A proposito di formiche ...

[axpgn]

Sopra una corda tesa, lunga un metro, sono disposte, in modo casuale, cento formiche.
Ognuna di esse si sta muovendo alla stessa velocità, pari ad un metro al minuto, in uno qualsiasi dei due versi.
Quando si incontrano, invertono il senso di marcia mantenendo però la stessa velocità di prima.
In quanto tempo la corda è libera dalle formiche?

Cordialmente, Alex

[axpgn]

"curie88":... mi sembra sia nato dalla tua fantasia. ...

Oh no ... "spizzico" qui e là, dove capita di trovare qualcosa di buono (o almeno così sembra a me ... )

Cordialmente, Alex

[kobeilprofeta]

Direi che

Se la corda è lunga $1$ metro e ci sono $n$ formiche che si muovono a velocità $v$ metri/min
impiegheranno $1/v$ minuti (NB: indipendente dal numero n di formiche).

[axpgn]

No

Il tempo dipende ovviamente dalla velocità ma è determinato dalla posizione della formica più lontana dall'estremità verso cui si sta muovendo

[kobeilprofeta]

È possibile che sia proprio uguale alla distanza maggiore? In questo caso avremmo allora $lim_{n to infty} t=1$

[axpgn]

Hai appena detto che non dipende da $n$ (il che è vero) quindi che senso ha quel limite?
Come detto il tempo di "svuotamento" dipende dalla posizione della formica più "lontana" e quindi il massimo si avrà quando la formica dovrà percorrere tutta la corda (nel nostro caso il massimo è $1$)

[kobeilprofeta]

[spoiler]
Il senso è :
Il valore atteso del max delle distanze cresce al crescere di $n $ e ha come limite 1.
[spoiler]

[curie88]

"kobeilprofeta":Direi che

Se la corda è lunga $1$ metro e ci sono $n$ formiche che si muovono a velocità $v$ metri/min
impiegheranno $1/v$ minuti (NB: indipendente dal numero n di formiche).

Se si hanno $n$ formiche, ed i calcoli fatti son corretti, non tutte le formiche escono dalla corda contemporaneamente ma solo le ultime due, che percorreranno la lunghezza $L=1$ intera della corda per uscire, impiegando dunque il tempo $t = L/v$

[axpgn]

@kobe

Ho capito cosa volevi dire ma prima di tutto non c'entra con il problema (dove il numero di formiche è fisso) e peraltro non è assolutamente detto che le formiche debbano essere per forza distribuite lungo tutta la corda: puoi pensarle come punti oppure puoi pensare infinita la corda oppure possono stare tutte allo stesso posto e così via ... in definitiva, il numero delle formiche non conta ... IMHO ...

[orsoulx]

A mio avviso e, purtroppo forse anche per colpa mia, si sta facendo molta confusione fra:
(a) la situazione prospettata dal problema $ n $ formiche con posizioni e versi sorteggiati;
(b) i valori medi, secondo il calcolo delle probabilità, relativi al punto (a);
(c) situazioni particolari, pensate per illustrare, verificare, confutare.
Ritengo che i casi (c) abbiano una probabilità di verificarsi pari a zero, come pari a zero è la probabilità di sorteggiare una posizione che porti ad un tempo di svuotamento esattamente uguale a quello massimo pensabile, oppure con le ultime due formiche che abbandonano la corda contemporaneamente.
Ciao