Diametro unitario

[axpgn]

Dimostrare che ogni insieme di punti del piano avente diametro unitario può essere completamente ricoperto da un triangolo equilatero di lato $sqrt(3)$

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Ho letto che un insieme di diametro unitario può essere ricoperto da un esagono regolare di lato $sqrt3/3$ (e quindi da un triangolo equilatero di lato $sqrt3$, in effetti gli angoli del triangolo sono 'inutili').
Però si tratta di dimostrarlo per l'esagono, e quindi siamo da capo a dodici. O dimostrarlo per l'esagono è più facile?

[giammaria2]

Quello che dice veciorik è vero, ma dov'è l'errore del mio ragionamento? Deve essere qualcosa di così banale da sfuggire, come ad esempio scrivere 1+1=3: anche rifacendo il calcolo cento volte, si continua sempre a ripetere l'errore.

[veciorik]

soluzione:

Una figura di diametro uno è compresa tra due rette parallele, distanti al massimo uno, in qualsiasi direzione.
Tre direzioni con angoli di 60° formano un'esagono con lato \( \sqrt 3/3 \) e un triangolo con lato \( \sqrt 3 \) .

[gabriella127]

"veciorik":soluzione:
Una figura di diametro uno è compresa tra due rette parallele, distanti al massimo uno, in qualsiasi direzione.
Tre direzioni con angoli di 60° formano un'esagono con lato \( \sqrt 3/3 \) e un triangolo con lato \( \sqrt 3 \)

Ottimo, Veciorik!
In effetti era meglio dimostrarlo passando per l'esagono.

[gugo82]

Mmmm… Qui c’è sotto qualcosa di più complicato.

Veciorik sta implicitamente usando non il diametro, ma la larghezza (“width” in English).
Se $alpha$ è una direzione, la larghezza di una figura $F$ nella direzione $alpha$, denotata $w(F; alpha)$, è definita come la distanza tra una coppia di rette perpendicolari ad $alpha$ che supportano $F$[nota]Una retta è di supporto per una figura piana, detto rozzamente, se essa interseca la figura in punti di frontiera e non in punti interni.[/nota]; la larghezza di $F$, denotata con $w(F)$, è l’estremo superiore di $w(F; *)$ su $mathbb(S)^1$, mentre la larghezza media di $F$, denotata con $bar(w)(F)$, è la media integrale di $w(F;*)$ su $mathbb(S)^1$.
Un insieme $F$ è detto di larghezza costante se $w(F;*)$ è costante su $mathbb(S)^1$.

Si dimostra, se non erro, che ogni insieme di $RR^2$ avente diametro $d >=0$ è contenuto in un convesso di larghezza costante $w=d$.
Poi, si dimostra che per ogni convesso di larghezza costante $w=1$ è possibile costruire un esagono regolare di lato $1/sqrt(3)$ che lo ricopre.

[gabriella127]

Capico quello che dici, gugo, ma Veciorik alla fine sta dicendo che un insieme di diametro uno ha larghezza minore o uguale a uno in tutte le direzioni. Non vedo cosa non funzioni nel suo ragionamento, mi posso sbagliare, data anche la tarda ora, ma ora non lo vedo.
A quello che ho capito, dove ho letto, il fatto che un insieme di diametro uno sia contenuto in un esagono regolare di diametro $sqrt3/3$ è dato come un risultato piuttosto elementare.
Elementare per noi dopo che lo ha detto Veciorik! Altrimenti stavamo ancora a 'miagolare nel buio', come diceva Corrado Guzzanti

[gugo82]

Non ho detto che non funziona.
Ho solo cercato di far capire che c’è in ballo un po’ di più di quanto sembri.

[gabriella127]

Certo, grazie.

[axpgn]

Ok, ecco la mia soluzione ...

Una striscia di larghezza unitaria (cioè l'area compresa tra due rette parallele distanti una unità di misura) è sufficiente per ricoprire qualsiasi insieme di punti del piano di diametro unitario, qualunque sia la direzione (orientamento) della striscia stessa.
Chiamo "striscia minimale" quella che, per una determinata direzione, ricopre interamente l'insieme di diametro unitario ed ha la larghezza minima ($<=1$).

[ot]Dimostrazione:
Prendo una retta del piano "esterna" al mio insieme (cioè l'insieme di punti del piano $S$ avente diametro unitario si trova tutto in una delle due parti in cui la retta divide il piano).
Avvicino la retta all'insieme $S$ mantenendola parallela a sè stessa finchè non tocca il "primo" punto del piano (o anche più di uno contemporaneamente).
Prendo un'altra retta, parallela alla prima, ma "esterna" a $S$ dall'altra parte.
La avvicino all'insieme di punti, sempre mantenendola parallela a sè stessa, finchè non si trovi ad una distanza pari a $1$ dalla prima retta.
Ora, se ci fossero dei punti di $S$ "esterni" alla striscia, questi sarebbero ad una distanza $D>1$ rispetto al "primo" punto toccato dalla prima retta; ma ciò sarebbe in contraddizione col fatto che $S$ ha diametro unitario.
CVD[/ot]
Proseguiamo ...

Prendo tre strisce minimali per $S$, orientate fra loro di $60°$.
Le rette di queste strisce formano due triangoli equilateri.
Prendo un qualsiasi punto $P$ di $S$ e traccio le perpendicolari da esso ai lati dei due triangoli.
Dato che $P$ è un punto interno ad un triangolo equilatero, la somma dei tre segmenti $a, b, c$ è pari all'altezza di uno dei triangoli equilateri $a+b+c=H_1$; idem per l'altro $q+r+s=H_2$.
Essendo però i lati dei triangoli paralleli, i diversi segmenti non sono indipendenti tra loro ma vale $a+s<=1$, $b+q<=1$ e $c+r<=1$, da cui $a+b+c+q+r+s<=3$ ovvero $H_1+H_2<=3$.
Ma le due altezze non possono essere entrambe maggiori di $3/2$ per cui almeno una delle due sarà $H<=3/2$, e dato che $H=sqrt(3)/2*l\ ->\ l=(2H)/sqrt(3)<=2/sqrt(3)*3/2=sqrt(3)$.

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Grazie gugo82 per la teoria, che mi affascina ma che preferisco evitare se posso arrivare alla soluzione in modo più semplice, senza generalizzare troppo (non sono un matematico).
Se, per eccesso di sintesi, ometto qualcosa di importante, scusatemi e aggiungete liberamente le vostre osservazioni.
La soluzione di axpgn mi piace meno della mia, alla quale aggiungerei soltanto la "costruzione" delle sei rette:

tre arrivano dall'infinito, con angoli di 60°, fino a toccare la figura per formare un triangolo equilatero;
le tre parallele sono posizionate a distanza unitaria dalle prime, non toccano necessariamente la figura, e formano un altro triangolo equilatero e l'esagono regolare che mi serve per i calcoli.