VETTORI Help Me!

[sirenetta]

Ciao Ragazzi! Ho un po di problemi con i vettori che non riesco a capire!
Vi propongo tre esercizi che non riesco a fare per capire lo svolgimento:

- Date le seguenti coppie di vettori, determinare il valore del parametro reale k per cui i due valori sono ortogolali, e il vaole k per cui sono paralleli:
(1 -1) e (k 4)
oppure (1 -2 3) (-1 2k -2)

Per trovare l'ortogonalità non ho problemi xk ho capito che bisogna fare il prodotto scalere e porlo = a zero! E infatti mi vengono![es1: 1*k + (-1*4)=0 dove k=4]
Per trovare invece la perpendicolarità come devo fare??

- Come si calcola l'angolo tra due vettori? ad esempio (-1 2) e (3 -1)?

- Determinare il parametro k in modo che i vettori (k 2) e (4 -1) siano linearmente dipendenti... ovvero? Cioè conosco la definizione, ma come la applico?

Grazie mille in anticipo!!! :)

Aggiunto 2 ore 23 minuti più tardi:

?

Aggiunto 21 ore 20 minuti più tardi:

Per favore qualcuno mi puo spiegarelo svolgimento? Come si fanno?

[adnan94]

devi fare in modo che k sia uguale a uno dei due vettori

[ciampax]

Allora, se

[math]u,\ v[/math]

sono due vettori, essi sono

1) ortogonali se e solo se

[math]u\times v=0[/math]

(hanno prodotto scalare nullo);

2) paralleli se e solo se

[math]u\wedge v=0[/math]

(hanno prodotto vettoriale nullo).

Per usare la prima condizione, basta ricordare che se

[math]u=(u_1,u_2),\ v=(v_1,v_2)[/math]

allora

[math]u\times v=u_1 v_1+u_2 v_2[/math]

per cui

1) ortogonali se e solo se

[math]u_1 v_1+u_2 v_2=0[/math]

Per la seconda si ha invece, essendo per il modulo

[math]|u\wedge v|=u_1 v_2-u_2 v_1[/math]

che

2) paralleli se e solo se

[math]u_1 v_2-u_2 v_1=0[/math]

Per calcolare l'angolo tra due vettori, basta usare la definizione seguente di prodotto scalare

[math]u\times v=|u|\cdot|v|\cdot\cos\theta[/math]

da cui, ricordando quello che abbiamo scritto prima segue

[math]\cos\theta=\frac{u_1 v_1+u_2 v_2}{|u|\cdot|v|}[/math]

che fornisce l'angolo

[math]\theta[/math]

.

Infine, due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se esiste una costante

[math]c\in\mathbb{R}[/math]

tale che

[math]u=cv[/math]

e quindi in componenti

[math]u_1=cv_1,\ \ u_2=cv_2[/math]

.