Costruire un triangolo dati due lati e la mediana relativa al terzo

[Sk_Anonymous]

Costruire con solo riga e compasso un triangolo di cui si conoscono le ampiezze di due lati e della mediana relativa al terno lato.

[Pachisi]

Ci provo:

Sia $m$ la lunghezza della mediana. Traccio un segmento $AB=2m$. Sia $M$ il punto medio di $AB$. Quindi $AM=m$. Siano $a,b$ le lunghezze dei due lati. Consideriamo la parte "sopra" $AB$. Traccio un cerchio di raggio $a$ con centro in $A$ e uno di raggio $B$ con centro in $B$. Chiamo la loro intersezione $X$. Ora, consideriamo la parte "sotto" $AB$. Traccio un cerchio di raggio $b$ con centro in $A$ e uno di raggio $a$ con centro in $B$. Chiamo la loro intersezione $Y$. Il triangolo $AXY$ è il triangolo cercato.
Infatti, il quadrilatero $AXBY$ è un parallelogramma, quindi la diagonali si bisecano, dunque $XY$ passa per $M$ e $M$ è il punto medio di $XY$. Quindi $AM$ è mediana relativa a $XY$. Per costruzione i lati $AX$ e $AY$ hanno misure date, quindi $AXY$ è il triangolo cercato.

[Sk_Anonymous]

Soluzione impeccabile.
Per chi volesse cercare ancora, c'è na soluzione diversa.


PS
Ed è interessante, secondo me, anche trovare le condizioni necessarie per l'esistenza della soluzione.
Come ancora più interessante è il problema con la bisettrice al posto della mediana.

[Sk_Anonymous]

Le condizioni necessarie di esistenza soluzioni per questo problema e per gli omologhi in cui al posto della mediana c'è la bisettrice o l'altezza sono le seguenti:

l_A =< 2/(1/c+1/b), cioé la bisettrice deve essere minore della media armonica dei due lati;
m_A =< (c+b)/2, cioé la mediana deve essere minore della media aritmetica dei due lati;
h_A =< (c*b)^0,5, cioé l'altezza deve essere minore della media geometrica dei due lati.