'utilizzo di terne pitagoriche. Sono curioso, in bocca al lupo!
Continuo a non capire: quando parlo di distanza io penso a due punti, che nel piano cartesiano hanno entrambi due coordinate: in totale, sono coinvolti quattro numeri ed ha poco senso scrivere $d(x_i,x_j)$. Parli di norma euclidea: è la distanza dall'origine?
Forse la cosa migliore è che tu faccia un esempio.
Forse la cosa migliore è che tu faccia un esempio.
"Frink":
${x_i|i in NN, i!=j => x_i!=x_j}$
Questo è il set che ho definito. Forse il tuo dubbio nasce dal fatto che ho omesso (colpevolmente) che $x_i in RR^2$
Il set corretto è ${x_i in RR^2 |i in NN, i!=j => x_i!=x_j}$
Questi $x_i$ puoi vederli come vettori, se preferisci dagli un nome diverso da quello che ho usato, effettivamente si potrebbe confondere con la lettera sovente usata per la prima coordinata. La norma Euclidea della differenza tra i due punti è la distanza tra di essi. Scrivo allora che $ || x_i-x_j||inNN $ $AAi,j in NN$
Ti sembra più chiaro ora?
Esempio:
Il punto $(0,0)$ sia $x_0$.
Il punto $(0,3)$ sia $x_1$.
Il punto $(4,0)$ sia $x_2$.
Con un veloce controllo, noterai che ognuno di essi dista da ognuno degli altri un numero intero.
Guarda che $x_1=(1/3,0)$ e $x_2=(1/2,0)$ soddisfano i requisiti del tuo insieme ma la loro distanza è tutto fuorché intera ... 
Detto in altro modo: poni dei vincoli sugli indici ma non sulle coordinate ...
Detto in altro modo: poni dei vincoli sugli indici ma non sulle coordinate ...
Forse è la notazione che confonde, si può dire pure a parole.
Dimostrare che dati infiniti punti nel piano, tali che presi a due a due la loro distanza è intera, essi sono tutti allineati.
Dimostrare che dati infiniti punti nel piano, tali che presi a due a due la loro distanza è intera, essi sono tutti allineati.
Ok, riscrivo per l'ultima volta l'insieme:
${x_i in RR^2 | || x_i-x_j||inNN, i in NN, i!=j => x_i!=x_j}$
Ad ogni modo è esattamente quello che ha scritto @xXStephXx
${x_i in RR^2 | || x_i-x_j||inNN, i in NN, i!=j => x_i!=x_j}$
Ad ogni modo è esattamente quello che ha scritto @xXStephXx
@Steph
Il senso s'era capito, è la notazione che non funziona ... anche nell'ultima versione, che finalmente ha un'aggiunta sostanziale, c'è un $i in NN$ che è inutile ...
Il senso s'era capito, è la notazione che non funziona ... anche nell'ultima versione, che finalmente ha un'aggiunta sostanziale, c'è un $i in NN$ che è inutile ...
Quella $i$ "inutile" è intesa a dare un'idea della cardinalità dell'insieme, la cardinalità del numerabile.
Comunque, considerazione personale: capisco la pedanteria in fatto di notazione, ma se hai capito puoi provare a risolverlo. Nel primo messaggio avevo scritto l'insieme e avevo posto la condizione fuori dalle graffe, mi pareva chiaro. In ogni caso, posso sempre cancellare.
Comunque, considerazione personale: capisco la pedanteria in fatto di notazione, ma se hai capito puoi provare a risolverlo. Nel primo messaggio avevo scritto l'insieme e avevo posto la condizione fuori dalle graffe, mi pareva chiaro. In ogni caso, posso sempre cancellare.
A me la notazione sembrava giusta sin dal primo messaggio, pure fin troppo rigorosa 
1) Il fatto che ho "intuito" il testo del problema non significa che sia in grado di risolverlo; sarebbe una pacchia altrimenti ...
2) Il "nocciolo" della questione lo hai inserito nella definizione dell'insieme al quarto tentativo; avrò la capoccia dura ma non credi si potesse fare di meglio ? ...
Cordialmente, Alex
P.S.: No, Steph, non è così ... per te che ne hai visti tanti hai capito subito cosa significasse , ma l'indice "intero" c'entrava poco col resto ma sembrava fosse la cosa più importante ... IMHO
2) Il "nocciolo" della questione lo hai inserito nella definizione dell'insieme al quarto tentativo; avrò la capoccia dura ma non credi si potesse fare di meglio ? ...
Cordialmente, Alex
P.S.: No, Steph, non è così ... per te che ne hai visti tanti hai capito subito cosa significasse
, ma l'indice "intero" c'entrava poco col resto ma sembrava fosse la cosa più importante ... IMHO
Comunque, forse è più difficile del previsto, a meno che c'è qualcosa che non vedo xD
Sembra che già con $3$ punti non allineati non ci possano essere tanti altri punti, se questo fosse vero implicherebbe la tesi. Qualche dritta?
Sembra che già con $3$ punti non allineati non ci possano essere tanti altri punti, se questo fosse vero implicherebbe la tesi. Qualche dritta?
Potreste dover ricordare una proprietà delle iperboli studiata in geometria, quasi una loro definizione...
Ah wooow non ci avevo pensato 
Pure più bello del previsto allora xD
A questo punto basta considerare che se ci sono $3$ punti non allineati: $P_1$, $P_2$ e $P_3$ e un quarto punto $P$, allora vale che $-P_1P_2 <= PP_1 - PP_2 <= P_1P_2$ e $PP_1 - PP_2$ è sicuramente intero. Quindi $P$ può stare su $P_1P_2+1$ iperboli diverse di cui una è la retta che contiene $P_1$ e $P_2$.
Ripetendo lo stesso ragionamento usando $P_2$ e $P_3$ si ottiene che $P$ può stare su $P_2P_3+1$ iperboli di cui una è la retta per $P_2$ e $P_3$ diversa dalla retta per $P_1$ e $P_2$ (perchè i punti non erano allineati).
Due iperboli non degeneri hanno al più $4$ intersezioni, retta e iperbole $2$ e due rette incidenti $1$, quindi supponendo per semplicità che ce ne siano sempre $4$ si ha che $P$ può stare al massimo in $4\cdot (P_1P_2+1) \cdot (P_2P_3+1)$ punti diversi. Quindi non possono essere infiniti. Quadra?
Pure più bello del previsto allora xDA questo punto basta considerare che se ci sono $3$ punti non allineati: $P_1$, $P_2$ e $P_3$ e un quarto punto $P$, allora vale che $-P_1P_2 <= PP_1 - PP_2 <= P_1P_2$ e $PP_1 - PP_2$ è sicuramente intero. Quindi $P$ può stare su $P_1P_2+1$ iperboli diverse di cui una è la retta che contiene $P_1$ e $P_2$.
Ripetendo lo stesso ragionamento usando $P_2$ e $P_3$ si ottiene che $P$ può stare su $P_2P_3+1$ iperboli di cui una è la retta per $P_2$ e $P_3$ diversa dalla retta per $P_1$ e $P_2$ (perchè i punti non erano allineati).
Due iperboli non degeneri hanno al più $4$ intersezioni, retta e iperbole $2$ e due rette incidenti $1$, quindi supponendo per semplicità che ce ne siano sempre $4$ si ha che $P$ può stare al massimo in $4\cdot (P_1P_2+1) \cdot (P_2P_3+1)$ punti diversi. Quindi non possono essere infiniti. Quadra?
Perfetta, io avevo glissato l'ultima parte dicendo semplicemente che non potevano essercene infiniti, senza quantificare!
L'ho trovata anche io molto carina, ma senza suggerimento non ce l'avrei mai fatta...
L'ho trovata anche io molto carina, ma senza suggerimento non ce l'avrei mai fatta...
"Frink":
O[...]Ad ogni modo è esattamente quello che ha scritto @xXStephXx
"xXStephXx":Mi pare che la dimostrazione dovrebbe essere fatta "per assurdo", ossia far vedere che, se i punti non sono allineati, è impossibile che le distanze siano intere per ognuna delle infinite coppie di punti distinti.
[...]Dimostrare che dati infiniti punti nel piano tali che presi a due a due la loro distanza è intera, essi sono tutti allineati.
Allora io farei così
a) I punti li penso in un piano cartesiano e chiamo $x_i$ le ascisse e $y_i$ le ordinate
[e $P_i$ i punti di coordinate $(x, y) = (x_i, y_i)$].
b) Non cambia nulla se metto un punto $P_0$ nell'origine $O(0,0)$.
b) Non cambia ancora nulla se eseguo una rotazione che mi porta sull'asse delle ascisse il puntp $P_1$.
c) Se i punti sono allineati, basta che siano intere le nuove ascisse ... ed è tutto OK (perché allora le nuove ordinate son tutte nulle).
Se no, occorre che per ogni punto $P_i$ con $i > 1$ sia intera sia la distanza tra $P_i$ e $P_0 = (0,0)$ che la distanza tra $P_i$ e $P_1 = (x_1,0)$. Ma questo è impossibile perché :
• Se infiniti punti stessero sull'asse delle ascisse ma non tutti, dovrebbero esserci, per ogni punto non sull'asse delle ascisse, infinite terne pitagoriche con lo stesso cateto (ma questo non è vero: le terne con un medesimo lato sono in numero finito, ... oltre che essere molto rare!).
• Se sono solo n punti (con n ≥2) che stanno sull'asse delle ascisse, dovrebbero esserci infinite n-ple di terne pitagoriche con un cateto uguale in ciascuna delle quali n terne pitagoriche avrebbero un cateto uguale (e anche questo non è vero).
[Insomma: presi due punti distinnti arbitrari, questi individuano una retta. Per ogni altro punto dovrebbero esserci sempre due terne pitagoriche con un cateto uguale; e già questo mi pare impossibile, dovendo succedere per ogni arbitraria coppia dell'insieme di cardinalità infinita. Ma otre a ciò, le altre infinite mutue distanze dovrebbero essere ancora intere!]
Può darsi che la mia dimostrazione non sia molto rigorosa per i puristi della matematica.
Ma io (che fui un ingegnere invece che un mathematicus
) sono sicuro che, dopo piazzati due punti sull'asse delle ascisse a distanza intera uno dall'altro, non si riesce a sistemare più di alcuni punti (forse due soli, giurerei non più di tre) a distanza "razionale" sia DAI DUE PUNTI sull'asse delle ascisse sia TRA LORO. E' facile costruire un insieme di infiniti punti P tutti a distanza intera da due fissati punti A e B posti a distannza intera uno dall'altro, (e non allineati con i P.)
Ma è impossibile che questi siano pure a mutua distanza intera, tranne il caso di totale allineamento con A e B.
–––––––––
Ciao ciao
"Frink":
ma senza suggerimento non ce l'avrei mai fatta...
Era un hint gigante xD Prima avevo provato a farlo simile ma con le circonferenze di raggio intero e non sembrava nulla di amichevole
Si riusciva giusto a capire che i punti dovevano essere numerabili (se non fosse stato specificato nelle ipotesi).
"Erasmus_First":
Ma io (che fui un ingegnere invece che un mathematicus
In realtà, per ogni \(n\) naturale è possibile trovare \(n\) punti non allineati che abbiano mutue distanze intere; è però impossibile trovarne infiniti non allineati (che abbiano mutue distanze intere).
"Rigel":Grazie, Rigel, della correzione!
[In realtà, per ogni \(n\) naturale è possibile trovare \(n\) punti non allineati che abbiano mutue distanze intere; è però impossibile trovarne infiniti non allineati (che abbiano mutue distanze intere)
In effetti, siccome so trovare tante terme pitagoriche con lo stesso cateto dispari quanti sono i modi di scrivere quel cateto come prodotto di due numeri dispari coprimi, dato n intero arbitrario, basta assemblare un numero sufficiente di fattori primi per un "cateto dispari" per ottenere un insieme di n punti allineati ed un (n+1)-esimo punto ... fuori dai ranghi!
Per esempio, con
1*105 = 105 ––> 105, 5512, 5513
3*35 =105 ––> 105, 608, 617
5*21 = 105 ––> 105, 208, 233
7*15 = 105 ––> 105, 88, 137
Allora, col prodotto di tre primi come cateto dispari trovo 4 terne pitagoriche primitive che mi danno quattro punti allineati ed un quinto punto no a mutue distanze tutte intere.
Nell'esempio, posso prendere quattro punti sull'asse delle ordinate a quota uguale al cateto pari ed un quinto punto sull'asse delle ascisse a distanza dall'origine uguale al comune cateto dispari. Precisamente
P1 = (0, 5512)
P2 = (0,668)
P3 = (0, 208)
P4 = (0,88)
P5 = (105, 0)
Eh, eh: c'è sempre da imparare da chi ne sa di più!
Ciao ciao.
"Erasmus_First":Dimenticato un sesto punto! L'origine O(0, 0)
[...] 3*5*7 = 105 [...]Precisamente[...]
P1 = (0, 5512)
P2 = (0,668)
P3 = (0, 208)
P4 = (0,88)
P5 = (105, 0)
Correggo allora con P5 = (0, 0) e P6 = (105,0).
Se prendessi per cateto dispari 3*5*7*11 = 1155, otterrei 8 terne pitagoriche distinte pensando il cateto dispari come prodotto di due fattori in distinte associazioni di fattori. Precisamente:
1) 1*(3*5*7*11)
2) 3*(5*7*11)
3) 5*(3·7+11)
4) 7*(3*5*11)
5) 11*(3*5*7)
6) (3*5)*(7*11)
7) (3*7)*(5*11)
8) (3*11)*(5*7)
Quindi, alla fine, 10 punti non tutti allineati.
Domanda per Rigel.
Ho trovato UN modo di costruire un insieme di n punti non allineati con mutue distanze intere (con n ≥ di un prefissato intero positivo arbitratrio m).
Cioè: tu mi dai un intero positivo m a tuo piacere e io ti trovo n≥ m punti di cui n-1 sono allineati e uno no.
[size=120]Ma QUESTO MODO [n –1 punti allineati ed uno no, una specie di L in cui n–1 punti stanno sul tratto lungo ed uno a fianco ad un estremo di quegli n-1 punti] è unico o ci sono altri modi, dato m intero grande a piacere, di trovare almeno m punti non allineati con mutue distanze intere?[/size]
Grazie anticipate per la risposta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo