Verifica di un limite destro

[Phoenix23]

Buongiorno a tutti.
Un esercizio mi chiede di verificare il seguente limite:
$ lim_(x -> +oo ) (1+lnx)/(lnx)=1 $

Applico la definizione di limite e calcolo:
$ |(1+lnx)/lnx-1|
Da cui ottengo:
$ -epsilon <1/lnx
Calcolo separatamente le due disequazioni.
Per: $ 1/lnxe^(1/epsilon ) $ che corrisponde al mio intorno destro di infinito.

Ma cosa dire dell'altra disequazione? Come la risolvo:
$ 1/lnx> -epsilon $

[BayMax1]

Ciao Phoenix23!

Provo a rispondere io alla tua domanda. Innanzitutto mi sembra di notare un po' di confusione nelle tue idee, almeno in base a quanto hai scritto.
Per prima cosa, che io sappia, quando la x tende ad un valore infinito ($+-infty$) non si usa definirlo limite destro o sinistro, che, invece, vale quando la x tende ad un valore finito (es: $x->2^+$). Tra l'altro non avrebbe neanche senso il limite destro a $+infty$ in quanto a $+infty$ puoi "avvicinartici" solo da sinistra.
Detto questo, l'impostazione del tuo esercizio è corretta. Tuttavia mi preme ricordarti che la doppia disequazione $-epsilon<1/ln(x) -epsilon ),( 1/ln(x) -epsilon$ notiamo che $ln(x)$ è sicuramente positivo, dato che stiamo verificando un limite in cui la x tende a $+infty$ per cui posso assumerla sicuramente >1 e, quindi, $ln(x)>0$; Per cui moltiplico ambo i membri per $ln(x)$ ottenendo: $-epsilon*ln(x)<1$. Ricordando che $epsilon>0$, divido tutto per $-epsilon$ cambiando il verso della disequazione ed ottenendo: $ln(x)> -1/epsilon$, da cui $x>e^(-1/epsilon)$. Dunque il sistema ha dato il seguente esito: ${ (x>e^(-1/epsilon)), (xe^(1/epsilon)$ che è un intorno (necessariamente sinistro) di $+infty$. Per cui il limite risulta verificato.

Spero di essere stato sufficientemente chiaro e, in caso contrario, non esitare a chiedere.

Come sempre,

saluti

[Phoenix23]

"BayMax":
Per prima cosa, che io sappia, quando la x tende ad un valore infinito ($+-infty$) non si usa definirlo limite destro o sinistro, che, invece, vale quando la x tende ad un valore finito (es: $x->2^+$). Tra l'altro non avrebbe neanche senso il limite destro a $+infty$ in quanto a $+infty$ puoi "avvicinartici" solo da sinistra.

Ok grazie mille della precisazione. Non avevo fatto caso a quanto fosse scorretto il mio modo di definirlo.

Per il resto è stato tutto chiaro solo che credo ci sia un errore di battitura nel sistema delle soluzioni che dovrebbe essere $ { (x>e^(-1/epsilon)), (x>e^(1/epsilon)):} $ correggimi se sbaglio.

Ti ringrazione ancora per la dettagliata spiegazione.
Un saluto anche a te

[BayMax1]

Ciao Phoenix23,

Si, hai assolutamente ragione, sono entrambe col maggiore. Errore mio. Nella fretta non ho riletto bene prima di inviare. Ti chiedo scusa e ti ringrazio della segnalazione. Non correggo il primo messaggio per non creare confusione, ma lo scrivo direttamente qui.

Saluti