A proposito di formiche ...

[axpgn]

Sopra una corda tesa, lunga un metro, sono disposte, in modo casuale, cento formiche.
Ognuna di esse si sta muovendo alla stessa velocità, pari ad un metro al minuto, in uno qualsiasi dei due versi.
Quando si incontrano, invertono il senso di marcia mantenendo però la stessa velocità di prima.
In quanto tempo la corda è libera dalle formiche?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

A naso direi

Un minuto

MI correggo

è pari al massimo delle distanze delle formiche dalla fine della corda verso cui sono rivolte, misurata in metri e moltiplicata per un minuto.

Ciao

[dan952]

un minuto

[orsoulx]

@dan:

Quello, a mio avviso, è il massimo del tempo di spopolamento della corda (cfr. la correzione al mio intervento). Secondo il calcolo delle probabilità il tempo medio dovrebbe essere 59.4... secondi.

Ciao

[veciorik]

4 minuti e 12 secondi

[axpgn]

Mi accontentavo di "Al massimo, un minuto" ...

Difatti, il tempo esatto dipende dalla posizione della formica più vicina ad una delle estremità però tra quelle che si muovono verso l'estremità più lontana ( e se si muovono tutte verso l'estremità più vicina allora è quella più lontana dall'estremità più vicina ... )
Questo perché se quando si incontrano invertono solo il senso di marcia allora è come se proseguissero indisturbate, scambiandosi solo i ruoli ...

@orsoulx
Sono curioso di sapere come hai calcolato la probabilità: hai distribuito le formiche uniformemente? Oppure casualmente? O che altro?

@veciorik
Why?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:

La stessa spiegazione cui ho pensato io, mediando dalla fisica: in un urto perfettamente elastico di due corpi di uguale massa si scambiano le velocità.
Si dimostra che in un'estrazione con distribuzione uniforme in un intervallo assegnato, i valori medi dei risultati ordinati sono distribuiti con intervalli costanti. Con due estrazione il valore più basso sarà ad 1/3 dell'intervallo e quello più grande ai 2/3; con tre estrazioni 1/4, 1/2, 3/4. Con 100 valori 1/101, 2/101, 3/101..... 100/101. E 100/101*60=59.4". Se n'era parlato, mi pare in questo forum, qualche anno fa, credo anche con Nino.

Ciao

[veciorik]

orsoulx mi ha convinto con 59.4 secondi.
Mi piacerebbe capire perché sballa il seguente calcolo.
La distanza media tra 100 formiche è 1/101 metri.
Ad ogni formica che esce la distanza cresce: 1/100 , 1/99, 1/98, ... fino a 1/3 quando ne restano due.
L'ultima a uscire si scontra con le altre 99 volte (da dimezzare) e percorre una distanza totale di
$ sum_3^(101) 1/k \quad = \quad sum_1^(101) 1/k - 1 -1/2 approx 3.7 \qquad $ Anche se la dimezzo, resta comunque troppo alta.
PS: nel calcolo precedente avevo fatto $ \quad sum_2^(101) 1/k approx 4.2$

[curie88]

Anche io ho pensato la stessa soluzione, di @axpgn ed @Orsoulx, ma non sono convinto che la distanza dipenda unicamente dalla posizione della formica più vicina all' estremità.
Ho trovato due "configurazioni", possibili(diversa disposizione delle formiche), che restituiscono risultati differenti, ma ne esistono sicuramente molte più. (queste configurazioni considerano le formiche equidistanti tra loro, altrimenti non saprei che pesci pigliare...)
Se si considera la seguente configurazione, per esempio:
$(A.>.M.<..B)...<...C...<...D$
Dove $A,B,C,D$ sono $4$ formiche disposte sulla corda, e i segni, $>,<$ indicano il verso del moto delle formiche,mentre $A$ si sposta verso $B$, $B$ si sposta(per esempio, in questa configurazione) nel medesimo tempo verso $A$, per cui si incontrano nel punto medio M, alla distanza $x=AB=BM=L/[2(n-1)]$ da $A$ e da $B$, dove $n$ è il numero delle formiche $n = 4$, e $L$ la lunghezza della corda $= 1$.
Provando a calcolare il percorso fato dalle formiche(a noi interessa quello dell' ultima), ottengo(sperando di non aver commesso errori), che le formiche A,B,C,D escono rispettivamente dalla corda dopo aver percorso le seguenti distanze, in funzione di x:
$A = 2x, B = 4x, C = 6x, D=8x$
Generalizzando per induzione ottengo quindi(per questa configurazione), che la formica ennesima esce dalla corda dopo aver percorso la distanza:
$F(n) = 2x * n = n*L/(n-1) = 100/(100-1) = 100/99 = 1.(01)$ metri, $t = 1.(01)$ minuti.
Provando a procedere invece, con quest' altra configurazione:
$(A.>M<.B)..(C.>M.M. Ottengo: ${A,B,C,D,E,F}={2x,6x,10x,10x,6x,2x}$
Da cui noto, ma solo per induzione, che vi è una ragione di $4x$, tra i termini iniziali e finali verso quelli centrali, per cui concludo($C$ e $D$ escono per ultimi):
$F(n) = 4x(n-1)+2x$
Qui è sempre $x = L/[2(n-1)]$
per cui: $F(n) = 2L(n-1)/(n-1)+L/(n-1) = L[2+1/(n-1)] = 2+1/99 = 2.(01)$ metri
$t = 2.01$ minuti
Se dovessi fare la media, (se lecito per ottenere un risultato approssimato), otterrei: $t = 1.51$ minuti = $1$ minuto $30$ secondi, e purtroppo questo valore si discosta da quelli da voi calcolati(ma bisogna considerare che esistono altre configurazioni)
Probabilmente sbaglio, ma vorrei comprendere, al pari di @veciorik, la motivazione.
Saluti.

[axpgn]

@veciorik, @curie88

Premesso che non ho capito granché ... , secondo me l'errore consiste nel presumere vere condizioni tutte da dimostrare (veciorik: perché la distanza media dovrebbe variare in quel modo? curie88: come fai a dire che le distanze percorse sono quelle?)
Se volete fare una simulazione provate anche con numeri veri ... per esempio mettiamo quattro formiche a $10, 40, 70, 80$ con le estreme che vanno lontano e le altre due vicino ...

Le posizioni ad ogni ventesimo di minuto (partendo dall'istante zero) sono:

$10, 15, 20, 25, 20, 15, 10, 5, 0$ => tempo totale $8/20$ di minuto
$40, 35, 30, 25, 30, 35, 40, 45, 40, 35, 30, 25, 20, 15, 10, 5, 0$ => tempo totale $16/20$ di minuto
$70, 75, 70, 65, 60, 55, 50, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100$ => tempo totale $18/20$ di minuto
$80, 75, 80, 85, 90, 95, 100$ => tempo totale $6/20$ di minuto

Il massimo è $9/10$ di minuto, come previsto, perché la più lontana è quella che si trova in posizione $10$

Cordialmente, Alex

[curie88]

"axpgn":curie88: come fai a dire che le distanze percorse sono quelle?)

Associo ad ogni vettore, $x$, un tempo di spostamento, simulando il moto, e poi generalizzo, forse con questo disegno è più chiaro:

[orsoulx]

@urie88,

nel primo modo. mi pare che l'ultima esca dopo aver zampettato per una lunghezza uguale a quella della penultima (che incontra esattamente a metà percorso).
Nel secondo hai dimenticato che le lunghezze dei percorsi non aumentano dalla prima all'ultima, ma solo fino alla posizione centrale.

@Rik,

condivido quanto afferma Alex: se per le posizioni iniziali è corretto ipotizzare una distribuzione media con intervalli uguali, non è affatto detto che dopo la fuga di una o più formiche continui a valere una disposizione di questo tipo. Le posizioni non sono più casuali, ma dipendono in maniera non aleatoria da quelle iniziali (con quali funzioni non lo so).

Ciao

[veciorik]

OK, grazie
ciao

[axpgn]

"orsoulx":Le posizioni non sono più casuali, ma dipendono in maniera non aleatoria da quelle iniziali (con quali funzioni non lo so)

In teoria è semplicissimo sapere dove sono le formiche in ogni momento: in ogni "scontro" è come se le formiche si "scambiassero" l'identità quindi dato che si conosce la velocità e la posizione iniziale di ciascuna formica, ad ogni istante si sa dove è "l'attuale" formica $A$, "l'attuale" formica $B$, ecc. ... tenendo uno "storico" degli scontri/scambi d'identità si può sapere chi è in realtà "l'attuale" formica $A$, ecc. ... IMHO ...

@curie88
Le prime due righe dello schema le capisco ma poi ...

Cordialmente, Alex

[curie88]

"orsoulx":

[spoiler]nel primo modo. mi pare che l'ultima esca dopo aver zampettato per una lunghezza uguale a quella della penultima (che incontra esattamente a metà percorso).

Qui non mi ritrovo...non capisco perché devo sostituire $n-1$ con $n$, o viceversa...

"orsoulx":
Nel secondo hai dimenticato che le lunghezze dei percorsi non aumentano dalla prima all'ultima, ma solo fino alla posizione centrale.

Qui si, e torna sempre $F(n) = L$
Dopo la giusta sostituzione.

@axpgn
Leggi le lettere, sono seguite da apici. Quelle con un apici in più seguono quelle con un apice in meno. es. $B''$ segue a $B'$, anche se può accadere che siano il medesimo punto.

[axpgn]

@curie88

Il problema non sono gli apici (che vedo poco ma vedo ...) ma per esempio che fine fa $E$? Perché $D$ si sposta del doppio (e poi sparisce)? ... non riesco a comprendere il meccanismo ...

Cordialmente, Alex

[curie88]

Avrei voluto inserire più lettere per ogni punto, ma dato che non riuscivo ho omesso alcune lettere.
Qui considera i numeri, che seguono le lettere gli apici ripetuti il numero stesso di volte.
Il punto D3 è quello di arrivo di D2 dunque si sposta sempre di x. Tra D3 e B2 ci sarebbe di nuovo C1 che ho omesso perché non potevo ripeterlo.
Per il punto E non ho ripetuto tutto il meccanismo, ed infatti poi sono giunto ad errata conclusione, perché non si comporta come gli altri.
Saluti.

[curie88]

@orsoulx, OK anche il primo ora mi è chiaro.
Quidi in ogni caso è $P(n)=L$, $n=$ultimo punto del segmento. Grazie mille. Ciao.

[curie88]

@axpgn, eccoti il grafico completo della situazione:



Speriamo, che almeno stavolta sia esente da errori.

[axpgn]

Ok, adesso è chiaro ...

Il problema sta nel fatto che hai preso un caso particolare ed hai pensato che fosse la situazione normale ...

[curie88]

"axpgn":Il problema sta nel fatto che hai preso un caso particolare ed hai pensato che fosse la situazione normale ...

Non è proprio così, ho preso, non uno, ma due casi particolari, e sapevo che lo erano. Mi ero solo proposto inizialmente di verificare l' esattezza dei vostri risultati; ma come mi ha fatto notare @orsoulx, ho commesso due errori, uno nel primo caso ed uno nel secondo, così non mi tornava né nel primo, né nel secondo, il risultato corretto; mentre entrambi i procedimenti portano al "giusto" risultato di $1$ minuto(cioè identico al tuo e a quello di @dan95, ed anche a quello precedentemente postato da @orsoulx) se eseguiti senza errori.
In entrambi si ottiene che la lunghezza totale $F(n)$ che percorre l' ultima formica per uscire dalla corda è $F(n) = L$, se $n = N = $ numero totale di formiche.
Quindi se non cado in errore, dai due procedimenti, si può indurre che qualsiasi sia il numero di formiche, almeno, se esse son disposte uniformemente sulla corda, il risultato non cambia, poiché l' ultima percorrerà sempre la lunghezza $L$ della corda per uscire da essa.
Grazie per aver postato questo simpatico problema, che visto il precedente post, mi sembra sia nato dalla tua fantasia.
Ciao.