Verifica limite
verifica del limite $lim_(x->1)x^3=1$:
$abs(x^3 - 1)<\epsilon$
$-\epsilon
$1-\epsilon
$root(3)(1 - \epsilon)
$1-\epsilon
dove le ultime disuguaglianze le spiego con le proprietà di monotonia delle funzioni esponenziali
c'è un modo più semplice?
$abs(x^3 - 1)<\epsilon$
$-\epsilon
$1-\epsilon
$root(3)(1 - \epsilon)
$1-\epsilon
dove le ultime disuguaglianze le spiego con le proprietà di monotonia delle funzioni esponenziali
c'è un modo più semplice?
Risposte
Sì, ok.
Potresti anche concludere così: da $ root(3)(1 - \epsilon) a
$ |x - 1| < min \{ |root(3)(1 - \epsilon) - 1|, |root(3)(1+\epsilon) - 1| \} =: delta$.
Poi, ci sono vari modi di semplificare il calcolo, anzi per non farlo proprio!
Basta usare le disuguaglianze.
Ad esempio, puoi osservare che:
$|x^3 - 1| = |(x - 1)(x^2 + x + 1)| = |x - 1| * |x^2 + x + 1| <= |x - 1| * (x^2 + |x| + 1)$
e che, se $|x-1| 0$ "piccolo" (diciamo $<1$), allora $0< x< 1+delta < 2$ e $x^2 < (1+delta)^2 = 1+2delta + delta^2 < 1 + 3delta$ (perché $delta^2 < delta$) $< 4$, quindi:
$|x^3 - 1| < |x - 1| * 7 < 7 delta$
Affinché $|x^3 - 1| < epsilon$ ti basta che il tuo $delta >0$ sia tale che $\{(delta < 1), (7delta < epsilon):}$, ossia che $delta < min \{ 1, epsilon/7 \}$; quindi puoi scegliere comodamente $delta = 1/2 min \{ 1, epsilon/2\}$.
Potresti anche concludere così: da $ root(3)(1 - \epsilon)
$ |x - 1| < min \{ |root(3)(1 - \epsilon) - 1|, |root(3)(1+\epsilon) - 1| \} =: delta$.
Poi, ci sono vari modi di semplificare il calcolo, anzi per non farlo proprio!
Basta usare le disuguaglianze.
Ad esempio, puoi osservare che:
$|x^3 - 1| = |(x - 1)(x^2 + x + 1)| = |x - 1| * |x^2 + x + 1| <= |x - 1| * (x^2 + |x| + 1)$
e che, se $|x-1|
$|x^3 - 1| < |x - 1| * 7 < 7 delta$
Affinché $|x^3 - 1| < epsilon$ ti basta che il tuo $delta >0$ sia tale che $\{(delta < 1), (7delta < epsilon):}$, ossia che $delta < min \{ 1, epsilon/7 \}$; quindi puoi scegliere comodamente $delta = 1/2 min \{ 1, epsilon/2\}$.
Allora, seguendo la definizione, dato \( \epsilon >0 \) fissato, dobbiamo trovare un \( \delta >0 \) tale che se \( \left| x-1 \right| < \delta \) allora \( \left| x^3 -1 \right| < \epsilon \). Giusto? Bene. Nota che \( x^3-1= (x-1)(x^2+x+1) \). Ora assumi che \( \left| x -1 \right| < \delta_0 \).
Ad esempio \( \delta_0=1\). Otteniamo che
\[ - 1 < x-1 < 1 \]
se e solo se
\[ 0 < x < 2 \]
Pertanto
\[ x^2+x+1< 2^2 + 2 +1 = 7 \]
Dunque quando \( 0 < x < 2 \) abbiamo
\[ \left| x^3-1 \right| < 7 \cdot \left| x-1 \right| \]
Scegliendo dunque \( \delta = \min \{ 1, \frac{ \epsilon}{7} \} \) ottieni dunque che quando \( \left| x-1 \right| < \delta \) hai che \( \left| x^3 -1 \right| < \epsilon \).
Ora qui abbiamo fatto l'esempio con \( \delta_0 =1 \) ma potremmo farlo anche senza esplicitarlo. Assumi
\[ \left| x -1 \right| < \delta_0 \]
per \( 1- \delta_0 < x < 1 + \delta_0 \) hai
\[ x^2+x+1 < (1+\delta_0)^2 + \delta_0 +2 \]
dunque
\[ \left| x^3 -1 \right| \leq ((1+\delta_0)^2 + \delta_0 +2) \left| x- 1 \right| \]
ora scegliendo \( \delta = \min \{ \delta_0, \frac{ \epsilon}{(1+\delta_0)^2 + \delta_0 +2} \} \) ottieni che quando \( \left| x-1 \right| < \delta \) hai che \( \left|x^3 -1 \right| < \epsilon \).
Ad esempio \( \delta_0=1\). Otteniamo che
\[ - 1 < x-1 < 1 \]
se e solo se
\[ 0 < x < 2 \]
Pertanto
\[ x^2+x+1< 2^2 + 2 +1 = 7 \]
Dunque quando \( 0 < x < 2 \) abbiamo
\[ \left| x^3-1 \right| < 7 \cdot \left| x-1 \right| \]
Scegliendo dunque \( \delta = \min \{ 1, \frac{ \epsilon}{7} \} \) ottieni dunque che quando \( \left| x-1 \right| < \delta \) hai che \( \left| x^3 -1 \right| < \epsilon \).
Ora qui abbiamo fatto l'esempio con \( \delta_0 =1 \) ma potremmo farlo anche senza esplicitarlo. Assumi
\[ \left| x -1 \right| < \delta_0 \]
per \( 1- \delta_0 < x < 1 + \delta_0 \) hai
\[ x^2+x+1 < (1+\delta_0)^2 + \delta_0 +2 \]
dunque
\[ \left| x^3 -1 \right| \leq ((1+\delta_0)^2 + \delta_0 +2) \left| x- 1 \right| \]
ora scegliendo \( \delta = \min \{ \delta_0, \frac{ \epsilon}{(1+\delta_0)^2 + \delta_0 +2} \} \) ottieni che quando \( \left| x-1 \right| < \delta \) hai che \( \left|x^3 -1 \right| < \epsilon \).
@ 3m0o: Ti ho battuto sul tempo! 
grazie a tutti e due!
avevo chiesto più semplice
avevo chiesto più semplice
"lasy":
grazie a tutti e due!
avevo chiesto più semplice
Il punto è che la semplicità in Matematica non consiste nel fare calcoli più semplici/veloci, bensì nel ragionare con l'intenzione di fare meno conti possibili.
"gugo82":
[quote="lasy"]grazie a tutti e due!
avevo chiesto più semplice
Il punto è che la semplicità in Matematica non consiste nel fare calcoli più semplici/veloci, bensì nel ragionare con l'intenzione di fare meno conti possibili.
[/quote]sì, ho capito il senso del tuo "non calcolarlo proprio"
mi chiedo se la tecnica che hai usato, e altre simili, le hai sviluppate con la tua pratica personale oppure se ci sono dei testi che aiutano a allenarti su calcoli di questo tipo
"gugo82":
@ 3m0o: Ti ho battuto sul tempo!
E' solo perché mi sono assentato 3 minuti per dar da mangiare al cane
"lasy":
sì, ho capito il senso del tuo "non calcolarlo proprio"
mi chiedo se la tecnica che hai usato, e altre simili, le hai sviluppate con la tua pratica personale oppure se ci sono dei testi che aiutano a allenarti su calcoli di questo tipo
Pratica, esperienza, sforzo. Ma non preoccuparti è normale che all'inizio si abbia difficoltà con questo tipo di cose, è una cosa comune, ci si fa l'abitudine con il tempo e la pratica.
"lasy":
[quote="gugo82"][quote="lasy"]grazie a tutti e due!
avevo chiesto più semplice
Il punto è che la semplicità in Matematica non consiste nel fare calcoli più semplici/veloci, bensì nel ragionare con l'intenzione di fare meno conti possibili.
[/quote]sì, ho capito il senso del tuo "non calcolarlo proprio"
mi chiedo se la tecnica che hai usato, e altre simili, le hai sviluppate con la tua pratica personale oppure se ci sono dei testi che aiutano a allenarti su calcoli di questo tipo[/quote]
Sono metodi standard che si usano quasi ovunque in Analisi, perciò dopo aver studiato proprio Analisi qualche anno (!) si finisce col ragionare così in automatico.
A livello di scuola secondaria (ed anche di Analisi I, molte volte) si preferisce il calcolo brutale alla stima "ragionata" (cioè all'uso delle disuguaglianze)[nota]Nonostante l'Analisi sia, come diceva qualcuno, il "regno delle disuguaglianze".[/nota], quindi all'inizio va bene così.
Se vuoi fare pratica con le disuguaglianze e le loro applicazioni, prova a fare le verifiche dei limiti nei due modi, cioè col calcolo esplicito e con l'uso di disuguaglianze.
Ma osserva che già per situazioni un po' più complesse di quella proposta, la faccenda può non essere proprio immediata...
Ad esempio, se ti chiedessi di verificare che:
\[
\lim_{x\to 2} \sqrt{x} = \sqrt{2}
\]
il calcolo esplicito sarebbe molto semplice; invece, per sfruttare il secondo metodo, ti converrebbe sapere che in generale vale:
\[
\tag{*}
\left| \sqrt{|a|} - \sqrt{|b|}\right| \leq \sqrt{|a - b|}
\]
(con $a,b in RR$), cioè dovresti avere qualche informazione tecnica in più... Informazioni tecniche che sono elementari, ma che (probabilmente) nessuno ti ha mai dato, né ti ha mai accennato.
Per esercizio: riesci a dimostrare che vale la (*)?
Prova, tanto basta saper fare i conti!
a guardarlo così mi sembra fuori portata, se mi consigli, magari un eserciziario progressivo, ci provo nei prossimi giorni
"gugo82":
\[
\tag{*}
\left| \sqrt{|a|} - \sqrt{|b|}\right| \leq \sqrt{|a - b|}
\]
(con $a,b in RR$), cioè dovresti avere qualche informazione tecnica in più... Informazioni tecniche che sono elementari, ma che (probabilmente) nessuno ti ha mai dato, né ti ha mai accennato.
Per esercizio: riesci a dimostrare che vale la (*)?
Prova, tanto basta saper fare i conti!
"lasy":
a guardarlo così mi sembra fuori portata, se mi consigli, magari un eserciziario progressivo, ci provo nei prossimi giorni
Ciao lasy,
1) Conosci la disuguaglianza triangolare? Ovvero che per ogni \(x,y \in \mathbb{R} \) si ha
\[ \left| x +y\right| \leq \left| x \right|+\left| y \right| \]
2) Dimostra usando 1) che per ogni \(x,y \in \mathbb{R} \) vale quanto segue[nota]in realtà 1) e 2) sono equivalenti. Ovvero assumendo 2) riesci a dimostrare 1)[/nota]
\[ \left| \left| x \right| - \left| y \right| \right| \leq \left| x - y \right| \]
Hint:
Considera \( \left| x-y \right| + \left| y \right| \) e \( \left| x \right| + \left| y-x \right| \)
3) Dimostra che se \( d: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) soddisfa le seguenti proprietà per ogni \(x,y,z \in \mathbb{R} \)
i) \( d(x,y) \geq 0 \)
ii) \( d(x,y)=0 \) se e solo se \(x=y \)
iii) \(d(x,y)=d(y,x) \)
iv) \(d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y) \)
allora per ogni \(x,y,z \in \mathbb{R} \) vale
\[ \left| d(x,z) - d(y,z) \right| \leq d(x,y) \]
Hint: è essenzialmente la stessa cosa che hai fatto nel punto 2)
4) Dimostra che \( d(x,y) = \sqrt{ \left| x-y \right| } \) soddisfa le condizioni i)-iv) del punto 3)
5) Concludi che per ogni \(x,y \in \mathbb{R} \) si ha
\[
\left| \sqrt{|x|} - \sqrt{|y|}\right| \leq \sqrt{|x - y|}
\]
Se hai domande non esitare.
oh! mille grazie
non dovrebbe mancare nulla, dammi riscontro
dimostro (2)
$abs(x)=abs(x-y+y)<=abs(x-y)+abs(y)$
da cui $abs(x) - abs(y) <= abs(x-y)$ (a)
$abs(y)=abs(y-x+x)<=abs(y-x)+abs(x)$
da cui $-|y-x|<=|x|-|y|$
e quindi $-|x-y|<=|x|-|y|$ (b)
da (a) e (b) segue
$-|x-y|<=|x|-|y|<=|x-y|$
cioè $abs(|x|-|y|)<=|x-y|$, dunque (2)
dimostro (3)
$d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)$
$d(x,z)-d(y,z)<=d(x,y)$
cioè $d(x,z) - d(z,y)<=d(x,y)$ (a)
d'altra parte
$d(z,y)<=d(z,x)+d(x,y)$
$-d(x,y)<=d(z,x)-d(z,y)$
cioè $-d(x,y)<=d(x,z) - d(z,y)$ (b)
da (a) e (b):
$-d(x,y)<=d(x,z) - d(z,y)<=+d(x,y)$
cioè $|d(x,z) - d(z,y)|<=d(x,y)$, dunque (3)
dimostro (4)
i), ii) e iii) seguono facilmente dalle proprietà del valore assoluto
dimostro solo la disuguaglianza triangolare:
$sqrt(|x-y|) = sqrt(|x-z+z-y|)<=sqrt(|x-z| + |z-y|)<= sqrt(|x-z|)+sqrt(|z-y|)$
dove l'ultima disuguaglianza è vera perchè:
fissati $a$ e $b$ non negativi $sqrt(a+b)<=sqrt(a)+sqrt(b)$ perchè $0<=2sqrt(ab)$
dal (5), come dici tu, segue la tesi
non dovrebbe mancare nulla, dammi riscontro
dimostro (2)
$abs(x)=abs(x-y+y)<=abs(x-y)+abs(y)$
da cui $abs(x) - abs(y) <= abs(x-y)$ (a)
$abs(y)=abs(y-x+x)<=abs(y-x)+abs(x)$
da cui $-|y-x|<=|x|-|y|$
e quindi $-|x-y|<=|x|-|y|$ (b)
da (a) e (b) segue
$-|x-y|<=|x|-|y|<=|x-y|$
cioè $abs(|x|-|y|)<=|x-y|$, dunque (2)
dimostro (3)
$d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)$
$d(x,z)-d(y,z)<=d(x,y)$
cioè $d(x,z) - d(z,y)<=d(x,y)$ (a)
d'altra parte
$d(z,y)<=d(z,x)+d(x,y)$
$-d(x,y)<=d(z,x)-d(z,y)$
cioè $-d(x,y)<=d(x,z) - d(z,y)$ (b)
da (a) e (b):
$-d(x,y)<=d(x,z) - d(z,y)<=+d(x,y)$
cioè $|d(x,z) - d(z,y)|<=d(x,y)$, dunque (3)
dimostro (4)
i), ii) e iii) seguono facilmente dalle proprietà del valore assoluto
dimostro solo la disuguaglianza triangolare:
$sqrt(|x-y|) = sqrt(|x-z+z-y|)<=sqrt(|x-z| + |z-y|)<= sqrt(|x-z|)+sqrt(|z-y|)$
dove l'ultima disuguaglianza è vera perchè:
fissati $a$ e $b$ non negativi $sqrt(a+b)<=sqrt(a)+sqrt(b)$ perchè $0<=2sqrt(ab)$
dal (5), come dici tu, segue la tesi
Yes. Nota che 5) segue da 4) scegliendo \( z=0 \). E poiché 4) vale per ogni \(x,y,z \in \mathbb{R} \) puoi scegliere \(z=0\).
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