Diametro unitario

[axpgn]

Dimostrare che ogni insieme di punti del piano avente diametro unitario può essere completamente ricoperto da un triangolo equilatero di lato $sqrt(3)$

Cordialmente, Alex

[Zero87]

Questa (forse) riesco a farla persino io.

Il diametro della circonferenza inscritta in un triangolo equilatero è $\frac{l}{\sqrt(3)}$, da cui se occorre "ricoprire" una circonferenza con diametro unitario, basta un lato pari a $\sqrt(3)$.

Posso esaltarmi un pochino?

[axpgn]

Non so se ho capito bene ma ...

Non ho chiesto se un triangolo equilatero di lato $sqrt(3)$ è in grado di ricoprire una circonferenza di diametro unitario ma se può ricoprire ogni insieme di diametro $1$, qualsiasi forma abbia e di qualsiasi cardinalità ...

Cordialmente, Alex

[Zero87]

Mannaggia, ho letto diametro e ho pensato alle circonferenze...
... va beh, faccio girare gli ingranaggi e (forse) ci riprovo.

[dan952]

Bè scusa Alex ma...

Un disco chiuso di diametro unitario ricopre un qualsiasi insieme di punti il cui diametro è unitario

[axpgn]

Eh, no, caro dan95 …

Un triangolo equilatero di lato $1$ è un insieme di punti del piano di diametro $1$ ma NON è interamente ricopribile da un cerchio di diametro $1$ … (te ne occorre uno che abbia un diametro almeno di $1.16$ scarsi)

Cordialmente, Alex

[dan952]

Il triangolo No! Non l'avevo considerato

[axpgn]

[axpgn]

@Vincent46
[ot]Ehi, perché l'hai tolto?[/ot]

[Vincent46]

"axpgn":@Vincent46
[ot]Ehi, perché l'hai tolto?[/ot]

[ot]Ma sei sempre vigile Comunque ho postato di fretta e alla fine era sbagliato, anche se l'idea mi piaceva... Devo pensarci con più calma![/ot]

[gabriella127]

[ot]
] Vi dò la mia idea di soluzione.
Consideriamo il diametro di un insieme di diametro unitario. Nel disegno è rappresentato dal segmento AB. Quindi $ bar(AB)=1 $. Ricordo che intendo per diametro di un insieme il sup della distanza tra i punti dell'insieme.
Qualsiasi altro punto dell'insieme dovrà quindi distare da A e da B al massimo 1. Quindi dovrà stare all'interno del cerchio di raggio unitario con centro A e all'interno del cerchio con raggio unitario di centro B.
Quindi dovra stare nell'intersezione tra i due cerchi, come nella figura.
La larghezza massima dell'intersezione è la lunghezza di AB, cioè 1, e facendo i calcoli (se non ho sbagliato) l'altezza dell'intersezione, cioè il segmento CD, è pari a $ sqrt(3)/2 $
Non mi sembra difficile quindi dimostrare che l'intersezione tra i due cerchi può essere ricoperta da un triangolo equilatero di lato $ sqrt(3) $ .
Questa è l'idea. I calcoli li faccio fare a voi che siete meno sfaticati di me.[/ot]

[giammaria2]

@ gabriella127
La tua risposta non è fuori tema, quindi hai premuto un tasto sbagliato; se volevi nascondere la soluzione dovevi usare il tasto spoiler. Inoltre ...

Se fai bene i calcoli, trovi $CD=sqrt3$, abbastanza alto. Di conseguenza il tuo "Non mi sembra difficile" non regge; a me sembra difficile e finora non ho trovato una soluzione.

[gabriella127]

@ giammaria. Sì lo so che non era fuori tema, mica sono scema, è che spoiler non so perché non funzionava.
Per il resto, rivedrò il tutto, a partire dai calcoli.
Penso che si può rimpicciolire in qualche modo la regione 'rilevante'.

[Vincent46]

La mia idea era di partire da una regione che contenesse tutti gli insiemi di diametro unitario (e.g. un quadrato di lato 1) e rimpicciolirlo in qualche modo. Ad esempio, prese due zone interne al quadrato di distanza 1, ne posso sempre rimuovere una delle due, in quanto se una delle due contiene punti dell'insieme allora l'altra non ne può contenere.
Così facendo ad esempio si riescono a tagliare via due degli angolini del quadrato. Però non so se funziona perché non ho avuto tempo di pensare ai dettagli.

[gabriella127]

@vincent

E' la stessa idea che ho io, ma a proposito della intersezione dei due cerchi, pensavo che si possono tagliare una zona in alto o in basso. Così detto non si capisce, ci ripenso domani e mi spiego meglio.
Sì, comunque ha ragione giammaria, la distanza CD è $ sqrt(3) $

[Vincent46]

"gabriella127":@vincent

E' la stessa idea che ho io, ma a proposito della intersezione dei due cerchi, pensavo che si possono tagliare una zona in alto o in basso. Così detto non si capisce, ci ripenso domani e mi spiego meglio.
Sì, comunque ha ragione giammaria, la distanza CD è $ sqrt(3) $

È vero, così funziona:

(I punti $E$, $F$ sono a distanza 1)
Edit: ho sbagliato di nuovo misure, non funziona

[gabriella127]

"Vincent46":
È vero, così funziona:

(I punti $E$, $F$ sono a distanza 1

Sì, avevo questo in mente. Si può restringere di più centrando dei cerchi di diametro unitario in $E$ e $F$.
Mi sembra che così funzioni, anche se si aggiungono altri punti, oltre $E$ e $F$.
(Se così ancora non funzionasse, la mia idea era quella di aggiungere via via punti (facendo vedere che l'insieme ottenuto è ricopribile dal triangolo equilatero di lato $sqrt3$) , centrando sui punti cerchi di diametro 1, fino a restringere sufficientemente l'insieme 'ammissibile' in modo che entri, qualunque sia il numero di punti, nel triangolo).
La butto lì così, però poi ci devo ripensare, appena posso, oggi non ne ho il tempo.

[Vincent46]

In realtà ho sbagliato le misure dei punti $E$ e $F$... non funziona però rimangono fuori delle aree piccoline, secondo me in qualche modo si può aggiustare... dannata geometria

[giammaria2]

Grazie, Vincent46, perché con la tua risposta hai ispirato la mia. Anzi, io dimostro che l'insieme è racchiudibile in un triangolo equilatero addirittura più piccolo di quanto richiesto.
axpgn, con quale ragionamento si arriva alla tesi formulata?

Poiché l'insieme ha diametro unitario, in esso ci sono due punti $A,B$ a distanza 1; tutti gli altri punti stanno nella zona delimitata dai due archi di raggio 1 e centri $A,B$, che si incontrano in $C,D$. Tracciate ora le due rette $c,d$ parallele ad $AB$ a distanza $1/2$ da esso ($d$ è quella più vicina a $D$), noto che l'insieme non può avere punti in entrambe le parti di piano esterne a queste parallele perché la loro distanza sarebbe più di 1; senza perdita di generalità, affermo che non ci sono punti nel semipiano delimitato da $d$ e contenente $D$.
In $C$ traccio le tangenti ai due archi; formano fra loro un angolo di 60° ed incontrando $d$ individuano un triangolo equilatero che contiene tutti i punti al suo interno. Si calcola facilmente che $CD=sqrt3$, quindi l'altezza di questo triangolo è $sqrt3/2+1/2$ ed il lato è $(sqrt3/2+1/2)*2/sqrt3=1+1/sqrt3$, che è minore di $sqrt3$.

[veciorik]

@giammaria

se la figura con diametro unitario fosse un cerchio, il lato del triangolo vale $\sqrt(3) \ $, non meno

[gabriella127]

[ot]

"giammaria":Grazie, Vincent46, perché con la tua risposta hai ispirato la mia.

Per la verità, senza nulla togliere a Vincent (che ha validamente contribuito, perdonami Vincent ), l'idea della soluzione, disegnando l'intersezione dei due cerchi, e di restringere ulteriormente l'insieme (anche tagliando una parte sopra e una sotto dell'intersezione) era mia...
Non è che voglio il copyright, ma almeno una menzione d'onore... [/ot]

Dopo abbozzo in un disegno una mia soluzione, detta anche 'soluzione dell'uovo di Pasqua'.
Però in effetti è inutile, è analoga a quella di Giammaria.