Verifica limite mediante la definizione

[Frasandro]

Buon pomeriggio ,

dovrei verificare il seguente limite: $ lim_(x -> 0^-) (1+sqrt(-x))=1^+ $

questa $ sqrt(-x)$ la posso riscrivere così: - $ sqrt(x)$ ?

[donald_zeka]

questa $sqrt(-x)$ la posso riscrivere così: $-sqrt(x)$ ?

Sarebbe un errore gravissimo dato che $x->0^-$ e quindi $sqrt(x)$ non sarebbe definita nei reali.

Applica la definizione di limite finito in un punto finito.

[Frasandro]

applicando la definizione, dovrei scriverla così: $ |1-1+sqrt(-x)|

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[quantunquemente]

$|f(x)-l|=|1+sqrt(-x)-1|$,che comunque sempre $sqrt(-x)$ fa

[donald_zeka]

$sqrt(-x)<ε$

$0<-x<ε^2$

$-ε^2

Cita

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[minomic]

"Frasandro":questa $ sqrt(-x)$ la posso riscrivere così: - $ sqrt(x)$ ?

Oltre a quanto ti diceva già Vulplasir, considera il dominio delle due radici:
$sqrt(x)$ esite per $x >= 0$
$sqrt(-x)$ esiste per $x <= 0$

Quindi sono due cose decisamente diverse.

[Frasandro]

Grazie per i suggerimenti !!

La prof. ci sta facendo ripassare un pò tutto il programma per prepararci al meglio per la maturità e su questo
argomento zoppico "abbastanza"

adesso sono alle prese con questo: $ lim_(x -> 1) sen(x-1)=0 $, ho pensato alla sostituzione del tipo $ (x-1)=t $ ma...non riesco a continuare

[minomic]

In realtà è molto più semplice di così!

Ti basta risolvere \[
\left|\sin\left(x-1\right)\right| < \varepsilon
\] Quindi ottieni \[
\begin{cases}
\sin\left(x-1\right) < \varepsilon \\
\sin\left(x-1\right) > -\varepsilon
\end{cases}
\] Poi applichi l'arcoseno ad entrambi i membri e hai finito.

Nota: $arcsin(-epsilon) = -arcsin(epsilon)$

[Frasandro]

"minomic":In realtà è molto più semplice di così!

Ti basta risolvere \[
\left|\sin\left(x-1\right)\right| < \varepsilon
\] Quindi ottieni \[
\begin{cases}
\sin\left(x-1\right) < \varepsilon \\
\sin\left(x-1\right) > -\varepsilon
\end{cases}
\] Poi applichi l'arcoseno ad entrambi i membri e hai finito.

Nota: $arcsin(-epsilon) = -arcsin(epsilon)$

siamo alle solite, tendo sempre a complicarmi un pò la vita alla fine fine era banale come esercizio...


e con questo come devo comportarmi? $ lim_(x -> 0) xsen1/x=0 $

[minomic]

Per questo è forse sufficiente dire che $1/x$ tende a $oo$ e quindi non sappiamo di preciso a cosa tenda $sin$ $1/x$. Però sappiamo che sarà comunque un valore compreso tra $-1$ e $1$, quindi quando lo moltiplichi per $x$, che tende a $0$, hai per forza qualcosa che tende a $0$.

[Frasandro]

quindi non c'è bisogno di usare la definizione per verificare il limite.... basta far un ragionamento del genere in questi casi, giusto? "ometto" il sistema di disequazioni....

[minomic]

Diciamo che in teoria deve funzionare anche la verifica con la definizione.

Solo che in questo caso viene \[
\left|x\sin\frac{1}{x}\right| < \varepsilon
\] che forse non è banale. O forse mi sfugge qualcosa...

Può essere che fare colazione mi aiuti a pensare meglio...

[Frasandro]

"minomic":

Può essere che fare colazione mi aiuti a pensare meglio...

concordo

[@melia]

"Frasandro":
e con questo come devo comportarmi? $ lim_(x -> 0) xsen1/x=0 $

In questo caso per calcolarlo non ci sono problemi, per la verifica, invece, visto che non è possibile risolvere algebricamente in modo standard la disequazione con gli intorni potresti utilizzare il teorema del confronto (dei due carabinieri) e fare la verifica per le due funzioni "carabiniere", che poi sono $-|x|$ e $|x|$.

[Frasandro]

"@melia":[quote="Frasandro"]
e con questo come devo comportarmi? $ lim_(x -> 0) xsen1/x=0 $

In questo caso per calcolarlo non ci sono problemi, per la verifica, invece, visto che non è possibile risolvere algebricamente in modo standard la disequazione con gli intorni potresti utilizzare il teorema del confronto (dei due carabinieri) e fare la verifica per le due funzioni "carabiniere", che poi sono $-|x|$ e $|x|$.[/quote]

Grazie per le dritte, ci riproverò in seguito....

adesso ho un dubbio su questo: $ 2^x - 8 < epsilon $ dopo qualche passaggio mi risulta $ x < 3 + lg_2 epsilon $, è corretto?

[minomic]

No, devi applicare il logaritmo a tutto il membro di destra, quindi \[
2^x < 8 + \varepsilon
\] \[
x < \log_2 \left(8 + \varepsilon\right)
\]

[Frasandro]

e questa $ log_2 (x/(x+1)) in tal caso, come devo proseguire?

[minomic]

Sì, sembra tutto ok. Poi elimini il logaritmo e confronti gli argomenti, porti tutto a sinistra e fai il minimo.

Comunque sarebbe meglio se tu ci mostrassi il testo iniziale, cioè il limite che stai cercando di verificare...

[Frasandro]

il testo è questo: $ lim_(x -> 1) log_2(x/(x+1)) =-1 $

Nel frattempo, ho fatto il m.c.m tra gli argomenti e svolto i calcoli... alla fine ho ottenuto

queste soluzioni: $ (2^(-1-epsilon)/(1-2^(-1-epsilon))) < x < (2^(epsilon - 1)/(1-2^(epsilon-1))) $ cioè $ 1^(-) < x < 1^(+) $

[minomic]

Sì, il risultato sembra corretto... Immagino tu abbia fatto entrambe le disequazione e poi le abbia messe "a sistema" per vedere quali parti sono in comune. Facendo i conti al volo, una delle due mi dava risultato $-1 < x < 1^+$ e l'altra $x < -1 vv x > 1^-$, quindi la loro intersezione è proprio $1^-$ $< x < 1^+$, che rappresenta un intorno di $1$. Quindi il limite è verificato.

[Frasandro]

"minomic":Sì, il risultato sembra corretto... Immagino tu abbia fatto entrambe le disequazione e poi le abbia messe "a sistema" per vedere quali parti sono in comune. Facendo i conti al volo, una delle due mi dava risultato $-1 < x < 1^+$ e l'altra $x < -1 vv x > 1^-$, quindi la loro intersezione è proprio $1^-$ $< x < 1^+$, che rappresenta un intorno di $1$. Quindi il limite è verificato.

esattamente , grazie per il prezioso supporto