Volume del cilindro
Salve,
in qualunque testo di geometria leggo che se ho un rettangolo di altezza h e base r il suo volume
è dato da $π*r^2*h$ : in altri termini moltiplico la superficie del cerchio che fa da base per l'altezza.
Se però facessi l'operazione di far rotare il rettangolo intorno ad h, otterrei per lo stesso principio
che il volume sarebbe $2*π*r^2*h$... che chiaramente non corrisponde. Come non corrisponde ad esempio il fatto
che se faccio ruotare un cerchio di area $π*r^2$ su se stesso il risultato sia il volume della sfera... come mai?
Grazie
dw
in qualunque testo di geometria leggo che se ho un rettangolo di altezza h e base r il suo volume
è dato da $π*r^2*h$ : in altri termini moltiplico la superficie del cerchio che fa da base per l'altezza.
Se però facessi l'operazione di far rotare il rettangolo intorno ad h, otterrei per lo stesso principio
che il volume sarebbe $2*π*r^2*h$... che chiaramente non corrisponde. Come non corrisponde ad esempio il fatto
che se faccio ruotare un cerchio di area $π*r^2$ su se stesso il risultato sia il volume della sfera... come mai?
Grazie
dw
Risposte
Sarebbe utile che spiegassi meglio come fai ruotare il tuo rettangolo ...
Se lo fai ruotare lungo $h$ cioè l'asse di rotazione "coincide" con il lato $h$ allora il raggio di base è pari a $r$ cioè l'altro lato, quindi l'area di base sarà $pir^2$ e il volume sarà $pir^2h$.
Non capsico come ti viene l'altra formula ...
Cordialmente, Alex
Se lo fai ruotare lungo $h$ cioè l'asse di rotazione "coincide" con il lato $h$ allora il raggio di base è pari a $r$ cioè l'altro lato, quindi l'area di base sarà $pir^2$ e il volume sarà $pir^2h$.
Non capsico come ti viene l'altra formula ...
Cordialmente, Alex
Hai postato nell'area della scuola media, quindi non so quale sia il tuo livello matematico e fino a dove posso spingermi nella spiegazione: il problema si risolverebbe molto semplicemente usando gli integrali, ma forse ti basta una spiegazione descrittiva. Potresti presentarti un po', in modo che si possa adeguare la spiegazione alle tue esigenze? Approssimativamente bastano età e titolo di studio.
Prima di tutto grazie per le risposte.
Cerco di spiegare meglio la situazione.
Il mio cilindro è fatto come in figura:
Ora come dicevo nel testo: in qualunque testo di geometria leggo che se ho un rettangolo di altezza h e base r il suo volume
è dato da $ hpi r^2 $ : in altri termini moltiplico la superficie del cerchio che fa da base per l'altezza.
Se ora faccio ruotare il rettangolo usando come cardine la sua altezza h il punto estremo della sua base r percorre una circonferenza la cui lunghezza è $ 2pi r $. L'area del rettangolo e $hr$ e quindi il volume dovrebbe essere (se applico la stesso principio di sopra) $ 2hpi r^2$. Dov'è che sbaglio?
Grazie ancora per l'attenzione
Cerco di spiegare meglio la situazione.
Il mio cilindro è fatto come in figura:
Ora come dicevo nel testo: in qualunque testo di geometria leggo che se ho un rettangolo di altezza h e base r il suo volume
è dato da $ hpi r^2 $ : in altri termini moltiplico la superficie del cerchio che fa da base per l'altezza.
Se ora faccio ruotare il rettangolo usando come cardine la sua altezza h il punto estremo della sua base r percorre una circonferenza la cui lunghezza è $ 2pi r $. L'area del rettangolo e $hr$ e quindi il volume dovrebbe essere (se applico la stesso principio di sopra) $ 2hpi r^2$. Dov'è che sbaglio?
Grazie ancora per l'attenzione
Se moltiplichi l'area del rettangolo per $2\pi r$, ottieni il volume di un parallelepipedo di misure $h$, $r$ e $2\pi r$.
Se ci fai caso, non hai usato una rotazione per determinare l'area del cerchio.
Se ci fai caso, non hai usato una rotazione per determinare l'area del cerchio.
Certamente, però sulla base di questa logica, anche la formula standard $ pi r^2h $ potrebbe essere vista come il volume equivalente ad un parallelepipedo di base quadrata con lato $ sqrt pi r $ per un'altezza h.
Non capisco dove stia la differenza nel caso della "rotazione", cioè non capisco perchè nel caso della formula "standard" prendo un'area (quella del cerchio che è la base) e lo moltiplico per un'altezza (h) e va bene mentre se prendo un'altra area (quella del rettangolo) e la moltiplico per la lunghezza della circonferenza (mentre lo ruoto su h) il ragionemento non dovrebbe funzionare più...
Grazie ancora per la pazienza
Non capisco dove stia la differenza nel caso della "rotazione", cioè non capisco perchè nel caso della formula "standard" prendo un'area (quella del cerchio che è la base) e lo moltiplico per un'altezza (h) e va bene mentre se prendo un'altra area (quella del rettangolo) e la moltiplico per la lunghezza della circonferenza (mentre lo ruoto su h) il ragionemento non dovrebbe funzionare più...
Grazie ancora per la pazienza
Non mi pare che i due casi siano equivalenti ...
Se ricavi un parallelepipedo traslando un rettangolo è come se ogni punto della superficie del rettangolo si spostasse della medesima distanza fino a giungere alla faccia opposta, mentre se ruoti lo stesso rettangolo attorno ad un suo lato puoi notare che solo i punti del lato opposto percorrono una lunghezza pari alla circonferenza mentre gli altri percorreranno una distanza minore, addirittura i punti del lato che fa da perno non si spostano proprio.
Ti pare la stessa cosa?
Cordialmente, Alex
Se ricavi un parallelepipedo traslando un rettangolo è come se ogni punto della superficie del rettangolo si spostasse della medesima distanza fino a giungere alla faccia opposta, mentre se ruoti lo stesso rettangolo attorno ad un suo lato puoi notare che solo i punti del lato opposto percorrono una lunghezza pari alla circonferenza mentre gli altri percorreranno una distanza minore, addirittura i punti del lato che fa da perno non si spostano proprio.
Ti pare la stessa cosa?
Cordialmente, Alex
Forse si può capire la cosa (che direi riguardi gli integrali) immaginandosi di costruire il parallelepipedo di cui parlavo mettendo uno sopra l'altro dei sottili parallelepipedi di base rettangolare $h\times r$ e altezza "piccola", fino a raggiungere l'altezza $2\pi r$.
Invece per costruire il cilindro con la rotazione (invece della traslazione) del rettangolo $h\times r$, devi mettere uno a fianco all'altro dei parallelepipedi a base triangolare (o meglio delle fettine di torta, ma essendo molto sottili puoi approssimarli a parallelepipedi a base triangolare) che hanno volume la metà dei sottili parallelepipedi di prima...
Forse un disegno chiarirebbe meglio... Fammi sapere se il discorso ti torna.
Invece per costruire il cilindro con la rotazione (invece della traslazione) del rettangolo $h\times r$, devi mettere uno a fianco all'altro dei parallelepipedi a base triangolare (o meglio delle fettine di torta, ma essendo molto sottili puoi approssimarli a parallelepipedi a base triangolare) che hanno volume la metà dei sottili parallelepipedi di prima...
Forse un disegno chiarirebbe meglio... Fammi sapere se il discorso ti torna.
"dw":
L'area del rettangolo è $hr$ e quindi il volume dovrebbe essere (se applico la stesso principio di sopra) $ 2hpi r^2$. Dov'è che sbaglio?
Forse ti può essere di aiuto anche il teorema di Guldino: afferma che il volume di un solido di rotazione è dato da
$" "" "V=2pi d_G* S$
dove $S$ è la superficie della figura che ruota (di un giro completo attorno ad una retta che non la attraversa) e $d_G$ è la distanza fra il suo baricentro e la retta attorno a cui si ruota.
Nel caso di un rettangolo che ruota attorno ad uno dei suoi lati, $S$ è lo stesso mentre cambia $d_G$: cambia quindi anche il volume del solido.
Nel caso di una sfera, a ruotare è un semicerchio e non ti è facile stabilirne il baricentro; anzi, di solito questo viene trovato proprio con la formula di Guldino, partendo dai valori di $V,S$.
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