Verifica limite di una funzione

[matematicus95]

devo verificare il seguente limite: $lim_{x\to \1}(x^2+3x-1)=3$,applico la definizione di limite e mi viene: ${(x^2+3x-4<-\epsilon),(x^2+3x-4>\epsilon):}$ ora quando risolvo queste disequazioni come faccio a vedere se il risultato é un intorno di 1 e quali restrizioni devo fare?

[burm87]

Il sistema secondo me è sbagliato, la definizione dice che deve essere $|f(x)-l|
$|x^2+3x-1-3| $|x^2+3x-4| $-epsilon
che porta al seguente sistema:

${(x^2+3x-4> -epsilon),(x^2+3x-4
Lo risolvi normalmente considerando anche la $epsilon$ nel termine noto.

[matematicus95]

Si è vero ho sbagliato a scrivere,poi mi viene epsilon sotto radice come continuo?

[burm87]

La soluzione della prima è $x<(-3-sqrt(25-4epsilon))/2 vv x>(-3+sqrt(25-4epsilon))/2$.

La soluzione della seconda è $(-3-sqrt(25+4epsilon))/2
La soluzione del sistema sarà quindi: $(-3-sqrt(25+4epsilon))/2
La parte a destra è il tuo intorno di $1$. Spero di non aver commesso errori di calcolo.

[matematicus95]

Perché è un intorno di 1?

[burm87]

"burm87":$(-3+sqrt(25-4epsilon))/2

$25-4epsilon$ è poco meno di $25$, quindi la sua radice sarà poco meno di $5$. $-3$ più poco meno di $5$ fa poco meno di $2$; il tutto diviso $2$ farà poco meno di $1$.

$25+4epsilon$ è poco più di $25$, quindi la sua radice sarà poco più di $5$. $-3$ più poco più di $5$ fa poco più di $2$; il tutto diviso $2$ farà poco più di $1$.

La $x$ è compresa tra un numero appena più piccolo di $1$ e uno appena più grande di $1$. Ecco il tuo intorno di $1$.