Verifica limite mediante la definizione

[Frasandro]

Buon pomeriggio ,

dovrei verificare il seguente limite: $ lim_(x -> 0^-) (1+sqrt(-x))=1^+ $

questa $ sqrt(-x)$ la posso riscrivere così: - $ sqrt(x)$ ?

[Frasandro]

in questo caso $ lim_(x -> 1/3) [log_3x-log_3(x+2/3)]=-1 $ dopo qualche passaggio ottengo questo:
$ { ( log_3(x/(x+2/3)) -(1+epsilon)):} $
.
.
.
$ { ( x/(x+2/3)<3^(epsilon-1) ),( x/(x+2/3)> 3^-(1+epsilon) ):} $
facendo il m.c.m, nel passaggio successivo, ho l'impressione che i conti non tornino

fin quì, sbaglio qualcosa?!

[minomic]

Fino a qui mi sembra tutto giusto.

[Frasandro]

facendo il m.c.m per quanto riguarda la prima disequazione viene fuori una roba del genere:
$ (x-[3^((epsilon-1))(x+2/3)])/(x+2/3)<0 $ ,
studio il numeratore $ x> [3^((epsilon-1))2/3]/[1-3^((epsilon-1) $ che dovrebbe essere uno $ 0^- $

e il denominatore $ x> -2/3 $

Per quanto riguarda la seconda, faccio gli stessi passaggi ma alla fine non mi sembra di ottenere un intorno di $ 1/3 $

[minomic]

In effetti non è semplicissimo, però puoi riscrivere la frazione come \[
\frac{2\cdot 3^{-1+\varepsilon}}{3-3^\varepsilon}
\] Adesso ragionando un po' si capisce che $3^(-1+epsilon)$ è $(1/3)^+$ e $3^epsilon$ è $1^+$. Quindi quella frazione è \[
\frac{2\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^+}{3-1^+} = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^+}{2^-} = \left(\frac{1}{3}\right)^+
\]

[Frasandro]

al volo, la frazione la trasformi moltiplicando N e D per 3?

[minomic]

Sì esatto.

[Frasandro]

Buongiorno, Altro dubbio riguardante la verifica del limite.
$ lim_(x -> 0^+) (2x-sqrt(x) ) = 0^- $; procedo come al solito applicando la definizione
$ |2x-sqrt(x) +0^+| - epsilon - 0^- ):} $. Considerando il C. E che sarebbe x maggiore/uguale di zero, ho pensato di svolgere la prima disequazione del sistema risolvendo "i 2 sistemi" che si è soliti fare in caso di disequazioni irrazionali. Per la seconda invece, elevo entrambi i membri al quadrato.

È giusto come procedimento? In questo modo la soluzione del primo sistema mi risulta x uguale a zero...

[@melia]

Che ne dici di risolvere le disequazioni con un cambiamento di variabile $y=sqrt x$ da cui $x=y^2$.
Non capisco il senso di aggiungere $0^+$ o $0^-$.

[Frasandro]

non tralascio $ 0^+$ o $0^-$ per seguire la definizione di limite... adesso provo con la sostituzione consigliatami

[Frasandro]

effettuando la sostituzione consigliatami le due disequazioni dovrebbero essere queste: $ { ( 2y^2-y-epsilon<0 ),( 2y^2-y+epsilon>0 ):} $;

calcolando il \( \triangle \) trovo le seguenti soluzioni: $ { ( (0^-) ~= 0.49):} $

Queste soluzioni rappresentano un intorno di $0^+$? dal grafico segni mi sembra di sì, ma una vostra conferma mi toglierebbe ogni dubbio

[igiul1]

Non so i calcoli che hai fatto, io come soluzione del sistema ed intorno di $0^+$ trovo

$0
Ricorda che deve essere $y>=0$

[minomic]

Sì, anche io arrivavo allo stesso risultato di igiul. Per comodità avevo anche eliminato il $4$ e l'$8$ che moltiplicano $epsilon$: se non ricordo male si può fare perché $epsilon$ è un numero molto piccolo, quindi \(4\varepsilon \approx \varepsilon\). Correggetemi se sbaglio...

[Frasandro]

"igiul":Non so i calcoli che hai fatto, io come soluzione del sistema ed intorno di $0^+$ trovo

$0
Ricorda che deve essere $y>=0$

io ottengo qualcosa di simile risolvendo le disequazioni irrazionali, senza sostituzione. Quali sono tutte le soluzioni che vi ritrovate? magari sbaglio proprio a risolvere il sistema di disequazioni....perchè non ho nessuno zero tra le soluzioni

[igiul1]

Risolvendo il sistema in y hai nella prima equazione $(1-sqrt(1+8epsilon))/4 che dovendo essere $y>=0$ diventa $0
Per lo stesso motivo nella seconda avrai: $0(1+sqrt(1-8epsilon))/4$

Sostituisci e ricavi la x.

Per minomic
Sì puoi anche eliminare i coefficienti di$epsilon$.

[Frasandro]

"igiul":Risolvendo il sistema in y hai nella prima equazione $(1-sqrt(1+8epsilon))/4 che dovendo essere $y>=0$ diventa $0
Per lo stesso motivo nella seconda avrai: $0(1+sqrt(1-8epsilon))/4$

Sostituisci e ricavi la x.

Per minomic
Sì puoi anche eliminare i coefficienti di$epsilon$.

all'inizio avevamo imposto $ sqrt(x) = y $ e $ x= y^2 $ . Sostituendo, la $ x $ nella prima disequazione dovrebbe essere
questa: $ 0

[igiul1]

La soluzione del sistema in y è:
$0
Passando alla x tieni presente che

$((1-sqrt(1-8epsilon))/4)^2=(1-2sqrt(1-8epsilon)+1-8epsilon)/16$

che semplificando diventa quello che ti ho scritto prima.

[Frasandro]

finalmente tutto quadra , gracias a todos